专题03 函数的周期性和对称性-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)

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函数的周期性和对称性一 函数的周期性1 概念对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数的图像① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；② 红色图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；   (思考：是周期么)③ 整个函数，对于任何，都有.(简单说来，两个自变量相差，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？ 2 常见的结论 ① 若 ，则的周期是.② 若 ，则的周期是；(你可证明试试)③ 若，则的周期是.二 函数的对称性1 函数图象自身的对称关系① 轴对称：若则有对称轴.② 中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.2 两个函数图象之间的对称关系① 轴对称若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称.特殊地，函数与函数的图象关于直对称.② 中心对称若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称.特殊地，函数与函数图象关于点对称.3 周期性与对称性拓展① 若函数同时关于直线对称，则函数的周期；特殊地，若偶函数的图像关于直线对称，则函数的周期；② 若函数同时关于点对称，则函数的周期 ；③ 若函数同时关于直线对称，又关于点对称 则函数的周期    ；特殊地，若奇函数的图像关于直线对称，则函数的周期. 【题型一】函数的周期性【典题1】 设是周期为的奇函数，当时，，则   【解析】是周期为的奇函数，当时，，.【典题2】 设偶函数对任意，都有，且当时，，则　　．【解析】，，函数是以为周期的函数．当时，， ．故答案为：．【点拨】① 在求值过程中，比如本题中求，先用函数周期性把这个数值变小些，尽量向靠拢.② 函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向. 巩固练习1(★★) 已知定义在上的奇函数，满足，且在上单调递减，则(　)   【答案】 为上的奇函数，且满足，是以为周期的函数，，，，又在区间上单调递减，，即．故选：．2(★★) 已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时，       . 【答案】 【解析】当时，．，故选：．3(★★★)设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是      . 【答案】【解析】由，可得，则，故函数的周期为，则，又函数是定义在上的奇函数，，．，解得．实数的取值范围是． 【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在上的函数的图象关于点(，0)成中心对称且对任意的实数都有且，则      .【解析】，   则是周期为的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和便可)则函数的图象关于点(，0)成中心对称， 【典题2】已知函数，则(　　)函数的图象关于对称      函数的图象关于对称 函数的图象关于对称      函数的图象关于对称【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性对于选项：若函数的图象关于对称，则是偶函数，而不是偶函数，错误；对于选项，可以采取类似选项的方法排除；对于选项：若函数的图象关于对称，则则函数向左和向下均平移个单位的函数关于原点对称，即是奇函数.易得是奇函数，正确；对于选项：若函数的图象关于对称，则函数向左和向下均平移个单位的函数关于原点对称，即是奇函数.而不是奇函数，错误．故选．  方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系利用函数自身的轴对称关系:若则有对称轴.对于选项：若函数的图象关于对称，则有而错误；   对于选项：若函数的图象关于对称，则有   而错误； 利用函数自身的中心对称关系： 若为常数),则函数的图象关于点对称.   对于选项：若函数的图象关于对称，则   易得，正确；   对于选项：若函数的图象关于对称，则   而显然不恒等于8，错误．故选． 方法三 取特殊值排除法  对于选项：，，故函数的图象不可能关于对称，排除；   对于选项：，故函数的图象不可能关于对称，排除；   对于选项：，故函数的图象不可能关于对称，排除；   故选．【点拨】① 从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；② 方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；③ 方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；对于函数自身的轴对称和中心对称关系(1) 轴对称:若则有对称轴.对于选项，令,有，即证明是偶函数便可.(2) 中心对称:若函数满足条件为常数)，则函数的图象关于点对称.对于选项，令，，有,即证明是奇函数. 【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是(　　)   【解析】设所求函数图象上任意一点， 则关于对称的点在上，即， 所以   故选：． 【典题2】 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是    . 【解析】设为所求函数图象上的任意一点，它关于直线对称的点是．由题意知点在函数的图象上，则，即．【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法. 巩固练习1(★★) 已知函数的对称中心为，则　 　；　   ． 【答案】，   ，结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数的对称中心为的对称中心为， 故答案为：1，62(★★) 【多选题】函数的图象关于直线对称，那么(　　)                函数是偶函数        函数是偶函数 【答案】 【解析】由的图象关于对称可知，，，把函数的图象向左平移个单位可得的图象，关于对称，即为偶函数，把函数的图象向右平移个单位可得的图象，关于对称，故选：．3(★★★) 已知函数的图象关于直线对称，则函数的值为(　)    【答案】 【解析】函数的图象关于直线对称，可得，即，即有，可得，即，可得，且，解得，可得，则．故选：．4(★★★) 已知函数，则(　　)  的图象关于点对称 的图象关于直线对称   在上单调递减        在上单调递减，在上单调递增 【答案】   0，则函数定义域为，，，即，有关于点对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，，定义域为，奇函数且单调递增，为向右平移两个单位得到，则函数在单调递增，关于点对称，故选：．5(★★) 同一平面直角坐标系中，函数与的图象(　　)．关于原点对称                 ．关于轴对称 ．关于轴对称                  ．关于直线对称 【答案】  【解析】可看做由的图象右移个单位，而的图象可看做由的图象向左平移个单位，且与的图象关于轴对称，故函数与的图象关于轴对称．故选：．6 (★★★) 【多选题】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则(　　)函数是周期函数        函数的图象关于点对称 函数为上的偶函数    函数为上的单调函数【答案】【解析】根据题意，依次分析选项：对于，函数满足，则，即函数是周期为的周期函数，正确；对于B，奇函数，则的图象关于原点对称，又由函数的图象是由向左平移个单位长度得到，故函数的图象关于点对称，正确；对于，由可得：对于任意的，都有，即0，变形可得，则有对于任意的都成立，令，则，即函数f(x)是偶函数，正确；对于，为偶函数，则其图象关于轴对称，在上不是单调函数，错误；故选：．