2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.

【详解】因为，

所以．

故选：B．

2．已知向，，若向量与垂直，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算出、的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】因为，，则，，

因为向量与垂直，则，解得.

故选：C.

3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体

【答案】B

【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．

【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，

剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．

故选：B

4．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ）

A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形

【答案】C

【分析】分析可得，结合平行四边形的定义可得出结论.

【详解】因为，即，

又因为，故四边形一定为平行四边形.

故选：C.

5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；

B，C，，不能作为平面内的所有向量的基底；

D，与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.

【详解】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；

B：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；

C：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；

D：因为，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.

故选：D

6．如图， 中，、、分别是、、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（    ）

A． B．；

C． D．

【答案】B

【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】依题意中，、、分别是、、上的中线，

所以是三角形的重心.

所以，A选项正确.

，B选项错误.

，C选项正确.

，D选项正确.

故选：B

7．已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.

【详解】由知：，可得，

所以在方向上的投影向量为.

故选：B

8．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积.

【详解】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，,

所以球的体积.

故选：D

二、多选题

9．实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+yi，则下列说法正确的是（    ）

A．z在复平面内对应的点在第一象限

B．|z|=

C．z的虚部是i

D．z的实部是1

【答案】ABD

【分析】根据题意先求出z，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.

【详解】实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，

∴z=x+yi=1+i.

对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.

对于B，|z|=，故B正确.

对于C，z的虚部是1，故C错误.

对于D，z的实部是1，故D正确.

故选：ABD.

10．下列命题中，错误的是（    ）

A．若，则与方向相同或相反

B．若，，则

C．若，，则

D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

【答案】ABD

【分析】取，可判断A选项；取，可判断B选项；利用相等向量的定义可判断C选项；利用相等向量、相反向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，若，则零向量的方向任意，A错；

对于B选项，取，则，，但、不一定平行，B错；

对于C选项，，，则，C对；

对于D选项，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，D错.

故选：ABD.

11．在中，下列说法正确的有（    ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则是钝角三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是直角三角形

【答案】ABD

【分析】对于A，由正弦定理及同角的三角关系，可得，结合，即可判断；对于B，由正弦定理及余弦定理即可判断；对于C，由同角的商数关系和二倍角可得或，从而即可判断；对于D，结合两角差的正弦公式与余弦定理化简可得，从而即可判断.

【详解】解：对于A，因为在中，有，

所以，

又因为，

所以有，

即，

又因为，

所以，

所以一定是等边三角形，故正确；

对于B，因为，

所以，，

又因为，所以，

所以是钝角三角形，故B正确；

对于C，因为，

即，，，

，，

所以或，

所以或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于D，因为，

整理得，

所以，

所以一定是直角三角形，故正确.

故选：ABD.

12．已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有（    ）

A．当C位于A点时，的值最小 B．当C位于B点时，的值最大

C．的取值范围为 D．的取值范围

【答案】ACD

【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解．

【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，

设，则，其中，，．

因为，

所以，即，

所以．

所以当时，取得最大值，此时点为的中点，

当或时，取得最小值，此时点为或点，故A正确，B错误；

又，，

所以．

因为，所以，故，因此，

所以的取值范围为，故C正确；

由，

又，所以，故，

则，所以，所以D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知为虚数单位，复数的虚部与实部之和为，则实数     ．

【答案】

【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的虚部与实部之和为，可求得实数的值.

【详解】因为，

又因为复数的虚部和实部之和为，即，解得.

故答案为：.

14．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为         km/h.

【答案】20

【分析】根据题意小船实际航行速度，，构建模长关系，解得即可.

【详解】如图，设小船实际航行速度为，则，设船在静水中的速度为km/h，河水的流速为 km/h，

因为，所以，得(10)2＋102，

所以km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.

故答案为：20.

15．已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是          ．

【答案】

【分析】根据斜二测画法的性质，还原平面图形，可得答案.

