专题05 抽象函数-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)

抽象函数

1概念

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.

2 常见抽象函数模型

【题型一】求值问题

【典题1】已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.

【典题2】对任意实数，均满足且， 则_______.

【题型二】单调性问题

设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件

①对任意正数，都有；②当时，；③．

(1)求的值；

(2)证明在是减函数；

(3)如果不等式成立，求取值范围．

【题型三】奇偶性问题

定义在上的增函数对任意都有，则

(1)求；        

(2)证明：为奇函数；

(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【题型四】周期性问题

奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为       .

巩固练习

(★★) 的定义域为，对任意正实数都有 且，则     .

(★★★)已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则　　．

(★★) 是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是       . 

(★★★) 已知定义在上的函数满足

①对任意，都有；‚

②当时，且；

试判断函数的奇偶性；

判断函数在区间上的最大值；

求不等式的解集． 

(★★★) 已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，．

证明：当时，；

判断函数的单调性并加以证明；

如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

(★★★) 定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立

求的值；

求证：为奇函数；

若对恒成立，求的取值范围．

 挑战学霸

已知是定义在上不恒为的函数，满足对任意，，．

(1)求的零点；

(2)判断的奇偶性和单调性，并说明理由；

(3)①当时，求的解析式；②当时，求的解析式.