四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

东部新区养马高级中学2022级数学开学考试2023.9

一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，那么（    ）

A．5 B． C．8 D．

3．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．已知a，b是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．在四边形ABCD中，，，，，，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）

A． B．－3 C． D．

6．在中，，则是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

7．已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若，，，则EF与CD所成的角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．在三棱锥中，平面ABC，，且，，，若球O在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球O为三棱锥的内切球），则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

9．在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则B的取值范围是

C． D．

10．如图，在正方体中，点E是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（    ）

A．AD与所成的角为45°

B．平面

C．平面平面

D．对于任意的点E，四棱锥的体积均不变

11．如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的值可能为（    ）

A． B． C．3 D．

12．函数的图象，可由的图象经过下列哪项变换而得（    ）

A．向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍

B．向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍

C．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍

D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍

三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．在平行四边形ABCD中，______．

14．的值为______．

15．设m为实数，复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则m的取值范围为______．

16．已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，平面ABC，，，，，则球O的表面积为______；若D是BC的中点，过D作球的截面，则截面面积的最小值是______．

四、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）

17．已知向量，，，

（1）若，且，求x的值；

（2）是否存在实数k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

18．如图，在棱长为6的正方体中，点E是的中点，AC与BD交于点O．

（1）求证：平面EBD；

（2）求三棱锥的体积．

19．已知向量，，函数．

（1）求的最小正周期T；

（2）当时，求的零点和单调递增区间．

20．四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，，平面ABCD．

（1）求直线PD与平面ABCD所成角；

（2）求证：平面平面PAB．

21．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5km，与小岛D相距为．为钝角，且．

（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）记为，为，求的值．

22．已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．

（1）求的单调递减区间；

（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围．