2022-2023学年重庆市巫溪县尖山中学校高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年重庆市巫溪县尖山中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的加法法则计算可得；

【详解】解：因为，所以；

故选：A

2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据三角形内角和求得，进而利用正弦定理求得．

【详解】由题意可知，，

由正弦定理可知，

所以．

故选：．

3．如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，则的面积为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由直观图与原图的关系，把还原成，然后再求其面积

【详解】解：由题意可知，为直角三角形，且，,

所以的面积为，

故选：C

4．下列命题为真命题的是（    ）

A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；

C．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

D．棱台的侧棱延长后交于一点.

【答案】D

【分析】根据棱柱，棱锥，棱台的定义可判断A，B，C错误，D正确.

【详解】A选项，长方体的侧面并不全等.故A选项错误；

B选项，用一个平行平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B选项错误.

C选项，以直角三角形的一直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，故C选项错误；

D选项，棱台可看作用一个平行平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分，所以棱台的侧棱延长后交于一点.故D选项正确.

故选：D.

5．已知角终边上一点的坐标为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由角终边上一点的坐标可知，，结合二倍角公式可得，进而求解即可.

【详解】由题，，，

因为，

所以，

故选：D

6．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，利用平面向量加法的三角形法则可得出关于、的表达式.

【详解】如下图所示：

，，

则.

故选：B.

7．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．

【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由，得，

又，

所以，解得；

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故选：C．

8．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知利用切化弦及和差公式进行化简，然后结合正弦定理得到，再由余弦定理求得，代入三角形的面积公式，即可求解.

【详解】由，可得，即，

所以，即，

又由，所以，

即，解得或（舍去），

所以，

又因为C为三角形内角，故，

所以的面积为.

故选：B.

二、多选题

9．下列四种说法中正确的有（    ）

A．复数是纯虚数

B．复数中，实部为1，虚部为

C．复数的共轭复数为，则的一个充要条件是

D．（为虚数单位）

【答案】CD

【分析】根据纯虚数的概念，可判断A的正误；根据实部虚部的概念，可判断B的正误；根据充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据复数的性质，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：复数的实部为2，故不是纯虚数，故A错误；

对于B：复数中，实部为1，虚部为-2，故B错误；

对于C：设，则，

若，则虚部为，此时，充分性成立，

若，则，则，此时，必要性成立，

所以的一个充要条件是，故C正确；

对于D：因为，所以，故D正确.

故选：CD

10．已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（    ）

A． B．向量在向量上的投影向量为

C．与的夹角余弦值为 D．若，则

【答案】CD

【分析】由共线向量的坐标表示，可判定A；根据向量的几何意义，

求得向量在向量上的投影向量为，可判定B；

由向量的夹角公式，可判定C；由向量垂直的坐标表示，可判定D.

【详解】由题意，向量，是与同向的单位向量，

可得，由，所以与不共线，所以A不正确；

由，可得，

所以向量在向量上的投影向量为，所以B不正确；

由，可得，

设与的夹角余弦值为，可得，所以C正确；

由，可得，所以D正确.

故选：CD.

11．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则

B．若，，，则有两解

C．若为钝角三角形，则

D．若，，则面积的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；对于B选项，由判断；对于C选项，由为钝角三角形且为钝角，利用余弦定理判断； 对于D选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.

【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确；

对于B选项，，则，如图：所以有两解，B选项正确；

对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；

对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，

所以，D选项正确．

故选：ABD

12．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．是函数图象的一个对称中心

C．将函数的图象向右平移个单位后得到一个偶函数

D．函数在上有7个零点

【答案】ABC

【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】

，

即，故最小正周期，故A错误；

又，，

即，所以不是函数图象的的一个对称中心，故B错误；

将函数的图象向右平移个单位得到，显然该函数不是偶函数，故C错误；

令，即，即，

所以或，，

所以或，，

因为，所以函数在上有个零点分别为，，，，，，，故D正确；

故选：ABC

三、填空题

13．已知为虚数单位，复数，则          .

【答案】

【分析】先求出复数z，再求.

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到平面的距离为2，则球的半径为        .

【答案】

【分析】先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径.

【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为，

则，

因为截面圆的面积为，所以，故，

又，

所以，故.

故答案为:.

15．如图所示，A，B，N在同一水平面上，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高             .

【答案】

【分析】利用锐角三角函数定义，结合正弦定理进行求解即可.

【详解】如图所示：在直角三角形中，，

在中，因为，，所以，

由正弦定理可知：，

在直角三角形中，，

故答案为：

16．已知正的边长为，D是边上的动点(含端点)，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】以B为原点，所在直线为x轴建立坐标系，用向量法求平面向量的数量积，进而求出取值范围

【详解】

以B为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，则,

当时最小值为4，当或时，最大值为12

的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．，复数在复平面内对应的点.

(1)点位于第二象限，求的取值范围；

(2)复数是纯虚数，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，解不等式组可求出的取值范围；

（2）由题意可得，从而可求出的值

【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，

所以，即，

解得，即的取值范围为

（2）因为复数是纯虚数，

所以，解得，

所以当时，复数是纯虚数

18．在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．

(1)求与间的关系；

(2)若，求与的值及四边形的面积．

【答案】(1)

(2)或四边形的面积为16

【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出，的坐标，利用平行关系即可得到与间的关系.

（2）由（1）得到与间的关系以及利用数量积为0，通过联立方程分别解出，并确定，坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.

【详解】（1）由题意得，，

因为，所以，即……①

（2）由题意得，，

因为，所以，即，

整理得

……②

联立①②,解得或.

记四边形面积为

当时，，，则，

当时，，，则

综上或四边形的面积为16

19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是，圆柱筒长．

(1)这种“浮球”的体积是多少（结果精确到？

(2)要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？

【答案】(1)169.6（cm3）

(2)（克）.

【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；

（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出10000个的面积，即可求解.

【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm,所以半球的直径也是6cm,可得半径r=3cm,所以两个半球的体积之和为（cm3）.

圆柱的体积（cm3）.

所以该“浮球”的体积是（cm3）.

（2）根据题意,上下两个半球的表面积是（cm2）.

而“浮球”的圆柱筒侧面积为（cm2）.

1个“浮球”的表面积为（cm2）

即为（m2）.

所以要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶

（克）.

20．已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，A为锐角，.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；

（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最值，最后根据计算可得；

【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，，所以，所以，因为，所以，所以.

（2）解：由余弦定理，，即，又，当且仅当时取等号，即，解得当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等，故得最大值为4.

21．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点．

（1）求证：；

（2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.

【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；

（2）取中点N，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．

【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，

平面平面，

∴，

（2）线段存在点N，使得平面，理由如下：

取中点N，连接，，

∵E，N分别为，的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，

取AP中点F,连结EF,BF，，且，

因为，，

所以，且，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以.

又面PAB，面PAB，所以平面；

又，

∴平面平面，

∵M是上的动点，平面，

∴平面PAB，

∴线段存在点N，使得MN∥平面．

22．在△ABC中，．

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．

【答案】(1)

(2)正确条件为①③，（i），（ii）

【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；

（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；

（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．

【详解】（1）由题设，

而，

所以，故；

（2）若①②正确，则，得或，

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则，可得，即②为错误条件，

综上，正确条件为①③，

（i）由，则，即，

又，可得，

所以，可得，则，

故；

（ii）因为且，得，

由平分得，

在中，，

在中，由，得．