高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件精品当堂检测题

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1.4 充分条件与必要条件1.5 全称量词和存在量词1充分条件与必要条件①       概念一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出.这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题，即既有，又有，就记作，此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件.② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考从左到右，若则充分，若则不充分；从右到左，若则必要，若则不必要.Eg：帅哥是男人的______条件.从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合，   若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件.备注 若，则称为小范围，为大范围.Eg1：帅哥是男人的______条件.设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.Eg2：是的不充分必要条件，因为. 结论① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则；③ 若是的充分条件，则；      ④ 若是的必要条件，则；⑤ 若是的充要条件，则.2 全称量词与存在量词① 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题对中任意一个，有成立，记作．Eg：对所有末位数是的数能被整除，.② 存在量词短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题存在中的一个，使成立，记作.Eg：至少有一个质数是偶数，.③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.Eg：的否定是. 是真命题，是假命题. 【题型一】 充分条件与必要条件【典题1】 设，则是的      (　　)充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件【解析】可知，而，．反之不成立，例如a，，满足，但不成立.是的充分不必要条件．故选：． 【点拨】① 以为已知，可以推出这个结论，所以是的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；② 证明推不出，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为取特殊值否定法；③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？ 【典题2】 若是正整数，则充要条件是(　　) 有一个为  且【解析】，，是正整数，，，则，，，若，则，即或，即有一个为，即充要条件是有一个为，故选．【点拨】②       本题求充要条件就相当于“当是正整数，由可以等价推导出什么结论”；② 是充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析. 【典题３】 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】由得或，即不等式的解集为，由得，若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，若，则不等式的解集为，若，不等式的解集为，(求解含参的不等式，注意分类讨论)若是的必要不充分条件，则，(从集合的角度去思考充分必要条件问题)则当时，不满足条件．当时，则满足，即，得，当时，则满足，得，得．综上实数的取值范围或.【点拨】① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根的大小比较，才有了的分类；② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”. 巩固练习1 (★★) 已知则“”的一个必要不充分条件是  (　　)    ．         【答案】 【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要条件．故选：．2 (★★★) 设，命题，命题，则是的  (　　) .充分不必要条件 .必要不充分条件  .充分必要条件 .既不充分也不必要条件【答案】 【解析】若，即有；若，显然有；若，则，而，，所以，故可以推出．若，当时，如果，不等式显然成立，此时有；如果，则有，因而；当时，，此时有，因而，故可以推出．故选：．3 (★★) 在关于的不等式中，“”是“恒成立”的(　　).充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件   .既不充分也不必要条件 【答案】   【解析】在关于的不等式中，当时，，恒成立，当时，，恒成立，是恒成立的充要条件．故选：C．4 (★★★) 已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为       . 【答案】 【解析】命题，，即，是的必要不充分条件，，，解得．实数的取值范围为．5 (★★★) 已知，：关于的不等式恒成立．(1)当时成立，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】   【解析】(1)，，，实数的取值范围为：．(2)，设，，是的充分不必要条件，①由(1)知，时，，满足题意；②时，，满足题意；③时，，满足题意；④，或时，设，对称轴为，由得或，或，或，或综上可知： 【题型二】 全称量词与存在量词【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：；           所有可以被整除的整数，末位数字都是；；    存在一个四边形，它的对角线互相垂直．【解析】全称命题，当时，结论不成立，所以为假命题．命题的否定：.全称命题，所有可以被整除的整数，末位数字都是或；为假命题．命题的否定：存在可以被整除的整数，末位数字不都是；(这里不能写“都不是”)特称命题，，所以结论不成立，为假命题．命题的否定：特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 【典题2】若命题“时，”是假命题，则的取值范围　    　．【解析】  是假命题，该命题的否定是真命题，即方程在上有解，，解得.【点拨】①命题与命题的否定的真假性相反；②正面不好证明，可从反面入手. 巩固练习1 (★)  命题“”的否定是　    　. 【答案】 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是．2 (★★) 若命题，”是假命题，则实数的取值范围是　   　． 【答案】 []  【解析】命题的否定为，命题”是假命题，为真命题，则，解得．实数的取值范围是：[]．3 (★★) 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是　 ． 【答案】 【解析】命题为真命题 等价于上有解，令，则等价于，， 挑战学霸设数集满足下列两个条件：(1)，；(2)或，则．现给出如下论断：①中必有一个为；②中必有一个为；③若且，则；④存在互不相等的，使得．其中正确论断的个数是(　　)A． B． C． D． 【解析】由(2)知不属于(①不成立)，由(1)可推出对于任意，等于中的某一个，不妨设，，(由(1)知②成立)，若③中，则，由(1)知，即，时③成立，同理有时③成立和时③成立，下面讨论时，，若，则，③成立(最后会证到即可能等于1)，若，则中的某个等于1，不妨设，由知，由(1)知，又(即)，(即)，(即)，，同理有，，，，，③成立，综上，对于任意，有成立，即③成立，由即的讨论可知当时，，(联立解出)此时，④成立，若即，则，由1知，若，则，不可能，若，则，不可能，若，则，不可能，，，同理有，的平方根有且只有两个值，那么中至少有两个相同，这与同属于矛盾，不存在即的情况，④成立．故选：．