三、数列——三年（2021-2023）高考数学创新真题精编

三、数列——三年（2021-2023）高考数学创新真题精编

1. 【2023年天津卷】已知数列是等差数列，，.

(1)求的通项公式和；

(2)已知为等比数列，对于任意，若，则.

(i)当时，求证：；

(ii)求的通项公式及其前n项和.

2. 【2023年上海卷】国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标.根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为________亿元.

3. 【2023年新课标Ⅱ卷】已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.

(1)求的通项公式；

(2)证明：当时，.

4. 【2022年北京卷】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(   )

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

5. 【2022年北京卷】已知数列的各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论：
①的第2项小于3；
②为等比数列；
③为递减数列；
④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是______.

6. 【2022年浙江卷】已知数列满足，，则(   )

A. B. C. D.

7. 【2022年上海卷】已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有__________个.

8. 【2022年上海卷】已知无穷数列中，，，若对于任意的正整数，都存在正整数，使得.

（1）求的所有可能值.

（2）已知命题p：若，，，…，成等差数列，则.

证明命题p为真命题，同时写出命题p的逆命题q，若命题q是真命题，则证明之；若命题q是假命题，请举反例.

（3）若对于任意的正整数m，都有成立，求数列的通项公式.

9. 【2021年天津卷】已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64.是公比大于0的等比数列，，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记，.

（i）证明是等比数列；

（ii）证明.

10. 【2021年上海卷】已知，对任意的，或中有且仅有一个成立，且，，则的最小值为___________.

答案以及解析

1.答案：(1)

(2)(i)证明见解析

(ii)通项公式，前n项和为

解析：(1)设的公差为d，

由，得，解得，

所以的通项公式为.

，.

从到共有(项).

所以.

(或).

(2)(i)因为当时，，

所以当时，，

可得.

因为为递增数列，所以若，则，得.

同理可得.

故可得，

所以.

综上，当时，.

(ii)由题意知是的正项等比数列，

设的通项公式为(，且)，

由(i)知，，即，

则有.

①当，即时，

，使得，与矛盾；

②当，，即且时，

，使得，与矛盾.

故.

因为，所以.

设的前n项和为，则.

2.答案：946

解析：依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为，，，，则，，四个季度GDP数据的中位数为，平均数为，则，，故该市2020年的GDP总额为(亿元).

3.答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)设等差数列的公差为d.

因为，

所以，，.

因为，，

所以，

整理，得，解得，

所以的通项公式为.

(2)由(1)知，

所以.

当n为奇数时，

.

当时，，

所以.

当n为偶数时，

.

当时，，

所以.

综上.可知，当时，.

4.答案：C

解析：设无穷等差数列的公差为，则，若为递增数列，则，则存在正整数，使得当时，，所以充分性成立；若存在正整数，使得当时，，即，对任意的，均成立，由于时，，且，所以，为递增数列，必要性成立.故选C.

5.答案：①③④

解析：因为，所以，又，所以，，即，得，所以①正确；当时，由，得，两式作差可得，即，整理得，若数列为等比数列，则当时，为常数，即数列从第2项起各项均为同一个常数，易知当时不成立，以②不正确；因为，所以，由数列的各项均为正数，得，所以，所以③正确；对于④，若数列的所有项均大于等于，取，由且，得，所以，与已知矛盾，所以④正确.综上，所有正确结论的序号是①③④.

6.答案：B

解析：因为，，所以，易知，所以有，所以可得.由，可得，即.一方面，由，累加可得（*），所以，从而.另一方面，由（*）式可得，所以，又，所以，由，累加可得，所以，所以.综上可知，.故选B.

7.答案：98

解析：设等差数列的公差为，则，，即，.列举的前几项，，，，，，，，则，，，，，，.，，.当，时，易知单调递增；当，时，易知单调递减.中不同的数值有(个).

8、（1）答案：或9

解析：当时，，

当时，，

或.

或9.

（2）答案：见解析

解析：若，，，…，成等差数列，

则，

（，）.

，，

因此命题p为真命题.

命题p的逆命题q：若，则，，，…，成等差数列.

命题q为假命题，反例：，，，，，，，，.（，）

（3）答案：

解析：若对于任意的正整数m，都有成立，

则，，，，，.

猜想：（，），（，），

（，）.

下面用数学归纳法证明：

(Ⅰ)当时，，成立，成立；

(Ⅱ)假设时均成立，

即，，，…，，，，，.

（，），

（，，），

，

，中至少有一个大于或等于.

先证为递增数列：

①时，；

②假设当（，）时，，

则时，（，），

，，为递增数列.

(ⅰ)若，则，该不等式不成立；

(ⅱ)若，则，，

，该不等式不可能成立.

.

由数学归纳法得证.

.

9.答案：（I）由题可知数列中，得
解得，故通项公式为
设数列的公比为q，则
解得或（舍去），故通项公式为

（Ⅱ）（i）证明：




所以是以8为首项，以4为公比的等比数列.
（ii）证明：
设，其前n项和为，则有

两式相减得


解得
所以
解析：

10.答案：31

解析：令，则依题意，和中，仅有一个为1（即只能隔项为1）若，则，，，，，，，，，此时的最小值为31.若，则，，，，，，，此时的最小值为32；故最小值为31.