2022-2023学年黑龙江省绥化市肇东市第四中学校高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省绥化市肇东市第四中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求.

【详解】，

故选：D.

2．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

3．已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

4．已知，且，其中a，b为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

得,即

故选:

5．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．

【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．

棱台上底面积，下底面积，

∴

．

故选：C．

6．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

7．安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江. 安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得，由可求得结果.

【详解】在中，由正弦定理得：，

河流的宽度.

故选：A.

8．在中，分别是角的对边，=，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理、余弦定理得，则，再利用基本不等式和三角形面积公式即可求出答案.

【详解】因为所以

则由正弦定理得，

化简得：，，，

由余弦定理得：，

即，当且仅当时等号成立，

所以，

故选：B.

二、多选题

9．下列四个命题中正确的是（    ）

A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面

B．若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面

C．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

D．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

【答案】ABC

【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项.

【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；

公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；

空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；

若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误.

故选：ABC

10．下列命题中错误的是（    ）

A．

B．若，满足，且与同向，则

C．若，则

D．若是等边三角形，则

【答案】BC

【分析】根据向量的概念、模、数量积、夹角等知识确定正确答案.

【详解】A选项，根据向量加法的几何意义可知，所以A选项正确.

B选项，向量不能比较大小（向量的模可以比较大小），所以B选项错误.

C选项，若且是零向量，则无法得到，所以C选项错误.

D选项，根据向量夹角、等边三角形的知识可知，D选项正确.

故选：BC

11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（    ）

A．若，则是锐角三角形

B．若，，则的外接圆的面积等于

C．若是锐角三角形，则

D．若，则是等腰直角三角形

【答案】BC

【分析】根据余弦定理即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；由题意可得，即可判断C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.

【详解】A：由余弦定理，得，得B为锐角，

不能判断为锐角，故A错误；

B：设的外接圆的半径为R，由正弦定理得，

得，所以其外接圆的面积为，故B正确；

C：若为锐角三角形，则，且，

所以，故C正确；

D：，由正弦定理，得，

即，而，所以或，

即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.

故选：BC.

12．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ）

A． B．复数的虚部为

C．若复数为纯虚数，则 D．

【答案】AD

【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.

【详解】因为，A正确；

复数的虚部为，B不正确；

若，则，，C不正确；

设，所以，

，D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则        ．

【答案】

【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

14．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为      .

【答案】90°

【分析】由图形中直线的位置关系，将问题转化为求与所成的角，易得结果.

【详解】因为在正方体中，，

所以异面直线与所成的角等于与所成的角，

又因为为正三角形，且E为的中点，

所以，即与所成的角为，异面直线与所成的角为.

故答案为：.

15．已知向量，满足，则向量，的夹角为          

【答案】

【分析】先设向量，的夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.

【详解】由题意，可设向量，的夹角为，

向量，满足，

，，

由，则，

解得：，

又，，

故答案为：.

16．已知，则=           .

【答案】

【分析】运用二倍角进行化简，将其转为其次式即可求出结果.

【详解】注意到

，则，

又，

则.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数.

(1)若复数为纯虚数，求实数的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；

（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；

【详解】（1），且复数为纯虚数，

，

解得；

（2）复数在复平面内对应的点在第四象限，

，

解得.

18．在平面直角坐标系中，已知点，，

(1)若三点共线，求实数的值；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据点的坐标得到向量，根据三点共线则向量与向量共线得到方程组，解方程组得到m的值；

（2）根据两直线垂直得到向量的数量积为0，从而得到关于m的方程，解方程得到m的值.

【详解】（1）由题意得，

则由三点共线得存在实数，使得，

即，

解得或.

（2）由得，

即，

解得.

19．已知的内角的对边分别为，．

(1)求A；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；

(2)利用余弦定理及条件，建立方程求出的值，再用面积公式求出结果.

【详解】（1）(1)由正弦定理及，得，

所以，

即，所以

因为，所以，又，所以

（2）(2)，，又由(1)知

由余弦定理得，

即，则

所以的面积为

20．已知函数．

(1)若，且，求的值；

(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.

（2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以，

又，则，

所以，

又，

故.

（2）由，又，

所以，即．

由正弦定理，可得，

因为是锐角三角形，

所以，即．

所以，

所以．

即的取值范围为.

21．如图所示，用一个半径为厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．

(1)求该圆锥的表面积和体积；

(2)求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离．

【答案】(1)（平方厘米），（立方厘米）

(2)厘米

【分析】（1）设圆锥底面半径为厘米，母线的长为厘米，根据扇形的弧长公式求得，再利用勾股定理求得圆锥的高，再根据圆锥的表面积公式和体积公式即可得解；

（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，从而可得最高点到底面的距离为等边三角形的高，即可得解.

【详解】（1）设圆锥底面半径为厘米，母线的长为厘米，

则厘米，且，

解得厘米，

表面积（平方厘米），

圆锥的高（厘米），

体积（立方厘米）；

（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为厘米，

最高点到底面的距离为等边三角形的高厘米，

故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米．

22．如图，在正方体中，与交于点，求证：

(1)直线平面；

(2)直线平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，先证得四边形是平行四边形，从而证得，即可证得线面垂直；

(2)连接BD，交AC于O，连接，只需证明，即可证得线面垂直；

【详解】（1）证明：直线在平面外，因为，

所以四边形是平行四边形，所以，

而是平面内的直线，根据判定定理可知，直线平面．

（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接，易知，

则四边形是平行四边形，所以，

所以在平面上，根据判定定理可知，平面．