专题2.49 圆（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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专题2.49 圆（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】点和圆的位置关系
点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d）
【知识点二】圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
【知识点三】垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【知识点四】圆周角定理及推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【知识点五】直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r）
相交：直线与圆有两个公共点，；
相切：直线与圆有一个公共点，；
相离：直线与圆无公共点，.
【知识点六】切线性质定理和判定定理
切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.
【知识点七】切线长定理、弦切角定理
切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线这两条切线的夹角.
弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.
【知识点八】圆的确定
经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【知识点九】外心与内心
外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.
锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。

三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。

三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2..
三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.
直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.
【知识点十】弧长公式与扇形面积公式
正变形的圆心角为度.
弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.
如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.
如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.

【考点一】垂径定理及推论➼➼➻求角度★★证明
【例1】（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，已知中，弦，点是弦上一点，，．
（1）求的长；
（2）过点作弦与弦垂直，求证：．

【答案】（1）；（2）见分析
【分析】（1）过点作于，根据，在直角三角中，求得，勾股定理求得即可求解；
（2）过点作于，则，根据已知得出，进而根据角平分线的性质得出，连接，证明，得出，即可得证．
（1）解：如图，过点作于，        

则，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于，
∵，            
∴，
∵，        
∴，
∴，    
∴平分，
∵，
∴，
连接，如图，

在与中，

∴，
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
  
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
【变式2】（2023·安徽合肥·统考一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，在弧上，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式：．当，时， ．

【答案】3
【分析】连接，根据计算，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，得，代入计算即可．
解：连接，
∵，，是弦的中点，
∴，，，
∵，
∴O、C、D三点共线，

∴，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
【考点二】圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系➼➼➻求角度★★证明
【例2】（2023·上海闵行·统考二模）如图，在扇形中，点C、D在上，，点F、E分别在半径、上，，连接、．
（1）求证：；
（2）设点Р为的中点，连接、、，线段交于点M、交于点N．如果，求证：四边形是矩形．

【分析】（1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证；
（2）由（1）可知：，，然后可得扇形关于对称，则有，进而问题可求证．
解：（1）证明：∵，是公共弧，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图所示：

由（1）可知：，，
∵点Р为的中点，
∴，
∴扇形关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点拨】本题主要考查垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质及矩形的判定是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画好图形，如图，连接，，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关系，判断A；证明为等边三角形，可判断B；连接，证明，可判断C；连接，可得，可判断D ，从而可得答案．
解：如图，连接，，

∵平分锐角，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵由作图可得，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故B不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∴，故C不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∴，故D符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键．
【变式2】（2022·安徽滁州·校考模拟预测）如图，是半径为5的圆的直径，点A是的中点，D，E在另外的半圆上，且，连接分别交直径于点M，N，若，则 ．

【答案】
【分析】过点B作BF⊥BC，使得BF=CN，连接AF，MF，NF，证明△ABF≌△CAN，得到∠CAN=∠BAF，AN=AF，再证明△AMF≌△AMN，得到MN=MF，在△BMF中，利用勾股定理列出关于BM的方程，解之即可．
解：∵点A是的中点，
∴，
∴AB=AC，
∵，
∴，
∴∠MAN=45°，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
过点B作BF⊥BC，使得BF=CN，连接AF，MF，NF，
∴∠ABF=45°，又AB=AC，BF=CN，
∴△ABF≌△ACN（SAS），
∴∠CAN=∠BAF，AN=AF，
∵∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠DAF=∠MAN=45°，
∴△AMF≌△AMN（SAS），
∴MN=MF，
∵CN=2BM，
∴BF=2BM，MN=10-3BM，
∴，
解得：BM=或（舍），
∴MN=10-3×=，
故答案为：．

【点拨】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，勾股定理，知识点较多，解题的关键是合理作出辅助线，证明三角形全等．
【考点三】圆周角定理➼➼➻求角度★★证明
【例3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；
（1）如图1，若、直接写出与的数量关系；
（2）如图2、若、平分，，求的长度．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）如图：绕B逆时针旋转交于E,即，先说明是等边三角形可得；再说明是等边三角形可得 ，进而证明可得，最后根据即可证明结论；
（2）如图：连接,交于E，先说明为直径,即，再运用圆周角定理和勾股定理可得，进而求得、，最后运用勾股定理即可解答
（1）解：如图：绕B逆时针旋转交于E，即，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴  ,
∵点D为的中点
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴,即,
∴，
∴,
∴,即．
  
（2）解：如图：连接，交于E，
∵，
∴为直径,即
∵点D为的中点，
∴，  
∴,即,解得：,
∵平分，
∴,
又∵,
∴垂直平分,即，
∴,
∵．
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
  
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关定理是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（   ）
A．若点是的中点，则
B．若，则
C．若，则
D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形

【答案】D
【分析】由圆的性质逐项判断即可得到答案．
解：点是的中点，
，
，故选项A是真命题，不符合题意；
为的直径，
，即，
若，则，
，故选项B是真命题，不符合题意；
若，则是等腰三角形，
，
，故选项C是真命题，不符合题意；
由半径平分弦，不能证明四边形是平行四边形，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了判断命题的真假、圆的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为 .
  
