2022-2023学年陕西省安康市汉阴中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省安康市汉阴中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集运算直接求解.

【详解】集合

.

故选:D.

2．函数在区间的图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性可排除CD，由函数值的正负可排除B，从而得正确选项．

【详解】函数的定义域为,

是偶函数，图象关于轴对称，

当时，，当时，.

故选：A.

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可.

【详解】，，，

所以.

故选：B

4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“是锐角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断“”能否推出“是锐角三角形”，以及判断“是锐角三角形”能否推出“”.

【详解】， ，，是锐角，但不能推出其它角也是锐角，所以不能推出“是锐角三角形”，但当是锐角三角形时，三个角都是锐角，一定有成立，故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和判断三角形形状，意在考查基本概念和基本变形，属于基础题型.

5．的内角的对边分别为，若，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．

【详解】因为，

则由正弦定理可得：，

又，且，

所以或．

故选：．

6．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，圆锥的底面半径为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，结合圆锥的侧面积和体积公式求得的表达式，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，由题意知母线长为

则，

所以，

当且仅当，即时，取得等号，

故选：C

7．在中，设是的外心，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得，由此利用向量的线性运算，结合向量模以及数量积的运算律可推出，，从而，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意是的外心，

故，

又，

所以

，则，

所以，

同理可得，故，

所以，由于为内角，

故，

故选：B

8．把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．-1 B． C．0 D．1

【答案】C

【分析】先利用三角函数图象变换规律求出，再求出其周期，然后利用周期可求得结果.

【详解】由题知函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，可得的图象，

再把图象向右平移2个单位长度，可得的图象，

即，其最小正周期，

，

.

故选：C

二、多选题

9．已知复数满足，则（    ）

A．的虚部为 B．

C． D．

【答案】BC

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】由，得，

则，

的虚部为，故错误；

，故正确；

，故正确；

，故错误．

故选：．

10．设向量，则（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】BD

【分析】根据向量平行的坐标表示可判断A；根据向量垂直的向量表示判断B；求出向量的坐标，可求得其模，求出，判断C；根据投影向量的定义可判断D.

【详解】由题意向量，则，

故不平行，A错误；

因为，

故，即，B正确；

因为，则，

故，C错误；

在上的投影向量为，D正确，

故选：BD

11．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则（    ）

A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线

C．直线与是异面直线 D．直线与是相交直线

【答案】CD

【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案.

【详解】对于A，因为平面，平面，平面，

且直线，可得直线与是异面直线，故A错误；

对于B，因为平面，平面，且直线不过点，

可得直线与是异面直线，故B错误；

对于C，连接分别为棱的中点，，

因为，四边形是平行四边形，，

四点共面，平面，平面，

平面，直线与是异面直线，故C正确；

对于D，由C选项可知，，，直线与是相交直线，故D正确.

故选：CD.

12．已知分别为内角的对边，，且，则（    ）

A． B．面积的最大值为

C．周长的最小值为4 D．周长的最大值为6

【答案】ABD

【分析】先根据同角三角函数关系得出正弦间的关系，再应用正弦定理边角转化求余弦判断A选项，再结合不等式求周长范围及面积的最大值判断B,C,D选项.

【详解】由已知得

，

由正弦定理可得，

当且仅当时取等号，

，

周长的取值范围是，

故选：.

三、填空题

13．          .

【答案】2

【分析】根据指对数的运算求解即可.

【详解】.

故答案为:2.

14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，则这个球的表面积为          .

【答案】

【分析】由题意求出底面正方形边长，进而根据正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，求出球的半径，即可得答案.

【详解】由题意知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为32，

故正四棱柱的底面积为8，则底面正方形边长为，

又因为正四棱柱的体对角线长即为其外接球的直径，

故外接球半径为，

故这个球的表面积为，

故答案为：

15．设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为          .

【答案】

【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.

【详解】因为三点共线，故,

则，使得，

又，

故，则，解得，

故答案为：

16．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为          .（精确到）.

【答案】57

【分析】解直角，求得，继而解，由正弦定理求出，最后解直角，即得答案.

【详解】在中，，

（）

在中，，

，

故，即，

所以（米），

故答案为：57

四、解答题

17．已知是虚数单位，复数.

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的类型列出相应的不等式组，即可求得答案；

（2）根据复数在复平面内对应的点位于第二象限，列出相应的不等式组，求得答案.

【详解】（1）因为复数是纯虚数，

故，解得；

（2）由于复数在复平面内对应的点位于第二象限，

故，解得，

即的取值范围是.

18．已知向量满足.

(1)求及的值；

(2)求向量与夹角的余弦值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据数量积的运算律可求得，根据向量模的计算即可求得；

（2）求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）因为，

所以，即；

；

（2）由题意得，

故

19．已知函数.

(1)求的最大值；

(2)设的内角的对边分别为，且，求的面积.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和（差）的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得；

（2）首先求出，再由正弦定理得到，由余弦定理求出、，最后利用面积公式计算可得.

【详解】（1）因为

，

当时，取得最大值.

（2）由得，

，，，即，

，，

由余弦定理得，（负值舍去），则，

.

20．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.

(1)用、表示；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由结合平面向量的减法化简可得出关于、的表达式，再由可得出关于、的表达式；

（2）由、、三点共线知，存在，使得，进而可得出，利用平面向量的基本定理可求得的值.

【详解】（1）解：因为，则，所以，，

因为为的中点，故.

（2）解：因为、、三点共线，则，

所以，存在，使得，即，

所以，，

又因为，且、不共线，所以，，

所以，，故.

21．如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点.

(1)求圆柱的侧面积；

(2)求四棱锥的体积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果；

（2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果.

【详解】（1）如图：

连接BD，在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得，

所以，故圆柱的侧面积；

（2）由（1）知，中，，，

由余弦定理，得

，即，

当且仅当时，等号成立，

所以，

因为，又，

所以四棱锥的体积，

，

故四棱锥的体积的最大值为.

22．的内角的对边分别为，已知.

(1)若，求；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式即可求出，再结合即可得出答案.

（2）由（1）知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.

【详解】（1）由余弦定理得，即，

由正弦定理得，

在中，，

，即.

 ，则，解得；

（2）由（1）知，

若时，结合可得，

是锐角三角形，，不成立；

若时，结合可得.

所以，解得,则

，

.