2022-2023学年广东省中山市第一中学高一下学期期中数学试题含答案
展开2022-2023学年广东省中山市第一中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1.为了营造浓厚的校园体育氛围,学校采用按比例分层抽样的方法从高一550人,高二500人,高三450人中抽取60人观看排球决赛,那么高一年级被抽取的人数为( ).
A.18 B.20 C.22 D.30
【答案】C
【分析】根据分层抽样的基本概念,可得答案.
【详解】学校高一、高二、高三的总人数为(人),
由题意,高一年级被抽取的人数为.
故选:C.
2.在空间中,下列说法正确的是( )
A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线垂直
C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C,根据线面垂直的性质判断D.
【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有:平行、相交和异面,A、B不正确;
平行于同一平面的两条直线的位置关系有:平行、相交和异面,C不正确;
根据线面垂直的性质可知:D正确;
故选:D.
3.如图所示,是水平放置的的斜二测直观图,其中,则以下说法正确的是( )
A.是钝角三角形 B.的面积是的面积的2倍
C.B点的坐标为 D.的周长是
【答案】D
【分析】将还原成原图依次分析选项可得答案.
【详解】根据题意,将还原成原图,如图,
对于A,中,有,,所以,,故是等腰直角三角形,A错误;
对于B,的面积是,的高为,
所以的面积为,的面积是的倍,B错误;
对于C,因为,B的坐标为,C错误;
对于D,的周长为,D正确
故选:D.
4.17世纪30年代,意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图,是一个半圆,圆心为O,ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周,记△OCD,阴影部分,半圆所形成的几何体的体积分别为,,,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】、阴影部分、半圆旋转所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球,依次计算其体积即可.
【详解】由旋转体的概念可得:、阴影部分、半圆所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球,易知OE=DE,
设DE=OE=r,故,,,
显然,且.
故选:D.
5.已知中,点M是线段的中点,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理,画出图形,再进行分析即可.
【详解】解:已知中,点是线段的中点,,
作图,如图所示:
则
,
故选:A.
6.要得到的图象,只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】将整理成,然后利用平移变换即可求解.
【详解】由于函数,
故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.
故选:D.
7.已知函数,若A,B是锐角三角形的两个内角,则一定有( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】依题意只需判断各选项中自变量的大小,由已知可得,根据正弦函数的单调性,得出的大小关系和的大小关系.,即可求解.
【详解】是锐角三角形的两个内角,,
在为增函数,
,
又函数是定义在上的减函数,
,
同理,所以C错D对,
因为角的大小关系不确定,所以A、B项不正确,
故选:D.
【点睛】关键点点睛:该题考查复合函数的函数值大小关系,利用函数的单调性,以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解题的关键.
8.已知点为的重心,设的内角的对边为且满足向量,若,则实数( )
A.2 B.3 C. D.
【答案】D
【分析】连接延长交交于,利用重心性质和直角三角形性质得,在和分别应用余弦定理,并利用得出三边长的关系,已知等式切化弦,并由正弦定理、余弦定理化角为边后可得结论.
【详解】
如图,连接延长交交于,由于为重心,故为中点,
∵,∴,由重心的性质得,,即,
由余弦定理得, ,,
∵, ∴,
∴ ,∴,由,
将正切化为正弦与余弦的商,利用正弦定理可得,
∴,
故选:D.
二、多选题
9.下列命题正确的是( ).
A.若向量,满足,则,为平行向量.
B.已知平面内的一组基底,,则向量,也能作为一组基底.
C.模等于1个单位长度的向量是单位向量,所有单位向量均相等.
D.若是等边三角形,则.
【答案】ABD
【分析】由平行向量定义可知A正确;由基底的要求可知B正确;由相等向量、单位向量的定义知C错误;由向量夹角的定义知D错误.
【详解】对于A,,、是平行向量,故A正确;
对于B,,为一组基底,,不共线,
若存在实数使得,则,显然方程无解,即,不共线,
,也可以作为一组基底,故B正确;
对于C,虽然单位向量模相等,但方向可以不同,故不是所有单位向量均相等,故C错误;
对于D,为等边三角形,,故D正确.
故选:ABD.
10.已知.对任意的均有,则( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】根据条件得是最小值,是最大值,根据三角函数最值,结合辅助角公式,分别进行判断即可.
