2022-2023学年广东省中山市第一中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省中山市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．为了营造浓厚的校园体育氛围，学校采用按比例分层抽样的方法从高一550人，高二500人，高三450人中抽取60人观看排球决赛，那么高一年级被抽取的人数为（    ）.

A．18 B．20 C．22 D．30

【答案】C

【分析】根据分层抽样的基本概念，可得答案.

【详解】学校高一、高二、高三的总人数为（人），

由题意，高一年级被抽取的人数为.

故选：C.

2．在空间中，下列说法正确的是（    ）

A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直

C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

【答案】D

【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．

【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；

平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；

根据线面垂直的性质可知：D正确；

故选：D．

3．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）

A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍

C．B点的坐标为 D．的周长是

【答案】D

【分析】将还原成原图依次分析选项可得答案.

【详解】根据题意，将还原成原图，如图，

对于A，中，有，，所以，，故是等腰直角三角形，A错误；

对于B，的面积是，的高为，

所以的面积为，的面积是的倍，B错误；

对于C，因为，B的坐标为，C错误；

对于D，的周长为，D正确

故选：D.

4．17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】、阴影部分、半圆旋转所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球，依次计算其体积即可.

【详解】由旋转体的概念可得：、阴影部分、半圆所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球，易知OE=DE，

设DE=OE=r，故，，，

显然，且.

故选：D.

5．已知中，点M是线段的中点，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的基本定理，画出图形，再进行分析即可．

【详解】解：已知中，点是线段的中点，，

作图，如图所示：

则

，

故选：A．

6．要得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.

【详解】由于函数，

故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.

故选：D．

7．已知函数，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依题意只需判断各选项中自变量的大小，由已知可得，根据正弦函数的单调性，得出的大小关系和的大小关系.，即可求解.

【详解】是锐角三角形的两个内角，，

在为增函数，

，

又函数是定义在上的减函数，

，

同理，所以C错D对，

因为角的大小关系不确定，所以A、B项不正确，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：该题考查复合函数的函数值大小关系，利用函数的单调性，以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解题的关键.

8．已知点为的重心，设的内角的对边为且满足向量，若，则实数（　　）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】连接延长交交于，利用重心性质和直角三角形性质得，在和分别应用余弦定理，并利用得出三边长的关系，已知等式切化弦，并由正弦定理、余弦定理化角为边后可得结论．

【详解】

如图,连接延长交交于,由于为重心，故为中点，

∵，∴，由重心的性质得，，即，

由余弦定理得， ，，

∵， ∴，

∴ ，∴，由，

将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得，

∴，

故选：D.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）.

A．若向量，满足，则，为平行向量.

B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底.

C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等.

D．若是等边三角形，则.

【答案】ABD

【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量、单位向量的定义知C错误；由向量夹角的定义知D错误.

【详解】对于A，，、是平行向量，故A正确；

对于B，，为一组基底，，不共线，

若存在实数使得，则，显然方程无解，即，不共线，

，也可以作为一组基底，故B正确；

对于C，虽然单位向量模相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，故C错误；

对于D，为等边三角形，，故D正确.

故选：ABD.

10．已知．对任意的均有，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】根据条件得是最小值，是最大值，根据三角函数最值，结合辅助角公式，分别进行判断即可.

【详解】∵，∴是最小值，是最大值，

，其中，，

所以，，

所以，故A错误，，故B正确，

当时，是最小值，则，

所以，

故C错误；

当时，是最大值，则，

所以，故D正确，

故选：BD．

【点睛】关键点点睛：

（1）根据辅助角公式将化为三角函数的一般形式；

（2）根据题意得出是最小值，是最大值.

11．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．a>c C．c>a D．

【答案】ACD

【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.

【详解】由正弦边角关系知：，则，

所以，而，则，A正确；

由上知：，即，B错误，C正确；

由知：，则，

又，故，则，即，D正确.

故选：ACD

12．如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，P是上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（    ）

A．若平面，则 B．B到平面的距离为

C．当P为中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D．当P为中点时，有最小值

【答案】ABC

【分析】对于A：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B：利用等体积法求D到平面的距离；对于C：根据三角形中位线先证∥，则过P、A、B的截面为，再利用长度结合勾股定理证；对于D：借助于侧面展开图分析判断．

【详解】∵平面，平面，平面平面

∴，A正确；

设B到平面的距离为，则有

∵，即，则，B正确；

当P为中点时，如图1，取的中点，连接

则∥，

∵∥，则∥

∴过P、A、B的截面为，则

∴，则，即为直角梯形，C正确；

借助于侧面展开图，如图2，连接交于点，此时为最小值

若P为中点时，∵，则

∴，这与题意相矛盾，D错误；

故选：ABC．

【点睛】

三、填空题

13．一家水果店的老板为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去10天苹果的日销售量（单位：kg）：83，96，107，91，74，75，94，80，80，100；则该水果店过去10天苹果日销售量的中位数为      .

