2022-2023学年广东省东莞市东莞高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市东莞高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：，

所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.

故选：B.

2．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法不正确的是（    ）

A．这组数据的平均数是8 B．这组数据的极差是4

C．这组数据的中位数是8 D．这组数据的方差是2

【答案】D

【分析】由平均数、中位数、极差、方差的概念计算后逐一判断

【详解】对于A，平均数为，故A正确

对于B，极差为，故B正确，

对于C，数据排序后为，中位数为，故C正确，

对于D，方差为，故D错误，

故选：D

3．已知两条不同的直线、及平面、，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】由线面、面面平行垂直的判定和性质可得.

【详解】选项A：若，则可能相交、平行或异面，故A错误；

选项B：若，则可能相交、平行或异面，故B错误；

选项C：若，则，故C正确；

选项D：，则可能平行或异面，故D错误.

故选：C

4．在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（    ）

A．1680 B．1020 C．960 D．720

【答案】C

【分析】先得到从该校高一年级抽取的学生人数为人，根据分层抽样的方法列出方程，即可求解.

【详解】设该校高一年级学生人数为人，

由题意，从该校高一年级抽取的学生人数为人，

可得，解得人，

即从该校高一年级学生的人数为人.

故选：C.

5．中角，，所对边的长分别为，，.向量，.若，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量共线可得，然后由余弦定理可得答案.

【详解】因为向量，，，

所以，即，

由余弦定理可得，

因为，所以，

故选：B

6．在△ABC中，D为BC中点，点E为AD上靠近D点的一个三等分点，若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量运算法则得到，对比计算得到答案.

【详解】.

故.

故选：C.

7．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设球的半径为，从而得到圆柱的底面半径为，高为，从而求出圆柱的表面积和球的表面积，得到答案.

【详解】设球的半径为，根据题意可得圆柱的底面半径为，高为，

设圆柱的表面积为，球的表面积为，

.

故圆柱的表面积与球的表面积之比为3：2.

故选：C

8．如图，直角梯形中，，，，梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段或的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，即可得出答案.

【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.

取圆台的轴截面

由题意知，球心一定在线段或的延长线上

如图1，当球心在线段上时.

过点作于点，则，，

所以，.

设球的半径为，，，

则由勾股定理可得，，即，

整理可得，解得（舍去）；

如图2，当球心在的延长线上时.

过点作于点，则，，

所以，.

设球的半径为，，则，

则由勾股定理可得，，即，

整理可得，解得.

所以，，

所以，圆台外接球的表面积为.

故选：D.

二、多选题

9．如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：根据统计图，下列结论正确的是（    ）

A．异地快递量逐月递增

B．同城快递量，9月份多于10月份

C．同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同

D．同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同

【答案】BD

【分析】根据统计图中数据分析得到BD正确.

【详解】由我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图，知：

对于A，异地快递量2月到6月逐月递增，6月到7月递减，7月到10月逐月递增，故A正确；

对于B，月同城快递量113215.1万件，10月同城快递量97454.2万件，9月份多于10月份，故B正确；

对于C，同城的月快递量达到峰值的月份是6月，异地的月快递量达到峰值的月份是10月，故C错误；

对于D，同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同，都是3月，故D正确.

故选：BD.

10．八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】结合正八边形的几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，，

在中，

正八面体的边长为，

三角形是等腰直角三角形，所以，所以，A选项正确.

由于，所以三角形是直角三角形，所以，B选项错误.

因为，，

，D选项正确.

由于，，

所以三角形是直角三角形，且，所以C选项正确.

故选：ACD.

11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则只有一解

B．若，则是锐角三角形

C．若O为所在平面内一点，且，则O为的垂心

D．若，则的形状是等腰或直角三角形

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理可判断A；根据数量积的定义判断B；根据数量积的运算律可判断C；根据余弦定理化简已知等式可判断D.

【详解】对于A，由正弦定理得，

因为B为三角形内角，故，即只有一解，A正确；

对于B，由可知，

即三角形内角A为锐角，但B，C大小不确定，推不出是锐角三角形，B错误；

对于C，由可得，

即即，同理可得，

即O为的垂心，C正确；

对于D，由得，，

即，

即，即或，

即的形状是等腰或直角三角形，D正确，

故选：ACD

12．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ）

A．BP的最小值为

B．当P在上运动时，都有

C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变

D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】判断BP的最小值即为正三角形的边上的高，即可判断A；证明平面，根据线面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的性质结合棱锥的体积公式可判断C；将平面沿着翻折到平面上，将的最小值转化为线段AC的长度，判断D.

