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2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期中考试数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1.( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据已知条件,结合三角函数的诱导公式,以及余弦的两角和公式,即可求解.【详解】.故选:B.2.下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是A. B. C. D.【答案】A【详解】最小正周期,且在区间上为减函数,适合;最小正周期为,不适合;最小正周期为,在区间上不单调,不适合;最小正周期为,在区间上为增函数,不适合.故选A3.已知,,且则在上的投影数量为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】由得,从而求得,再由投影数量的定义直接计算即可.【详解】,,,即,,在上的投影数量为.故选:D.4.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,且黄金分割率的值也可以用表示,则( )A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【分析】利用正弦的二倍角公式、三角平方关系可得答案.【详解】.故选:B.5.已知,将图象上横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变时),得到求的图象.的部分图象如图所示(,分别是函数的最高点和最低点),其中,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】先利用恒等变换得到,结合题干条件和向量数量积得到,结合,得到,最小正周期,求出的值.【详解】,因为D,C分别为函数的最高点和最低点,所以,由可得:,从而,所以,过点C作CE⊥x轴于点E,则,且由三线合一可知,为AB中点,CE平分∠ACB,故,所以,函数最小正周期,即,解得:故选:B6.已知,且,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由条件结合向量数量积的运算和三角恒等变换可得,再由诱导公式和二倍角公式即可求得.【详解】因为,且,所以,所以,所以,所以,故选:B7.已知函数,给出下列4个结论:①的最小值是;②若,则在区间上单调递增;③将的函数图象横坐标缩短为原来的倍,再向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,可得函数的图象,则;④若存在互不相同的,,,使得,则其中所有正确结论的序号是( )A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②【答案】A【分析】化简得到,,①正确,时,,②正确,,时不相等,③错误,,解得,④正确,得到答案.【详解】,对①:当时,,正确;对②:,则,时,,正确;对③:,时,,不相等,错误;对④:,,,则,,当时,,故当时,,解得,正确.故选:A8.在四边形ABCD中,,作于点H.若,则( )A. B.10 C. D.12【答案】D【分析】设AC与BD交于点O,由已知可得,则,且即可求结果.【详解】设AC与BD交于点O,因为,所以.又于点H,且,所以,所以.故选:D 二、多选题9.已知函数的部分图像如图所示,下列说法正确的是( )A.B.在上单调递增C.的解集为D.将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称【答案】AC【分析】根据函数图象易得与周期,即可求出,再利用待定系数法求出,即可求出函数解析式,即可判断A;结合正弦函数的单调性代入验证即可判断B;根据正弦函数的性质解不等式即可判断C;根据平移变换求出变换后的函数解析式,再根据三角函数的奇偶性即可判断D.【详解】解:由图可得,,所以,所以,所以,将点代入得,,即,又,所以,所以,故A正确;当,则,所以函数在上不单调递,故B错误;若,则,所以,即,所以的解集为,故C正确;将的图像向左平移个单位长度,可得函数,则函数为偶函数,关于轴对称,故D错误.故选:AC.10.下列计算正确的有( )A.B.C.在处取得最大值,则D.已知,,且,则【答案】ABD【分析】A选项根据和两角差的正切公式求解;B选项补上一个后,可反复利用二倍角公式,结合诱导公式求解;C选项利用辅助角公式求解,D选项利用向量的运算化简,然后利用同角的三角函数的平方关系求解.【详解】对于A, ,故A正确;对于B, ,故B正确;对于C,,其中,当,即时,取得最大值,此时,故C错误;对于D,,则,边同时平方可得:,故,故D正确.故选:ABD11.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时秒经过秒后,水斗旋转到点,设点的坐标为,其纵坐标满足,则下列结论正确的是( ) A.B.当时,函数单调递增C.当时,函数单调递减D.当秒时,【答案】BCD【分析】利用周期求出点终边对应的角,根据三角函数的定义得,根据正弦函数的图象与性质判断各个选项即可.【详解】因为,所以,,又因为旋转一周用时秒,所以角速度,所以,根据三角函数的定义,,对于选项A:由解析式可知,故A错误;对于选项B:当时,,且在上单调递增,所以函数在单调递增,故B正确;对于选项C:当时,,且在上单调递减,所以函数在单调递减,故C正确;对于选项D:当时,,此时,所以,故,故D正确.故选:BCD.12.已知平面向量,,则的可能值为( )A.3 B.4 C. D.【答案】AB【分析】先对平方得到,结合图形可得答案.【详解】因为,,所以;设,作出简图,易知,由图可知,当直线经过点时,有最大值6;当直线经过点时,有最小值;所以.故选:AB. 三、填空题13.已知向量满足,与的夹角为,则 .【答案】【分析】结合模长、数量积公式、化简即可求解.【详解】由,因为,与的夹角为,所以,,故.故答案为:14.已知,且,则 .【答案】【分析】先利用诱导公式求的值,再利用二倍角公式求的值.【详解】因为,所以,又因为,所以,所以.故答案为:.15.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示,月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形,内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周,则该游客步行的路程为 米.