【详解】∵,∴是最小值,是最大值,
,其中,,
所以,,
所以,故A错误,,故B正确,
当时,是最小值,则,
所以,
故C错误;
当时,是最大值,则,
所以,故D正确,
故选:BD.
【点睛】关键点点睛:
(1)根据辅助角公式将化为三角函数的一般形式;
(2)根据题意得出是最小值,是最大值.
11.在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且,则下列结论正确的是( )
A. B.a>c C.c>a D.
【答案】ACD
【分析】利用正弦边角关系可得,结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误;再由正弦边角关系得,应用倍角公式得,注意,即可得范围判断D正误.
【详解】由正弦边角关系知:,则,
所以,而,则,A正确;
由上知:,即,B错误,C正确;
由知:,则,
又,故,则,即,D正确.
故选:ACD
12.如图,四棱锥的底面为菱形,,底面,P是上任意一点(不含端点),则下列结论中正确的是( )
A.若平面,则 B.B到平面的距离为
C.当P为中点时,过P、A、B的截面为直角梯形 D.当P为中点时,有最小值
【答案】ABC
【分析】对于A:根据线面平行的性质定理证明判断;对于B:利用等体积法求D到平面的距离;对于C:根据三角形中位线先证∥,则过P、A、B的截面为,再利用长度结合勾股定理证;对于D:借助于侧面展开图分析判断.
【详解】∵平面,平面,平面平面
∴,A正确;
设B到平面的距离为,则有
∵,即,则,B正确;
当P为中点时,如图1,取的中点,连接
则∥,
∵∥,则∥
∴过P、A、B的截面为,则
∴,则,即为直角梯形,C正确;
借助于侧面展开图,如图2,连接交于点,此时为最小值
若P为中点时,∵,则
∴,这与题意相矛盾,D错误;
故选:ABC.
【点睛】
三、填空题
13.一家水果店的老板为了解本店苹果的日销售情况,记录了过去10天苹果的日销售量(单位:kg):83,96,107,91,74,75,94,80,80,100;则该水果店过去10天苹果日销售量的中位数为 .
【答案】87
【分析】根据中位数的定义,将数据由小到大排列,可得答案.
【详解】过去天苹果的日销售量从小到大排列为:,,,,,,,,,;
则中位数为.
故答案为:87.
14.LED(发光二极管)是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件,它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好,被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图,小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的,其平面图可简化为正六边形,若向量在向量方向上的投影为,则 .
【答案】
【分析】根据投影向量的定义即可计算.
【详解】如图,,过点作垂直于直线,垂足为,因为,所以,则,在方向上的投影为.
故答案为:
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,,,则的值为 .
【答案】
【分析】先求出,再利用面积求出关系,再结合求出,最后利用余弦定理求出.
【详解】,
,
,
,又,
,
.
故答案为:.
四、双空题
16.在梯形中,,将沿折起,连接,得到三棱锥,则三棱锥体积的最大值为 .此时该三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】注意到三棱锥体积最大时,平面平面ABC,可知以B为顶点时,BC为三棱锥的高,然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积;利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径,然后可得表面积.
【详解】过点C作,垂足为E,
为等腰梯形,
,
由余弦定理得,即
易知,当平面平面ABC时,三棱锥体积最大,
此时,平面
易知,
记O为外接球球心,半径为R
平面,
O到平面的距离
又的外接圆半径
故答案为:,
五、解答题
17.已知
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用两角和的正切公式求出,然后根据两角的取值范围即可求解;
(2)利用同角三角函数的基本关系得到,然后结合(1)的结论和两角和的正弦公式即可求解.
【详解】(1),
,,.
(2)由,
求得,
.
18.为庆祝“五四”青年节,广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动,为了解全市参赛者成绩的情况,从所有参赛者中随机抽样抽取100名,将其成绩整理后分为6组,画出频率分布直方图如图所示(最低90分,最高150分),但是第一、二两组数据丢失,只知道第二组的频率是第一组的2倍.
(1)求第一组、第二组的频率各是多少?并补齐频率分布直方图;
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级,根据直方图,估计全市“良好”以上等级的成绩范围(保留1位小数);
(3)现知道直方图中成绩在内的平均数为136,在内的平均数为144,求成绩在内的平均数.
【答案】(1)第一组的频率为0.04,则第二组的频率为0.08,作图见解析
(2)
(3)138
【分析】(1)根据频率分布直方图的性质,建立方程,求得频率,不全图象,可得答案;
(2)根据百分位数的定义,结合频率分布直方图的性质,建立方程,可得答案;
(3)根据不同分组概率的所占比例,可得答案.