【详解】对于A，连接，在正方体中，，

故BP的最小值为正三角形的边上的高，即，A正确；

对于B，连接，

由于平面，平面，故，

而平面，

故平面，平面，故；

同理可证，平面，

故平面，平面，故，即，B正确；

对于C，连接，因为，

故四边形为平行四边形，则平面，平面，

故平面，P点在直线上运动，即P到平面的距离为定值，

而为边长为的正三角形，其面积为定值，

故三棱锥的体积为定值，由于

故三棱锥的体积为定值，C正确；

对于D，将平面沿着翻折到平面上，连接，

与交于点P，则即为的最小值；

在中，，，

即的最小值为，D错误；

故选：ABC

【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于D选项的判断，解答时要采用将空间问题平面化的方法，即将两平面翻折到一个平面上，从而将两条线段的和变为一条线段的长度问题.

三、填空题

13．已知向量、满足，则          

【答案】

【分析】将，两边同时平方，即可求得两向量乘积，再将要求的关系式平方代入即可.

【详解】，，解得，所以，则.

故答案为：

14．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是        ．

【答案】

【分析】将直观图还原可得，原图形为平行四边形，根据斜二测画法的法则，结合勾股定理，可得出平行四边形各边长，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

则将直观图还原为原图形如下图

原图形为平行四边形，其中，，，

所以，，

所以，的周长为.

故答案为：.

15．已知圆锥的母线为3，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为       ．

【答案】

【分析】先根据题意求出侧面展开所成扇形的弧长即底面圆的周长，进而求出底面圆的半径和棱锥的高，最后根据锥体体积公式求得答案.

【详解】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据题意，侧面展开所成扇形的弧长为，所以，则，于是圆锥的体积为.

故答案为：.

16．如图，在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为   ．

【答案】

【分析】利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】设，则，

在中，由余弦定理，得

，

在中，由余弦定理，得

，

由于，得，

即，整理，得，

在中，由余弦定理，得

,即，代入式化简整理，得

由基本不等式得，即，

当且仅当即时，等号成立，

当时，取得最大值为.

所以面积的最大值为

.

故答案为：.

【点睛】解决此题的关键就是利用余弦定理算两次，得到表达式利用基本不等式得出的最大值，结合三角形的面积公式即可.

四、解答题

17．已知复数，为虚数单位.

(1)求和；

(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.

【答案】(1)，．

(2)，

【分析】（1）根据复数的乘除运算规则计算；

（2）将z代入方程，根据复数等于0的意义求解.

【详解】（1）∵ ，

∴ ， ；

（2）∵复数是关于的方程的一个根，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴，解得，；

综上， .

18．如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点．

(1)试用，表示，；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；

（2）以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解.

【详解】（1），

，

．

（2）由题意可知，，，

所以

．

19．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．

（1）求证：//平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值．

【答案】（1）见解析（2）

【分析】（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；

（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.

【详解】（1） 连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴ .

 又∵平面，平面,∴平面；

（2）取中点，连接，

∵分别为的中点，∴，

∵平面，∴平面，

∴直线与平面所成角为，

∵，，∴.

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．

20．为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计.根据旅游局的治理规划方案，收集了各旅游景区在治理后收益的增加值，将所有数据按照[0，2)，[2，4)，…，[10，12)分成6组，绘制出如下频率分布直方图.

(1)求图中m的值；

(2)利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数(以各组的区间中点值代表该组的取值)；

(3)若该市旅游局打算奖励收益增加值前10%的旅游景区，需要制定一个标准t万元(即收益增加值大于t则奖励)估计t的值，并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）根据概率和为可求出结果；

（2）用各组的区间中点值乘以该组区间的面积，再相加可求出结果；

（3）先判断所在的组，再根据益增加值前10%列式可求出结果.

【详解】（1）由，得.

（2）.

（3）因为，

，

，

，

，

所以，

由，得.

21．已知为锐角三角形，且．

(1)若，求；

(2)已知点在边上，且，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；

（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.

【详解】（1）因为，

所以，即，

又，，

所以，

所以，即，又，，

所以，即；

（2）因为，所以，又，

可得，

在中，，

所以，

在中，，

因为为锐角三角形，

所以，得，

所以，

所以，即的取值范围为.

22．如图所示，在长方形中，，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面．

（1）求证：；

（2）求四棱锥的体积；

（3）在棱上是否存在一点，使得//平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】（1）先证明,又平面平面，利用面面垂直的性质可知平面,则可证明；

（2）取的中点，连接，则可证明平面,所以;

（3）连接交于，假设在上存在点，使得//平面，连接．

要使//平面,只需//，然后采用几何法确定点的位置.

【详解】解：（1）证明：根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形，

∴，

∴，即．

∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）取的中点，连接，则，且．

∵平面平面，

且平面平面，平面，

∴平面，

∴．

（3）如图所示，连接交于，假设在上存在点，使得//平面，连接．

∵平面，平面平面，

∴//，

在中，，

∵，∴，

∴，即，

∴在棱上存在一点P，且，

使得//平面．

【点睛】本题考查空间垂直关系的判断及证明，考查棱锥的体积计算、以及存在性动点问题，难度一般，考查学生的逻辑推理能力、计算能力及空间想象能力.