【答案】【解析】如图,作出月牙湖的示意图,由题意可得,可求的值,进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.【详解】如图,是月牙湖的示意图,是的中点,连结,可得,由条件可知, 所以,所以,,所以月牙泉的周长.故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键是根据实际问题抽象出图象,再根据数形结合分析问题.16.已知函数的图象经过点,若在区间上单调递增,则ω的取值范围是 .【答案】【分析】将代入的解析式,求φ的值, 结合正弦函数的图象与性质列关于ω的不等式组,即可得解.【详解】由题意得,∴,又,∴,∴,∵的图象过点,且在区间上单调递增,∴作出的大致图象如图所示,其中为在y轴左边的第一个零点,为在y轴右边的第一个极大值点,∴,∴,得,∴,得,∴ ω的取值范围是.故答案为: 四、解答题17.已知,其中为锐角,若与夹角为90°,(1)求的值(2)求的值【答案】(1)(2) 【分析】(1)依题意可得,即可得到,从而求出,再利用诱导公式将式子化简,最后利用同角三角函数的基本关系将弦化切,代入计算可得;(2)利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得;【详解】(1)解:因为与夹角为,所以,即,即,即,又,,即,所以,又为锐角,所以,所以(2)解:18.在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象,且图象关于原点对称;②向量,,,;③函数.在以上三个条件中任选一个,补充在下面问题中空格位置,并解答.已知______,函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)若,且,求的值;(2)求函数在上的单调递减区间.【答案】(1)(2),. 【分析】(1)若选条件①,根据函数的周期性求出,再根据三角函数的平移变换规则及函数的对称性求出,即可得到函数解析式,再求出的值,最后代入计算可得;若选条件②,根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数解析式,再根据周期性求出,即可得到函数解析式,再求出的值,最后代入计算可得;若选条件③,利用两角和的正弦公式及二倍角公式、辅助角公式将函数化简,再根据周期性求出,即可得到函数解析式,再求出的值,最后代入计算可得;(2)根据正弦函数的性质求出函数的单调递减区间,再根据函数的定义域令和,即可求出函数在指定区间上的单调递减区间;【详解】(1)解:若选条件①:由题意可知,,,,,又函数图象关于原点对称,所以,,,,,,,,,,.若选条件②:因为,,,,所以又,,.,,,;若选条件③:,又,,.,,,;(2)解:由,,解得,,令,得,令,得,函数在上的单调递减区间为,.19.已知,,,.(1)求的值;(2)求的值:(3)求的值.【答案】(1);(2);(3). 【分析】(1)同角三角函数平方关系求得,,再由及差角余弦公式求值即可.(2)由诱导公式、二倍角余弦公式可得,即可求值.(3)由(1)及和角正余弦公式求、,由(2)及平方关系求,最后应用差角余弦公式求,结合角的范围求.【详解】(1)由题设,,,∴,,又.(2).(3)由,则,由,则,∴,,又,,则,∴,而,故.20.已知函数().(1)求的最小正周期及对称轴方程(2)求在区间上的最大值和最小值,并分别写出相应的的值.【答案】(1),对称轴.;(2)时,;时,.【分析】(1)三角函数问题,一般先把函数化为的形式,用二倍角公式和两角和与差的正弦(余弦)公式可化,然后再借助正弦函数的性质可得;(2)利用正弦函数的最大值和最小值可求得的最大值最小值,但要结合题中给出的的范围.【详解】解:(1),所以的最小正周期为.由,可得.所以对称轴;(2)∵,所以,当,即时,;当,即时,.21.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者,工艺品的平面设计如图所示,该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成,点为半圈上一点(异于,),点在线段上,且满足.已知,,设.(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果,需满足,且达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳观赏效果; (2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏,需满足,且达到最大.当为何值时,取得最大值,并求该最大值.【答案】(1)(2)当,达到最大,最大值为【解析】(1)设,则在直角中,,,计算得到,计算最值得到答案.(2)计算,得到,得的最值.【详解】(1)设,则在直角中,,.在直角中,,.,,所以当,即,的最大值为.(2)在直角中,由,可得.在直角中,,所以,,所以,所以当,达到最大值.【点睛】本题考查了利用三角函数求最值,意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.22.已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量,同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数,试求的伴随向量;(2)记向量的伴随函数为,求当且时的值;(3)由(1)中函数的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍,再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象,已知,,问在的图象上是否存在一点P,使得.若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在点,使得. 【分析】(1)利用诱导公式求出,从而得到的伴随向量;(2)根据向量得到,利用利用凑角法得到;(3)先求出,再设出P点坐标,利用向量垂直关系得到方程,变形整理后得到,根据等式左右两边的取值范围,得到当且仅当时,和同时等于,此时.【详解】(1),故;(2)由题意得:,故,由于,所以,所以,所以.(3),所以,假设存在点,使得,则即,因为,所以,所以,又因为,所以当且仅当时,和同时等于,此时,故在函数的图象上存在点,使得.
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