高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品同步测试题

基本不等式

1 基本不等式

若，则 (当且仅当时，等号成立).

① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.

② 基本不等式的几何证明

(当点重合，即时，取到等号)

③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

2 基本不等式及其变形

(调和均值几何均值算术均值平方均值)

以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.

① ，积定求和；

② ，和定求积：

③   (联系了与平方和)

④   (联系了与平方和)

3 对勾函数

① 概念  形如的函数.

② 图像

③ 性质

函数图像关于原点对称，

在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增.

④ 与基本不等式的关系

由图很明显得知当时，时取到最小值，

其与基本不等式时取到最小值是一致的.

【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解

情况1  一正：

求函数的最值.

情况2 二定：定值

求函数的最值.

情况3 三等：取到等号

求函数的最值.

【题型二】基本不等式运用的常见方法

方法1 直接法

【典题1】设，则三个数、、     (　　)

．都大于4 至少有一个大于4 

至少有一个不小于4 至少有一个不大于4

【典题2】设，下列不等式中等号能成立的有(　　)

① ；      ② ；

③ ；             ④ ；

A．个 B．个 C．个 D．个

【典题3】已知实数，满足，则的最大值为        .

方法2 凑项法

【典题1】若，则函数的最小值为        .

【典题2】若，则的最小值是　   　．

【典题3】设，则的最小值是　   　．

方法3 凑系数

【典题1】若，则的最大值是　   　．

【典题2】已知为正数，，则的最大值为　   　．

方法4 巧法

【典题1】已知，，，则的最大值是　     ．

【典题2】已知，，且，则的最小值是　     ．

【典题3】设，，若，则的最小值为 　     ．

方法5 换元法

【典题1】若，则的最大值为　      .

【典题1】若，，则的最大值　      .

【典题2】设是正实数，且，则的最小值是　   .

方法6 不等式法

【典题1】已知，且，则的取值范围是　       .

【典题2】 已知，，，则的取值范围是         .  

巩固练习

1 (★★) 已知，则与的比较　    　．

2 (★★) 已知，，若，则的最大值为　    　．

3 (★★) 若，，且，则的最小值是　    　．

4 (★★) 函数的最小值为　    　．

5(★★) 已知实数，则的最大值为　    　．

6 (★★) [多选题]下列说法正确的是(　　)

的最小值是  的最小值是 

的最小值是          的最大值是

7 (★★★) [多选题]设，，且，则下列结论正确的是(　　)

A．的最小值为 B．的最小值为 

C．的最小值为 D．恒成立

8(★★★)若实数，，满足，以下选项中正确的有(　　)

A．的最小值为 B．的最小值为 

C．的最小值为 D．的最小值为

9 (★★★) 已知正实数，满足，则的最小值为　    　．

10 (★★★) 若正数满足，则的最大值为　    　．

11 (★★★) 已知，则的最小值是　    　．

12 (★★★) 已知，，，则的最大值为　    　．

13 (★★★) 若正数满足1，则的最小值为　    　．

14 (★★★★) 已知实数，，且满足，则的最小值是　　．

15 (★★★★) 已知，，则的最大值是　　．

16 (★★★★) 设实数满足，则的最小值是       .

挑战学霸

方程的实数解的个数为　  　．