湘教版九年级上册3.5 相似三角形的应用同步测试题

专题12 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【考点一 （双）A字型相似】

【基本模型】

①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．

②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

 ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．

例题：如图，在中，点分别在上，且．

（1）求证：；

（2）若点在上，与交于点，求证：．

【变式训练】

1．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知与的相似比为，则与四边形的面积比为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）

A． B．

C． D．

3．（2023秋·吉林松原·九年级统考期末）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，求的长．

4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．

5．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．

(1)求证：；

(2)若，直接写出和的周长比．

【考点二 （双）8字型相似】

【基本模型】

①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；

②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．

例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）

A． B．7 C． D．8

【变式训练】

1.如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（       ）

A． B． C． D．

2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___．

3．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图所示，延长平行四边形一边至点F，连结交于点E，若 ．

(1)若，求线段的长；

(2)若的面积为3，求平行四边形的面积．

4．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，M是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点F，与的延长线交于点H．

(1)图中相似三角形有______对；

(2)若，求的度数．

5．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）【感知】如图①，在中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：点是的中点，点是的中点；

【应用】如图②，在四边形中，，点是的中点，，的延长线相交于点，求的长．

【扩展】如图③，在中，点是的中点，点是上一点，，、相交于点，求的值．

【考点三 母子型相似】

【基本模型】

如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．

如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．

当时，，则有．

例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．

(1)求证：△ABC∽△BDC．

(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．

【变式训练】

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．

（1）求证 △ACD∽△ABC；

（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

2．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．

（1）求证：AC2＝BC•CD；

（2）若AD是△ABC的中线，求的值．

3.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；

（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．

①求证：∠ABC＝∠EAF；

②求的值．

【考点四 手拉手型相似】

【基本模型】

①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]

②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．

③如图所示，，则，，且．

例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．

（1）求证：△MFC∽△MCA；

（2）求证△ACF∽△ABE；

（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．

【变式训练】

1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（　　）

A．10° B．20° C．40° D．无法确定

2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．

（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；

（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．

（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．

【考点五 K字型相似】

【基本模型】

(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．

(1)求证：△ABE∽△ECD；

(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．

【变式训练】

1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．

(1)求证：．

(2)若，，，求的长．

2．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．

（1）求证：；

（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．

3．（1）问题

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．

（2）探究

若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

（3）应用

如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．

【考点六 三角形内接矩形】

【基本模型】

由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，

例题：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．

（1）求正方形DEFG的边长；

（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=    ．

【变式训练】

1．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长        ．

2.有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．