人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质随堂练习题

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函数的单调性1 函数单调性的概念一般地，设函数的定义域为，区间:如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.Eg：在上单调递减，但它不是减函数，特别注意它的减区间是，不是.2 单调性概念的拓展① 若递增，，则.比如：递增，则.② 若递增，，则.比如：递增则.递减，有类似结论！3 判断函数单调性的方法① 定义法解题步骤(1) 任取，且；(2) 作差；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差的正负)；(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．② 数形结合③ 性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.④ 复合函数的单调性(1)如果则称为的复合函数；比如：  (和的复合函数)；(和的复合函数)；   (和的复合函数).(2) 同增异减设函数的值域是，函数若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.4 函数的最值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1) ，都有；(2)，使得；那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.  【题型一】对函数单调性的理解【典题1】 函数在是增函数，若，则有  (    )【解析】又函数在上是增函数，故选.【典题2】已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于      . 【解析】函数在上是单调函数 可设(是个常数)，则；；在上单调递增，只有时对应的函数值是，即；；【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个对应一个，所以题目中“”只能是个常数. 巩固练习1(★★) 设，函数在区间是增函数，则(　　) ．  ． 【答案】 【解析】根据题意，，又由函数在区间上是增函数，则有；故选：．2(★★) 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是           . 【答案】    【解析】是定义在上单调递增的函数，不等式等价为，即，即不等式的解集为， 【题型二】 判断函数单调性的方法方法1 定义法【典题1】判断在的单调性.【解析】设则   (因式分解方便判断差的正负)(1) 假如则又所以故函数单调递减；(2) 假如则又所以故函数单调递增；所以函数在内单调递减，在内单调递增．【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论. 方法2 数形结合【典题2】函数的单调增区间是       (　　)                              【解析】 (分离常数法)的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到, 如下图 的单调增区间是．故选．(切勿选)【点拨】① 本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.② 利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等. 方法3 复合函数的单调性【典题3】函数的单调减区间为          . 【解析】函数是由函数和组成的复合函数，    函数的定义域是(优先考虑定义域，否则容易选)由二次函数图像易得在单调递减，在单调递增，而在是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 【点拨】① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域；② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的. 巩固练习1(★) 下列四个函数在是增函数的为(　　)  【答案】【解析】对于，二次函数，开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故不对．对于，一次函数，，在是减函数，故不对．对于，二次函数，开口向下，对称轴为，在)是增函数，故C不对．对于，反比例类型，，在是增函数，故对．故选：．2(★)设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)．在上为减函数           ．在上为增函数 ．在上为增函数      ．在上为减函数【答案】 【解析】根据题意，依次分析选项：对于，若，则，在上不是减函数，错误；对于，若，则，在上不是增函数，错误；对于，若，则，在上不是增函数，错误；对于，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，对于，则有，则在上为减函数，正确；故选：．3(★)  函数的递减区间为    　．【答案】 【解析】当时，，对称轴为，此时为增函数，当时，，对称轴为，抛物线开口向下，当时，为减函数，即函数的单调递减区间为，故选：．4(★) 函数的单调递减区间为    　．【答案】   【解析】由题意，，可得或，函数的定义域为，令，则在上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，函数的单调递减区间为，5(★★) 函数的单调递增区间为　    　．【答案】 【解析】作出函数的图象如图，由图可知，函数的增区间为．