2022-2023学年安徽省池州市贵池区高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年安徽省池州市贵池区高一下学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省池州市贵池区高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．若为虚数单位，则复数的虚部为 （    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用复数除法求出的代数形式，进而可得虚部.【详解】，其虚部为.故选：A.2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（　　）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．3．某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（    ）A． B．75 C． D．【答案】D【分析】根据扇形弧长求出圆锥底面圆的半径，进而求出圆锥的高，求出体积.【详解】设底面圆的半径为，则，解得：，设圆锥的高为，则，则圆锥的体积为.故选：D4．已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案.【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为，则，即，而，故，故选：D5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（    ）A．6π B．12π C． D．24π【答案】D【分析】由于正四棱柱的体对角线就是其外接球的直径，所以先求出体对角线，从而可求得球的半径，进而可求出外接球的表面积【详解】设正四棱柱的外接球半径为因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以，得，所以该正四棱柱的外接球的表面积为，故选：D6．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（    ）A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.【详解】因为，由正弦定理可得，因为，所以，整理可得.故选：B.7．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用正弦定理和锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A8．如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（    ）A．3 B．12 C．4 D．16【答案】C【分析】根据和向量的线性运算可得，再利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值.【详解】连接，因为，故，故，故，而三点共线，故，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，故选：C 二、多选题9．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（    ）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】BC【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使有两个解，则，即，解得：，故选：BC10．如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler's formula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（    ）A．共有20个六边形B．共有10个五边形C．共有90条棱D．共有32个面【答案】ACD【分析】分别设出正五边形和正六边形的个数，利用关系式即可解出正五边形和正六边形的数量，以及棱数和面数.【详解】解：由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，解得：.B错误.∵顶点数：，解得：，∴A正确.面数：.∴D正确.棱数：.C正确.故选：ACD.11．已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法正确的是（    ）A．B．若△ABC为正三角形，则C．若，则D．【答案】ACD【分析】对于A，利用向量的加法法则分析判断，对于B，利用数量积的运算性质求解，对于C，利用向量的减法法则和数量积的性质判断，对于D，利用向量的加法法则分析判断.【详解】对于A，因为为中的中点，所以，所以A正确；对于B，因为为正三角形，所以，所以，所以B不正确；对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为为的重心，分别为边的中点，所以，即，所以，所以D正确.故选：ACD.12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为、的中点，在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（    ）  A．三棱锥的体积与点位置无关B．若为中点，三棱锥的体积为C．若为中点，则过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是D．若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为三角形【答案】AC【分析】根据锥体的体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．【详解】对于A选项，由正方体可得平面平面，平面所以平面，又，所以点到平面的距离为定值即的长因为，由于三角形的面积固定，所以三棱锥的体积与点位置无关，A选项正确；对于B选项，，所以，B选项错误；对于C选项，当为中点时，连接，则是的中点，连接，  由于，分别是，的中点，所以，由于，则，即过点，，作正方体的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，C选项正确；对于D选项，当与重合时，延长交的延长线于，连接，交于，连接，延长交的延长线于，连接，交于，连接，  则五边形是过点，，作正方体的截面，D选项错误．故选：AC． 三、填空题13．在中，若，则的值为           .【答案】/【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】因为，由正弦定理，即，所以，因为，所以.故答案为：14．已知复数，则         【答案】【分析】利用共轭复数及复数除法运算求解作答.【详解】复数，则，所以.故答案为：15．如图所示，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为（棱台的体积），（几何体的体积）的两部分，那么      .【答案】【分析】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则，然后利用棱台的体积公式求出，从而可得，进而可得答案【详解】解： 设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则.因为，分别为，的中点，所以，所以，.所以.故答案为： 四、双空题16．如图，在边长为1的正方形中，E为的中点，P为以A为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的点，若点P在AC上时，则的取值是           ；若向量，则的最大值为           .   【答案】          【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系.空1：若点P在AC上时，则，根据平面向量的坐标运算求解；空2：根据向量的坐标运算可得，进而利用诱导公式可得，结合三角函数运算求解.【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，  则，设，则，空1：若点P在AC上时，则，可得，所以；空2：因为，可得，若，则，可得，因为，则，当，即时，取到最大值.故答案为：；. 五、解答题17．已知为虚数单位.(1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；(2)若复数满足，求复数.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据复数在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出的范围；（2）根据复数相等以及模长公式得出复数.【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，所以，得的取值范围是：（2）设复数，由条件得，所以解得：，所以18．已知向量．(1)若向量与垂直，求实数k的值；(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；【详解】（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.19．如图，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可知，即可求解；（2），从而即可求解.【详解】（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.21．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．(1)若点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；(2)求该八面体表面积S的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，求得正方形边长，相应四棱锥的高是长方体高的一半，由棱锥体积公式可得八面体体积；（2）如图，设平面ABCD截正方体所得截面为，且的中心为O，过点O作，垂足为G．由对称性，不妨设，求出正四棱锥底面边长，斜高，由一个侧面的面积得八面体的表面积，从而得范围．【详解】（1）由点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，∴，∴八面体．（2）如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为，且的中心为O，过点O作，垂足为G．　　　　图1由对称性，不妨设，则，，，．设AD的中点为H，如图2，　　　　　图2则，，所以．因为，所以，则，故，所以，所以此八面体的表面积S的取值范围为．22．如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.(1)若，求EF的值；(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得，设，则，在中，由余弦定理，则，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）设，则，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面积，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值.