九年级数学上册专题八+与垂径定理有关的辅助线同步测试+新人教版

这是一份九年级数学上册专题八+与垂径定理有关的辅助线同步测试+新人教版，共5页。
与垂径定理有关的辅助线一　连半径构造直角三角形(教材P83练习第1题)如图1，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．图1变形1答图解：作OE⊥AB于E，连接OA，则AE＝AB＝×8＝4(cm)，OE＝3 cm，∴OA＝＝＝5(cm)．【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．　如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为(　D　)A．8　　　B．10　　　C．16　　　D．20【解析】 如图，连接OC，根据题意，得CE＝CD＝6，BE＝2.在Rt△OEC中，设OC＝x，则OE＝x－2，故(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.图2图3　“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸．”(注：1尺＝10寸)解：∵AB⊥CD，∴AE＝BE.∵AB＝10，∴AE＝5.在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13，∴CD＝2OA＝26(寸)．二　作弦心距巧解题(教材P90习题24.1第10题)⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，求AB和CD的距离．解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD＝10 cm，　　　∴DE＝5 cm.∵OD＝13 cm，∴利用勾股定理可得OE＝12 cm.同理可求OF＝5 cm，∴EF＝7 cm.第二种情况：EF＝OE＋OF＝17 cm.【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法．如图4，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．图4变形1答图解：如图，过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OAE中，∵OA＝17，AE＝BE＝AB＝15，∴OE＝8，同理可求OF＝15.∵圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，即AB和CD的距离是7 cm.　如图5所示，若⊙O的半径为13 cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为__24__cm.【解析】 点P到圆心的最短距离即点O到弦AB的垂线段的长度，当点P是AB中点时，连接OA，则AB＝2AP＝2＝2＝2×12＝24(cm)．图5图6 　如图6，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　C　)A．3  B．4  C．3  D．4【解析】 如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD.由垂径定理、勾股定理，得OM＝ON＝＝3.∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝3，故选C.　把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为__10__cm.图7变形4答图【解析】 取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取弧EF所在圆的圆心为O，连接OF.设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.　当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8所示(单位：cm)，那么该圆的半径为____cm.图8【解析】 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝(9－1)＝4.设OA＝r，则OD＝r－3，在Rt△OAD中，OA2－OD2＝AD2，即r2－(r－3)2＝42，解得r＝ cm.　如图9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．图9解：由垂径定理得BF＝AB＝1.5，OE⊥AB，设圆O半径为x，则OF＝x－1，在Rt△OBF中，根据勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即圆O的半径是1.625 m.　某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m(如图10所示)．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图10解：如图，连接ON，OB，且设DE为船舱的高．∵OC⊥AB，∴D为AB中点．∵AB＝7.2 m，∴BD＝AB＝3.6 m．又CD＝2.4 m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝(r－2.4)m.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9 m.∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4 (m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5 (m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝，∴MN＝2EN＝2×≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．　有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．图11解：不需要采取紧急措施．理由如下：设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，∴R2＝302＋(R－18)2解得R＝34(m)．如图，连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，∴342＝162＋(34－x)2，即x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4.∵4 m＞3.5 m，∴不需采取紧急措施．