6(★★★) 已知函数在定义域上单调递增(1)求的取值范围；(2)若方程存在整数解，求满足条件的个数. 【答案】 (1) (2)个  【解析】(1)任取，且则，则，因为函数在定义域上单调递增所以，在上恒成立，所以，在上恒成立，，，所以。(2)因为，所以，即，解得：(舍去)，或，因为大于，不大于的整数有个，所以方程存在整数解，满足条件的个．7(★★★) 函数在区间上都有意义，且在此区间上①为增函数，；②为减函数，．判断在的单调性，并给出证明．【解析】减函数，令 ，则有，即可得；同理有，即可得；从而有  *显然，从而*式，故函数为减函数． 【题型三】函数单调性的应用角度1 解不等式【典题1】已知函数，若，则实数的取值范围是   .【解析】和在上都单调递减，在上都单调递减，由得，，解得．【点拨】②     我们有增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，由此性质求出函数单调性.② 处理类似“”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别是复杂的函数或者抽象函数的时候. 角度2  求参数取值范围或值【典题2】若()，在定义域上是单调函数，则的取值范围       .【解析】在定义域上是单调函数，①函数的单调性是增函数时，可得当时，即，解之得，时，是增函数，时，是增函数，，得或，综上实数的取值范围是；②函数的单调性是减函数时，可得当时，，即，解之得或，时，是减函数，又时，是减函数，，得或综上实数的取值范围是；综上所述，得.【点拨】遇到分段函数，注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌. 角度3 求函数最值【典题3】已知函数．(1)当时，求的值域；(2)当时，求函数在区间上的最小值．【解析】(1)时，，(遇到绝对值可变成分段函数处理)在上递减，在上递增，，值域为．(2)，①当时，，对称轴，在单调递增，．②当时，，对称轴，(对于分段函数，多结合图像进行分析，比较对称轴与的大小)当即时，在单调递增，，．当，即时，在单调递减，在单调递增，，若，即时，，若，即时，，综上．【点拨】① 遇到绝对值，可利用去掉绝对值符号，本题函数变成了分段函数；② 函数最值或值域均与函数的单调性密不可分，了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像，最值便易于求解；而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关；③ 在分类讨论时，注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”. 巩固练习1(★★) 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是(　　)有最大值，无最小值    有最大值，最小值 有最大值，无最小值    有最大值2，最小值【答案】 【解析】函数2即有在递减，则处取得最大值，且为，由取不到，即最小值取不到．故选：．2(★★) 若是上的单调减函数，则实数的取值范围为　  　．【答案】  【解析】若是上的单调减函数，则，解得，故答案为：．3(★★) 若函数在上的最小值为．则　  　．【答案】【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，(1)当时，函数在上单调递增．则，由，得，不符合；(2)当时．则，由，得或，，符合；(3)当时，函数在上单调递减，，由，得，，不符合，综上可得．4(★★) 已知函数，若，则实数的取值范围是　  　．【答案】 【解析】由题意可知，函数在上单调递增，，则，即且，解可得或．5(★★)  已知函数的最小值为，则实数的值为　  　．【答案】或【解析】当，即时，，则，所以或(舍)．当，即时，，则，所以或(舍)．综上得或.6(★★★) 已知函数的定义域为(为实数)．当时，求函数的值域；求函数在区间上的最大值及最小值，并求出当函数取得最值时的值．【答案】 当时，无最小值，当时取得最大值; 当时，无最大值，当时取得最小值; 当时，无最大值,当时取得最小值.【解析】 (1)当时，，任取，则． ，在上单调递增，无最小值，当时取得最大值，所以的值域为．(2)当时，在上单调递增，无最小值，当时取得最大值；当时，，当1，即时，在上单调递减，无最大值，当时取得最小值；当，即时，在上单调递减，在[上单调递增，无最大值，当时取得最小值． 【题型四】 抽象函数的单调性定义在上的函数满足对所有的正数都成立，且当，．求的值判断并证明函数在上的单调性若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】，取，得：；；设，则，(定义法证明)；；又时，；；，；在上单调递减；，；由 又在上单调递减，．【点拨】① 求具体值时，要大胆尝试，可取特殊值，如、等，可取特殊关系，如.② 抽象函数的单调性用函数的定义法证明，具体的思路有作差法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于;作商法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于，此时还要注意是否成立；③ 涉及抽象函数，解类似这样的不等式，都要利用函数的单调性去掉;④ 恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如恒成立等价于，即求在上的最小值. 巩固练习1 (★★★) 定义在上的函数满足下面三个条件：① 对任意正数，都有；② 当时，；③ 求和的值；试用单调性定义证明：函数在上是减函数；求满足的的取值集合．【答案】(1)   (2)略，提示：定义法  (3)   【解析】 (1)令得，则，而，且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．(3)由条件①及(Ⅰ)的结果得，，，，，解得，故的取值集合为.