【答案】
【分析】连接、，根据是的直径，得出，，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据勾股定理求出．
解：连接、，如图所示：
  
，，，
∴是的直径，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角是直角．
【考点四】圆的确定➼➼➻求角度★★证明★★作图
【例4】（2021春·广东广州·九年级校考期中）已知：的半径，过点A作，在上截取，连结，的外接圆，交于点C，连．
（1）请在图中作出线段并求的半径，（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
（2）求证：垂直平分线段．

【答案】（1）作图见分析，的半径为；（2）见分析
【分析】（1）利用作垂直平分线的方法作出射线和的中点，利用勾股定理求得的长，即可得到的半径；
（2）连接，根据半径相等推出，，即可证明结论成立．
（1）解：线段如图所示，
  
∵，，，
∴，
∴的半径为；
（2）证明：连接，
∵，，
∴垂直平分线段，即垂直平分线段．
【点拨】本题考查了三角形外接圆的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
【举一反三】
【变式1】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，圆O的半径为R，正内接于圆O，将按逆时针方向旋转后得到，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（    ）
①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到．
解：连接，，，，如图，
是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△，
△为等边三角形，
，
而点为△的内心，
，
又，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，所以①正确；
，
而，
，
，，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，所以②错误；
，所以③正确；
在△中，，
，
，
而，
，
，所以④错误．
故选：B．

【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．
【变式2】（2021·广东广州·统考二模）已知点，原点O关于一次函数的对称点恰好与的外心重合，则点的坐标为 ，b的值为 ．
【答案】
【分析】因为为直角三角形，直角三角形的外心在斜边中点处．的外心在斜边的中点上，可得，设交于点P，根据对称的性质直线垂直平分，得，由两直线互相垂直知在直线上，代入可得b的值．
解：为直角三角形，
的外心在斜边的中点上（直角三角形的外心在斜边中点处），
，
，
，
连接，如图，
设交于点P，
∵点是由O关于对称而来，
∴直线垂直平分（对称的性质），
为中点，
，
，
∵直线与垂直，
，
，
∵直线过，
，
，
故答案为．

【点拨】本题考查三角形外心的定义、一次函数值的几何意义、中点坐标公式和待定系数法求解析式．解题的关键在于通过相关知识找到直线上的点的坐标，再利用待定系数法求解．
【考点五】切线的性质定理与判定定理➼➼➻求角度★★证明★★作图
【例5】（2019·山东济南·统考中考真题）如图，、是的两条直径，过点的的切线交的延长线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若是的中点，，求的半径．

【答案】（1）见分析；（2）的半径为．
【分析】（1）根据半径相等可知，，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明；
（2）连接．由为的切线，可得，因为是的中点，得，又，可知为等边三角形，，所以，即的半径为．
解：（1）证明：∵、是的两条直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即；
（2）连接．
∵是的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE为的切线，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．

【点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
解：连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
  
【点拨】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
【变式2】（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
  
【答案】/度
【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
解：如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与分别相切于点，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，即，
∴，
故答案为：．
  
【点拨】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点六】正多边形与圆➼➼➻求角度★★证明★★作图
【例6】（2020·山东威海·统考中考真题）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点
求证：（1）；
（2） 为⊙O的切线．

【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．
解：证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，

∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EO⊥BC，
∵EF//BC，
∴EO⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则（   ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
解：∵，
∴，
故选D．
【点拨】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
【变式2】（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
  
【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
  
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点拨】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【考点七】弧长公式与扇形面积公式及圆锥侧面积➼➼➻求角度★★证明★★作图
【例七】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在中，弦垂直平分半径，的长为10
（1）求的半径．
（2）求劣弧的弧长及扇形的面积

【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据弦垂直平分半径，的长为10，即可得到，，由勾股定理即可得到答案；
（2）弦垂直平分半径得到，结合得到为等边三角形，利用公式即可得到答案．
（1）解：∵是半径，垂直平分半径，
∴，，
设半径为，则
在中，由勾股定理得：
解得：；
（2）解：∵弦垂直平分半径，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
劣弧的长为，
扇形的面积为．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，扇形面积公式及弧长公式，解题的关键是根据垂径定理得到直角三角形及等边三角形．
【举一反三】
【变式1】（2021·全国·九年级专题练习）已知圆锥的高为，母线为，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿折叠，使点恰好落在上的点，则弧长与圆锥的底面周长的比值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AF，如图，设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到，解得n得到∠BAC=100°，再根据折叠的性质得到BA=BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC=40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
解：连接AF，如图，

设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°
∴，
解得n=100
即∠BAC=100°
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，
∴BA=BF
而AB=AF
∴△ABF为等边三角形
∴∠BAF=60°
∴∠FAC=40°
∴的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
故选：B
【点拨】本题考查了圆锥侧面展开图为扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，题中还用到了图形折叠的性质，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．
解：设该扇形的半径为，由题意得：
，解得：，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．