2022-2023学年陕西省铜川市宜君县高级中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省铜川市宜君县高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算公式直接计算即可.

【详解】因为，

所以．

故选：A.

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

2．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】首先根据复数的加减法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；

【详解】解：因为，所以，故在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：A

3．已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1： 由于原图为边长为a的正三角形ABC，则S△ABC=

故直观图的面积为× = ，故选D

4．已知向量，，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对化简可求出，再利用向量的夹角公式求解即可

【详解】因为，所以，

因为，所以，所以，

设与的夹角为，则，

因为，所以，

故选：A

5．如图所示，用符号语言可表达为（    ）

A．，， B．，，

C．，，， D．，，，

【答案】A

【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．

【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，

故用符号语言可表达为，，，

故选：A．

6．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项正确的为（    ）．

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若，，，则

【答案】B

【分析】根据线线，线面，面面平行或垂直的判定和性质定理，即可判断选项.

【详解】A.若，，则或，故A错误；

B. 若，，，则，故B正确；

C. 若，，，，不能推出，缺少是相交直线的条件，故C错误；

D. 若，，，则或异面，故D错误.

故选：B

7．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果.

【详解】，且，

，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

，

又，即，

，

即最大面积为，故选B.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

8．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意可得外接圆的半径及面积，高的最大值为，代入体积公式，结合题意可求得R值，代入球的表面积公式即可得答案.

【详解】设外接圆的半径为，则，

设球的半径为，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值.

所以，即，解得.

故球的表面积是．

故选：A.

二、多选题

9．若复数z满足(其中是虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(    )

A． B．复数z的实部是2

C．复数z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】ABD

【分析】根据复数的运算法则和基本概念即可逐项判断．

【详解】，，

∴，故A正确；复数z的实部为2，故B正确；复数z的虚部为－1，故C错误；复数在复平面内对应的点为(2，1)在第一象限，故D正确．

故选：ABD．

10．下列命题为真命题的有（    ）

A．已知非零向量，，，若，，则

B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形

C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底

D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为

【答案】ABD

【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．

【详解】对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，故A正确；

对于选项B，四边形ABCD中有，由平行四边形判定定理可得，

四边形ABCD为平行四边形，故B正确；

对于选项C，，，则，即，

则，不能作为平面向量的一组基底，故C错误；

对于选项D，向量，，则，，

故向量在向量上的投影向量为，故D正确.

故选：ABD.

11．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则是直角三角形

D．若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为

【答案】ABC

【分析】利用诱导公式化简判断A；利用正弦定理结合三角形边角关系判断B；利用余弦定理计算判断C，利用面积定理、正余弦定理计算判断D作答.

【详解】对于A，在中，，A正确；

对于B，在中，由正弦定理得：，B正确；

对于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正确；

对于D，依题意，，解得，

由余弦定理得：，

由正弦定理得外接圆半径，D不正确.

故选：ABC

12．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（    ）

A．三棱锥的体积不变

B．平面

C．

D．平面平面

【答案】ABD

【分析】证明平面判断A；证明平面平面判断B；利用判断C；证明平面判断D作答.

【详解】如图，在正方体中，

，，即四边形为平行四边形，，

平面，平面，则平面，于是得点P到平面的距离是定值，

而面积是定值，因此三棱锥的体积不变，A正确；

由选项A知，平面，同理平面，而，

平面，则平面平面，而平面，即有平面，B正确；

因，即为正三角形，点P在上，则与不一定垂直，C不正确；

因平面，平面，即有，正方形中，，

而，平面，则平面，平面，

于是得，同理，又，平面，

则平面，而平面，因此平面平面，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．设，向量，，若，则          ．

【答案】

【详解】从题设可得，即，应填答案．

14．已知是虚数单位，则复数的实部是     .

【答案】3

【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.

【详解】∵复数

∴

∴复数的实部为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．

15．如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD=,E为BC中点,若,则   .

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，结合题意分别确定点C,E的坐标，然后结合点的坐标和平面向量的坐标运算法则即可求得向量的数量积.

【详解】以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，

∵AB=3,AD=，E为BC中点，

∴A(0,0),B(3,0),D(0,)，

设C(x,)，，

，∴3x=3，解得x=1，∴C(1,)，

∵E为BC中点，∴,即为，

，

.

故答案为：−3.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是  .

【答案】2.

【分析】设圆柱的高为，表示出表面积可得，再分别表示出，即可.

【详解】解：设酒杯上部分高为，

则酒杯内壁表面积，

则，

所以，，

故，

故答案为：2.

【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.

四、解答题

17．已知向量，，，且，．

(1)求向量、；

(2)若，，求向量，的夹角的大小.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；

（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．

【详解】（1）解：因为，，，且，，

所以，，

所以，，

所以，；

（2）解：设向量，的夹角的大小为．

由题意可得，，，

所以，

因为，所以．

18．已知的内角所对的边分别为，向量，且．

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；

（2）利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】（1），，由正弦定理得：，

即，

，，，，

即，又，.

（2）由余弦定理得：，解得：；

.

19．如图，在长方体中，

(1)若该长方体被过顶点A，，的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；

(2)若该长方体的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积和表面积.

【答案】(1)

(2)球O的体积：，球O的表面积：

【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式即可求解；

（2）根据长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线长度，即可求出外接圆半径，再结合球的表面积和体积公式即可求解.

【详解】（1）因为长方体的体积为，

三棱锥的体积为，

所以剩余部分的体积为

（2）由题可知球O为长方体的外接球，则球O的半径，

故球O的体积为，

球O的表面积：.

20．如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；

(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在点，证明见解析

【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点的位置，即可证明.

【详解】（1）因为分别是的中点，

所以，且平面，平面，

所以平面；

（2）存在，点是的中点，此时，连结

因为分别是的中点，

所以，平面，平面，

所以平面，

由（1）可知，平面，且，且平面，

所以平面平面，

所以上存在中点，使平面平面.

21．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.

(1)求证：；

(2)求证：平面；

(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)存在，证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；

（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；

（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.

【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，

平面平面，所以；

（2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点，

所以且，由（1）知，又，

所以且，所以四边形为平行四边形，故，

而平面，平面，则平面.

（3）取中点N，连接，，

因为E，N分别为，的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，

线段存在点N，使得平面，理由如下：

由（2）知：平面，又，平面，平面，

所以平面平面，又M是上的动点，平面，

所以平面，所以线段存在点N，使得平面.

22．已知①，②，③在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

在中，角A，B，C的对边分别为，且满足

（1）求角A的大小；

（2）已知_______，_______，若存在，求的面积；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【分析】（1）由正弦定理对已知的式子变形化简可得，再利用余弦定理可求出角A的大小；

（2）若选择条件①和②，由正弦定理可求出，从而可求出的面积；若选择条件①和③，由余弦定理可求出，从而可求出的面积；若选择条件②和③，由正弦定理结合已知条件可得，从而可这样的三角形不存在

【详解】解：（1），

由正弦定理可得：，即，

，

，．

（2）方案一：选择条件①和②，由正弦定理，可得，

可得的面积．

方案二：选择条件①和③，由余弦定理，可得，

可得，可得，的面积．

方案三：选择条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由（1），则由正弦定理，由③可得，

而，

则，所以这样的三角形不存在．