【答案】87

【分析】根据中位数的定义，将数据由小到大排列，可得答案.

【详解】过去天苹果的日销售量从小到大排列为：，，，，，，，，，；

则中位数为.

故答案为：87.

14．LED（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量方向上的投影为，则      .

【答案】

【分析】根据投影向量的定义即可计算.

【详解】如图，，过点作垂直于直线，垂足为，因为，所以，则，在方向上的投影为.

故答案为：

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为        ．

【答案】

【分析】先求出，再利用面积求出关系，再结合求出，最后利用余弦定理求出.

【详解】，

，

，

，又，

，

.

故答案为：.

四、双空题

16．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为          ．此时该三棱锥的外接球的表面积为          ．

【答案】         

【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.

【详解】过点C作，垂足为E，

为等腰梯形，

，

由余弦定理得，即

易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，

此时，平面

易知，

记O为外接球球心，半径为R

平面，

O到平面的距离

又的外接圆半径

故答案为：，

五、解答题

17．已知

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，然后根据两角的取值范围即可求解；

（2）利用同角三角函数的基本关系得到，然后结合（1）的结论和两角和的正弦公式即可求解.

【详解】（1），

，，.

（2）由，

求得，

.

18．为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍.

(1)求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；

(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；

(3)现知道直方图中成绩在内的平均数为136，在内的平均数为144，求成绩在内的平均数.

【答案】(1)第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，作图见解析

(2)

(3)138

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得频率，不全图象，可得答案；

（2）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图的性质，建立方程，可得答案；

（3）根据不同分组概率的所占比例，可得答案.

【详解】（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意，解得，所以第一组的频率为0.04，则第二组的频率为0.08，补全频率分布直方图如下：

（2）由，设上四分位数为，则，

所以，解得，

所以全市“良好”以上等级的成绩范围；

（3）有图可知，成绩在的频率为；

成绩在的频率为，

成绩在的频率为，

显然，，

成绩在内的平均数为；

19．已知，，与的夹角为，函数．

(1)求函数最小正周期和对称中心；

(2)若锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．

【答案】(1)最小正周期为；对称中心为

(2)

【分析】（1）根据数量积的坐标表示及两角和的正弦公式得到，再根据计算得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由（1）及求出，再由正弦定理将边化角及三角恒等变换公式化简得到，最后根据三角形为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，即可得解；

【详解】（1）解：由条件可知：，

，

∴，

∴的最小正周期为，

令，，解得，，

∴的对称中心为；

（2）解：由正弦定理得，由（1），而，得，

∴，，解得，，又，可得，

∵，∴，

代入上式化简得：，

又在锐角中，有，∴，

∴，则有，

∴

20．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.

(1)求证平面

(2)求直线与平面所成的角的大小

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取中点，连接，进而证明四边形是平行四边形，再根据线面平行判定定理即可证明；

（2）根据题意证明平面,故是直线与平面 所成的角的平面角，再根据几何关系求解即可.

【详解】（1）如图1，取中点，连接，

因为是的中点，

所以，

又因为在直三棱柱中，是的中点，

所以，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以,

因为平面，平面，

所以平面；

（2）如图2，连接，，

由直三棱柱的性质可知平面，

因为平面，所以，

因为，，是的中点，

所以，

因为，平面,

所以平面,

所以是直线与平面所成的角的平面角，

因为，，

所以不妨设，则，，，

所以，则，

所以，

因为，所以

所以直线与平面 所成的角的大小.

21．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，O是的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)点M在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)，二面角的正切值为

【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论；

（2）设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值，取靠近点的四等份点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果

【详解】（1）连接，

因为底面中，，，

所以四边形为正方形，所以，

因为侧面为等边三角形，O是的中点，

所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为,

所以平面，

因为平面，

所以平面平面；

（2）因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点，

所以，，，

因为平面，平面，

所以，

所以，

因为，

所以，所以,

设点到平面的距离分别为，

因为，所以，

，解得，

因为三棱锥的体积为，

所以，所以，解得，

所以，所以，

因为，所以，

取靠近点的四等份点，连接，则∥，

因为平面，所以平面，

因为平面，所以，

过点作于，连接，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以为二面角的平面角，

因为，所以，

因为,

所以四边形为矩形，所以，

所以在中，，

所以二面角的正切值为

22．在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：

(1)若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；

(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

【答案】(1)，

(2)长度不能超过米

【分析】（1）由题意分别表示出，，，，根据，即可求解.

（2）由题意可知对任意角，平板车的长度，记 ，利用函数的单调性即可求出最值.

【详解】（1），，，

，                                    

所以，

（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角，平板车的长度，

记 ，则=，

又则，

所以，所以，即，

则

记，，则，

函数

因为在上都递增，

所以在上都递增，

所以在上的单调递减；

当时取得最小值.

所以长度不能超过米