2022-2023学年海南省屯昌中学高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年海南省屯昌中学高一下学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年海南省屯昌中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则A． B．C． D．【答案】C【解析】由交集定义可直接求得结果.【详解】由交集定义知：.故选：C.2．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式即可.【详解】.故选：B.3．已知向量，若，则实数（    ）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】B【分析】利用向量垂直的条件直接求得.【详解】因为向量，且，所以，解得：.故选：B4．命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】首先求解不等式的解集，再根据集合的包含关系，即可判断选项.【详解】不等式，解得：，因为，所以是的充分不必要条件.故选：A5．已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用二倍角公式化简，再根据齐次分式形式，用表示，即可求解.【详解】.故选：D6．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，所以,故选：A7．若是函数的零点，则属于区间（    ）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意是函数的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可.【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得，所以，即.又为上的减函数，由零点存在定理，可得函数有且只有一个零点且零点.故选：B．8．湖北省第十六届运动会将于年月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端离地面米，大屏幕高米，若某位观众眼睛离地面米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，表示出，，利用两角和差正切公式，结合基本不等式可确定当时，取得最大值，由此可得结论.【详解】如图所示，由题意知：，，设，则，，（当且仅当，即时取等号），，当时，可以获得观看的最佳视野.故选：B. 二、多选题9．已知，则下列计算正确的有（    ）．A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据指对互化，得，再根据指数运算判断其他选项.【详解】因为，所以，故A正确；则，且，所以，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：ABC10．下列与平面向量相关的结论正确的是（    ）．A．在四边形中，若，则该四边形为平行四边形B．对任意一个等边，都成立C．对于非零向量，，成立的充要条件是，方向相同D．对于非零向量，，成立的充要条件是，方向相同【答案】AD【分析】根据向量相等的定义，以及向量数量积的公式，即可判断选项.【详解】A.由向量相等可知，，且，所以四边形为平行四边形，故A正确；B. 对任意一个等边，应是都成立，故B错误；C.因为，所以，若，则，则或，即，方向相同或相反，反过来，，方向相同，则，即，所以应是充分不必要条件，故C错误；D. 对于非零向量，，成立的充要条件是，方向相同，故D正确.故选：AD11．下列关于函数的说法正确的是（    ）.A．函数的图象是通过把的图象向右平移个单位长度得到的B．函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为C．函数的图象关于点中心对称D．若函数为偶函数，则的绝对值最小为【答案】BCD【分析】根据平移变换法则判断A，根据函数的周期判断B，根据对称中心结论判断C，根据偶函数的性质判断D.【详解】对于A，把的图象向右平移个单位长度得到，错误；对于B，函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，正确；对于C，令得，所以函数的对称中心为，当时，函数的图象关于点中心对称，正确；对于D，，若函数为偶函数，则，所以，当时，，当时，，所以函数为偶函数，则的绝对值最小为，正确.故选：BCD12．若x，y满足，则（    ）.A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中C选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解.【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，故A正确，B错误；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，故D正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时，即时，此时，取到最大值2，故C错误.故选：AD.【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题13．      ．【答案】【分析】利用两角差的正弦公式可求得结果.【详解】.故答案为：.14．已知函数，则          ．【答案】【分析】首先根据分段函数求，再求的值.【详解】，所以.故答案为：15．设为单位向量，且，则              .【答案】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.16．在中，由以下各个条件分别能得出为等边三角形的有：      .①已知且；②已知且；③已知且；④已知且.【答案】①③【分析】根据余弦定理求得边的关系即可判断①，利用正弦值求解角即可判断②，利用边的关系及完全平方式判断③，利用正弦定理及二倍角求出角判断④.【详解】对于①，因为，所以，由余弦定理得，，又，所以，所以，所以，所以，所以为等边三角形；对于②，因为，，所以或，当时，，所以，所以为等边三角形；当时，，所以为等腰三角形；对于③，因为且，所以，所以，所以，又，所以，所以为等边三角形；对于④，因为，所以，即，所以，所以或，所以或，当时，，所以，所以为等边三角形；当时，，所以，所以为直角三角形；故答案为：①③【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）如果题目给的边的关系，往往配方找到边的等量关系判断，（2）利用余弦定理化边为角，判断三角形的形状，（3）利用正弦定理化角为边，利用边长关系判断三角形的形状，其中边角互化是解决此类问题的关键. 四、解答题17．已知向量.(1)若，求.(2)若，且，求的坐标.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）直接利用向量的线性坐标运算计算即可；（2）设出向量的坐标，利用模的坐标公式及共线的坐标公式列方程计算即可.【详解】（1）因为向量，，所以；（2）设，因为，且，所以，所以或，所以或.18．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.  (1)设，，用，表示，；(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.【答案】(1)，(2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；（2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可.【详解】（1），；（2），证明如下：由（1）知，，所以，设，则，所以，所以，得证.19．已知函数，其中，.(1)将化简成的形式；(2)求使取得最大值的自变量x的集合.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简即可；（2）结合正弦函数取得最大值的结论，换元法即可求得.【详解】（1）.（2）由（1）知，，则当时，即时，取得最大值2，所以使取得最大值的自变量x的集合为.20．在中，已知角，，．(1)求角A；(2)求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理求得角，结合角C即可求角；（2）根据三角形面积公式，结合三角恒等变换，即可求解.【详解】（1）根据正弦定理，，，，，所以，且，所以，所以角；（2），所以.21．已知函数为奇函数.(1)求的定义域和a的值；(2)证明：是的充要条件；(3)直接写出的单调区间和值域.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)的单调减区间为和，无增区间，值域 【分析】（1）先由分母不为0求出函数的定义域，再根据奇函数的性质求的值.（2）从充分性和必要性两方面结合指数函数的值域证明即可；（3）先判断函数的单调性，然后利用定义法证明，利用求解函数的值域.【详解】（1）由题意，，所以，故的定义域为，又为奇函数，所以恒成立，而，故恒成立，所以恒成立，所以，所以；（2）由（1）知，，充分性：当时，，所以，所以；必要性：若，则，所以，所以，即，解得；综上，是的充要条件.（3），则在和上单调递减，证明如下：任取，且，则，由于，，所以，所以在上单调递减，同理可证在上单调递减.因为，所以，，因为，所以或，所以函数的值域为.22．已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)在中，A为锐角且，，猜想的形状并证明.【答案】(1)(2)直角三角形，证明见解析 【分析】（1）由最值求，由周期求，再由，可求，进而可求函数解析式；（2）利用正弦定理进行边角互换，然后化简即可得到，从而判断三角形形状.【详解】（1）由题意可得，，故，又因为，故，所以，所以.（2）为直角三角形.证明如下：因为，所以，又A为锐角，所以，解得，由得，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以为直角三角形.【点睛】方法点睛：已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.