2022-2023学年湖南省益阳市安化县第二中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省益阳市安化县第二中学高一下学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省益阳市安化县第二中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知复数，则的虚部为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的实部与虚部的定义，即可得到结果.【详解】因为复数，则其虚部为.故选：B2．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】，，，，解得.故选：A.3．球的半径是，则该球的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据球的体积公式计算可得.【详解】因为球的半径是，所以球的体积.故选：A4．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（    ）  A．4 B． C． D．-4【答案】B【分析】根据题意，由斜二测画法的规则，即可得到原图形的面积.【详解】  还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为.故选：B5．在中，为边上的点，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由平面向量的线性运算结合平面向量基本定理，代入化简，即可得到结果.【详解】因为，且，则，所以.故选：D6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内【答案】C【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项.【详解】解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β，由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b，因为直线a∥平面α，，，所以a∥b.故选：C．7．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米.A．80 B．120 C． D．【答案】D【分析】先求，利用余弦定理求得.【详解】，在三角形中，由余弦定理得：米.故选：D8．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，结合正方体的性质，即可求解.【详解】由题意，正三棱锥中，，则，所以，同理可得，即，，两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体，则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球的直径，所以球心位于正方体对角线的中点,所以三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，所以. 二、多选题9．设复数，则（    ）A．对应的点在第一象限 B．C．的虚部为 D．【答案】AB【分析】先化简复数，然后根据复数的几何意义以及性质逐项分析即可.【详解】因为，故对应的点为在第一象限，故A正确；此时，故B正确；的虚部为，故C错误；，故D错误，故选：AB.10．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（    ）A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.B．若，，则.C．若，，，，，，则.D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.【答案】ABD【分析】举特例即可说明A、D错误；根据直线与平面的位置关系可判断B；由已知结合基本事实2，即可判断C.【详解】对于A项，正四面体的各条棱长均相等，四边形为空间四边形，不是菱形，故A项错误；对于B项，若，则或与相交，所以或（此时为与的交点），故B项错误；对于C项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内，根据基本事实2可知，故C项正确；对于D项，如图正方体中，和异面（是异面直线），（），但是（相交），故D项错误.故选：ABD.11．已知向量，则（    ）A．与方向相反的单位向量的坐标为B．当时，与的夹角为锐角C．当时，、可作为平面内的一组基底D．当时，在方向上的投影向量为【答案】BC【分析】根据与方向相反的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A，与方向相反的单位向量为，故A错误；对于B，当时，，，，所以与的夹角为锐角，故B正确；对于C，当时，，，则，则与不平行，所以、可作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，当时，，，，，所以，故D错误．故选：BC.12．已知直三棱柱中，，，，，，点分别为棱，，，的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（    ）A．，，，四点共面B．三棱锥的体积为定值C．一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为D．若为的中点，则过，，三点的平面截三棱柱所得截面的周长为【答案】ABD【分析】对于A，通过证明∥，可判断，对于B，由∥平面进行判断，对于C，将平面沿旋转到与平面在同一个平面内，则可判断，对于D，由题意可得过三点的平面为平面即可判断.【详解】对于A，连接，因为，点分别为棱，的中点，所以∥，因为∥，所以∥，因为是线段上（包含端点）的动点，所以，，，四点共面，所以A正确，对于B，因为，点分别为棱，的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为是线段上（包含端点）的动点，所以点到平面的距离等于到平面的距离，则，因为，所以，所以B正确，对于C，将平面沿旋转到与平面在同一个平面内，则从点爬到点的最近距离为，所以C错误，对于D，因为为的中点，为棱的中点，所以∥，因为∥，所以过点过三点的平面为平面，则截面的周长为，因为, ，所以截面的周长为，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥的体积的求法，考查棱柱上截面周长的求法，求截面周长的关键是根据平行线的性质作出截面图形，从而根据图形的性质求解，考查空间想象能力，属于较难题. 三、填空题13．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的体积为         .【答案】【分析】根据勾股定理求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，所以圆锥的高为，故圆锥的体积为．故答案为：.14．已知，，，则与的夹角的度数为      .【答案】【分析】设与的夹角为，根据，，，由求解.【详解】设与的夹角为，因为，，，所以，解得，因为，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，c=4，，且的面积为，则      ．【答案】【分析】根据三角形面积公式求出，再由余弦定理的变形即可得出.【详解】由，且，可得，，解得，，，可得，代入，即，故答案为：16．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为，则四棱锥的外接球的表面积为         .【答案】【分析】先确定四棱锥为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线上，由勾股定理可得半径，结合球的表面积公式计算即可求解.【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台，直线与直线的交点为，所以四棱锥为正四棱锥，得平面，四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接，设该外接球的半径为，由，，所以，则，即，解得，则四棱锥外接球的表面积为.故答案为：. 四、解答题17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，.(1)求b的值;(2)求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理化简可得，再由余弦定理即可求解；（2）直接由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，即，由余弦定理得.所以.（2）因为，，，所以.18．棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：  (1)求截去的三棱锥的表面积(2)剩余的几何体的体积【答案】(1)(2) 【分析】（1）分析三棱锥各个面的特征，从而求出其面积，即可得解；（2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可得解.【详解】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积；（2）正方体的体积为，三棱锥的体积，所以剩余的几何体的体积为.19．已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式.(2)写出的递增区间.【答案】(1)(2)， 【分析】(1) 由函数的图像可得，得出周期，从而得出，再根据五点作图法求出，得出答案.(2) 令解出的范围，得出答案.【详解】（1）由图可知，，∴，∴，将点代入得，，，∴，，∵，∴，∴（2）由，，解得，，∴的递增区间为，．20．如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点.  (1)求证：平面平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可；（2）利用线面平行的性质定理证明即可【详解】（1）证明：因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，所以，，又平面，平面，则平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面所以平面平面.（2）证明：因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.21．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合向量运算、正弦定理求得，由此求得.（2）利用正弦定理将表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得的取值范围、【详解】（1）在中，，∵，∴，即，由正弦定理得：，∴，∴，又，∴，∴.（2）由正弦定理得：，∴，，∴ ，∵，∴，即，∴，，∴，即.22．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角C；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用倍角公式化简为，再弦化切得，再逆用和角正切公式可得，进而可求解；（2）利用正弦定理边化角得，令，则，转化为求取值范围，从而利用二次函数在区间的最值求法可得.【详解】（1）因为，所以，，因为，所以，所以，上式整理得，即，所以，所以.因为，所以，因为，所以，即，解得.（2）因为，所以令，因为，所以所以，则.则，所以，令，因为的对称轴为，且开口向上，所以在区间上单调递增，所以的取值范围为，所以的取值范围为.【点睛】关键点睛：第二问中求的取值范围，利用与的关系，设，从而，最终问题转化为求的取值范围.