【详解】方法一：

由斜二测画法可知，，则在中，，

故还原图如下所示：

则，，，

方法二：

正方形的面积，平面图形的面积.

故答案为：.

16．在中，角A，B，C所对的边长分别为，b，c，且，，若此三角形有且只有一解，我们可以采用讨论方程根的办法来求b的取值情况，则b的取值范围为          ．

【答案】

【分析】根据余弦定理，建立关于的一元二次方程，利用其根的情况，建立不等式，可得答案.

【详解】由余弦定理，可得，可得，

化简可得：，由题意可知：对于的一元二次方程存在唯一的正根，

当该方程存在两个相等的实数根时，，且，解得，

还原方程为，则，解得，符合题意；

当该方程存在一正一负的实数根，则，且，解得，

设，则，可得，解得，故.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）已知复数，.若是纯虚数，求实数的值；

（2）已知复数（，是虚数单位））.设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由题知，再解方程即可得答案；

（2）根据除法运算得，再根据共轭复数的概念与几何意义求解即可.

【详解】解：（1）因为复数，是纯虚数，

所以，解得，

所以.

（2），

所以，

因为复数在复平面上对应的点在第一象限，

所以，，解得，

所以，的取值范围为

18．已知平面向量，．

(1)求的值；

(2)若向量与夹角为，求实数λ的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；

（2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；

【详解】（1）解：因为，，

所以，

所以；

（2）解：，

所以，，

又向量与夹角为，

所以，

即，

即，解得或.

19．已知虚数满足．

(1)求；

(2)是否存在实数，使得为实数，若存在，求出的值：若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，且

【分析】（1）设，求出复数、，利用复数的模长公式可求得的值，由此可得出的值；

（2）利用复数的运算化简复数，根据复数为实数可求得实数的值.

【详解】（1）解：设，则，

，

由可得，整理可得，

所以，.

（2）解：

，

若为实数，则，因为，则，解得，

因此，当时，则复数为实数.

20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，D为BC边的中点．

(1)求角C的大小；

(2)若，，求边AB的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，结合三角函数的差角公式，化简等式，利用正弦函数的性质以及三角形内角的取值范围，可得答案；

（2）根据余弦定理，建立方程，可得答案.

【详解】（1）由正弦定理，且，可得，

，

，

，由，则，

可得，由，则.

（2）由题意，可作图如下：

在中，由余弦定理可得：，

将，，代入，可得，

化简可得：，，解得，

由点为的中点，则，

在中，由余弦定理可得：，

将,，代入，则，

解得.

21．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，，，，，垂足分别是D，H，G，将△ABC绕AD所在直线旋转180°．

(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V，当E，F分别为边AB，AC的中点时，求V；

(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S，当E，F分别在什么位置时，S最大？

【答案】(1)

(2)E，F分别为AB，AC的中点时S最大

【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；

（2）设，，表示出，则旋转图的侧面积，再利用基本不等式计算可得；

【详解】（1）解：由圆锥与圆柱的定义可知，将绕AD旋转180°，

阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为．

因此阴影部分形成的几何体的体积为．

（2）解：设，，则，，

此时，．

当且仅当时等号成立，即E，F分别为AB，AC的中点时S最大．

22．如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且．

(1)若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；

(2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=，，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．

【答案】(1)km

(2)时面积最小，最小值为

【分析】（1）由条件根据余弦定理求得；再用余弦定理和正弦定理即可求得；

（2）利用正弦定理表示出的长，利用三角形面积公式表示出的面积，化简并结合三角函数性质求得答案.

【详解】（1）依题意，，

在中，由余弦定理得，

，则 ,

，

在中，

，

所以在中，由正弦定理，，

得，

即点M，N之间的距离为km.

（2），

在中，由正弦定理得，，

所以，

在中，由正弦定理得，，

所以，

，

因为，所以，

所以当，即时面积最小，最小值为.