【详解】(1)设第一组的频率为,则第二组的频率为,依题意,解得,所以第一组的频率为0.04,则第二组的频率为0.08,补全频率分布直方图如下:
(2)由,设上四分位数为,则,
所以,解得,
所以全市“良好”以上等级的成绩范围;
(3)有图可知,成绩在的频率为;
成绩在的频率为,
成绩在的频率为,
显然,,
成绩在内的平均数为;
19.已知,,与的夹角为,函数.
(1)求函数最小正周期和对称中心;
(2)若锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,求的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为;对称中心为
(2)
【分析】(1)根据数量积的坐标表示及两角和的正弦公式得到,再根据计算得到的解析式,再根据正弦函数的性质计算可得;
(2)由(1)及求出,再由正弦定理将边化角及三角恒等变换公式化简得到,最后根据三角形为锐角三角形求出的范围,从而求出的范围,即可得解;
【详解】(1)解:由条件可知:,
,
∴,
∴的最小正周期为,
令,,解得,,
∴的对称中心为;
(2)解:由正弦定理得,由(1),而,得,
∴,,解得,,又,可得,
∵,∴,
代入上式化简得:,
又在锐角中,有,∴,
∴,则有,
∴
20.如图,在直三棱柱中,,,是的中点,是的中点.
(1)求证平面
(2)求直线与平面所成的角的大小
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)取中点,连接,进而证明四边形是平行四边形,再根据线面平行判定定理即可证明;
(2)根据题意证明平面,故是直线与平面 所成的角的平面角,再根据几何关系求解即可.
【详解】(1)如图1,取中点,连接,
因为是的中点,
所以,
又因为在直三棱柱中,是的中点,
所以,
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面;
(2)如图2,连接,,
由直三棱柱的性质可知平面,
因为平面,所以,
因为,,是的中点,
所以,
因为,平面,
所以平面,
所以是直线与平面所成的角的平面角,
因为,,
所以不妨设,则,,,
所以,则,
所以,
因为,所以
所以直线与平面 所成的角的大小.
21.如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,,,O是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)点M在棱上,满足,且三棱锥的体积为,求的值及二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2),二面角的正切值为
【分析】(1)连接,则可得四边形为正方形,得,由已知条件结合面面垂直的性质可得平面,则,则由线面垂直的判定可得平面,再由面面垂直的判定可得结论;
(2)设点到平面的距离分别为,由可求出,由三棱锥的体积为,可求出,再由可求出的值,取靠近点的四等份点,连接,过点作于,连接,则可得为二面角的平面角,然后在中可求得结果
【详解】(1)连接,
因为底面中,,,
所以四边形为正方形,所以,
因为侧面为等边三角形,O是的中点,
所以,
因为平面平面,平面平面,
所以平面,
因为平面,
所以,
因为,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面;
(2)因为底面中,,,侧面为等边三角形,O是的中点,
所以,,,
因为平面,平面,
所以,
所以,
因为,
所以,所以,
设点到平面的距离分别为,
因为,所以,
,解得,
因为三棱锥的体积为,
所以,所以,解得,
所以,所以,
因为,所以,
取靠近点的四等份点,连接,则∥,
因为平面,所以平面,
因为平面,所以,
过点作于,连接,
因为,所以平面,
因为平面,所以,
所以为二面角的平面角,
因为,所以,
因为,
所以四边形为矩形,所以,
所以在中,,
所以二面角的正切值为
22.在城镇化的旧房改造进程中,小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市,遇到如下问题:如图所示,一条直角走廊宽为2米,现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形,它的宽为1米.直线分别交直线于,过墙角作于,于;请你结合所学知识帮小明解决如下问题:
(1)若平板车卡在直角走廊内,且,试将平板面的长表示为的函数;
(2)若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?
【答案】(1),
(2)长度不能超过米
【分析】(1)由题意分别表示出,,,,根据,即可求解.
(2)由题意可知对任意角,平板车的长度,记 ,利用函数的单调性即可求出最值.
【详解】(1),,,
,
所以,
(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角,平板车的长度,
记 ,则=,
又则,
所以,所以,即,
则
记,,则,
函数
因为在上都递增,
所以在上都递增,
所以在上的单调递减;
当时取得最小值.
所以长度不能超过米
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