2023-2024学年湖南省永州市冷水滩区李达中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市冷水滩区李达中学九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  一个多边形的内角和是外角和的倍，这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  下列函数中，是正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B. 三个角是直角的四边形是矩形
C. 菱形的对角线相等且互相平分
D. 对角线垂直平分的四边形是正方形

7.  如图，菱形的对角线，交于点，点为边的中点，若，，则线段的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(    )

A. 体育场离张强家千米
B. 体育场离早餐店千米
C. 张强在体育场锻炼了分钟
D. 张强从早餐店回家的平均速度是千米小时

9.  如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是(    )

 

A.  B.  C.  D. 不能确定

10.  若、是一次函数图象上的不同的两个点，当时，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，，于点，，，点是的中点，连接，，，则下列结论：
：
：
四边形是菱形；
．
其中结论正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  函数中，自变量的取值范围是______．

14.  将一批数据分成组，列出分布表，其中第二组与第五组的频率都是，第一组与第三组的频率之和是，那么第四组的频率是______．

15.  如图，已知菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的面积是______ ．

16.  如图，矩形中，，，若将该矩形沿对角线折叠，则线段的长度为______ ．

17.  直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

18.  如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
如图，，，将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到．
的顶点的坐标为______ ，顶点的坐标为______ ；
画出的图象，并求的面积．

20.  本小题分
李达中学举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为分从幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．

根据以上信息解答下列问题：
这次被调查的学生有______ 人， ______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
若分以上含分的作品将被组织展评，试估计全校被展评的作品数量是多少．

21.  本小题分
如图，中，，平分，于，若，，．
求的长；
求的面积．

22.  本小题分
如图，在矩形中，对角线，相交于点，分别过点，作于点，于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．

23.  本小题分
某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到，两种水果销路比较好，种水果每箱进价元，种水果每箱进价元．
该水果零售商店共购进了这两种水果箱，种水果以每箱元价格出售，种水果以每箱元的价格出售，获得的利润为元，设购进的种水果箱数为箱，求关于的函数关系式；
在的销售情况下，每种水果进货箱数不少于箱，种水果的箱数不少于种水果箱数的倍，请你计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？

24.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
求直线的解析式；
点为直线上的一个动点若的面积等于时，请求出点的坐标．

25.  本小题分
某数学学习小组在学习勾股定理之后进行了拓展研究，类比勾股定理，新定义一种三角形，规定：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的倍，那么称这个三角形为“奇异勾股三角形”请根据“奇异勾股三角形”的定义，完成下列问题：
判断：下列说法正确的是______填甲、乙、丙
组员甲说：等边三角形一定是“奇异勾股三角形”；
组员乙说：等腰直角三角形也是“奇异三角形”；
组员丙说：三边长分别为，，的三角形也是“奇异勾股三角形”．
若是“奇异勾股三角形”且两边勾股长分别为，，求第三边的长；
若是“奇异勾股三角形”，且三边长分别为，，为直角边，为斜边，且求的周长用只含有的式子表示．

26.  本小题分
如图，在边长为的正方形中，平分，交于点，过点作于点，延长交的延长线于点，过点作交于点，连接．
求证：；
求证：四边形是菱形；
如图，点是的中点，点是上的动点，点是对角线上的动点，请问是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据中心对称图形的定义，可知，，选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】
解：点在第二象限．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：．
多边形的外角和是，则内角和是设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

4.【答案】 

【解析】解：，
，，不是勾股数，故A错误，不符合题意；
B.，
，，是勾股数，故B正确，符合题意；
C.，
，，不是勾股数，故C错误，不符合题意；
D.，
，，不是勾股数，故D错误，不符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义进行判断即可．
本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小数的平方和与较大的数进行比较．

5.【答案】 

【解析】解：，不是的正比例函数，故A不符合题意；
B.，不是的正比例函数，故B不符合题意；
C.，是的正比例函数，故C符合题意；
D.，不是的正比例函数，故D不符合题意．
故选：．
根据正比例函数的定义进行判断即可．
此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如是常数，的函数叫做正比例函数．

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.三个角是直角的四边形是矩形，说法正确，故本选项符合题意；
C.菱形的对角线垂互相垂直且平分，但菱形的对角线不相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：．
选项A根据平行四边形的性质以及轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；选项B根据矩形的判定即可判断；选项C根据菱形的性质判断即可；选项D根据正方形的判定进行判断即可．
本题考查了菱形，矩形以及正方形的性质与判定以及轴对称图形和中心对称图形，掌握特殊平行四边形的性质与判定方法是解答本题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
中，，
又点为边的中点，
在中，，
故选：．
根据菱形的性质，即可得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

8.【答案】 

【解析】解：、由纵坐标看出体育场离张强家千米，故A正确；
B、千米，体育场离早餐店千米，故B错误；
C、由横坐标看出锻炼时间为分钟，故C正确；
D、由纵坐标看出早餐店距家千米，由横坐标看出回家时间是分钟小时，回家速度是千米小时，故D正确；
故选：．
根据观察函数图象的纵坐标，判断、，根据观察函数图象的横坐标，可判断，根据观察纵坐标、横坐标，可得路程与时间，根据路程除以时间，可得答案．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：

四边形和四边形都是正方形，
，，，

．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：因为、是一次函数图象上的不同的两个点，当时，，
可得：，
解得：．
故选C．
根据一次函数的图象，当时，随着的增大而减小分析即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．函数经过的某点一定在函数图象上．解答该题时，利用了一次函数的图象的性质：当时，随着的增大而减小；时，随着的增大而增大；时，的值，与没关系．

11.【答案】 

【解析】解：设直线与轴的交点为，
直线与轴，轴的交点坐标为，，
是等腰直角三角形，
又正方形，，，
、、、都是等腰直角三角形，
、、、、，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，

点的纵坐标为，
故选：．
根据一次函数可求出与轴、轴的交点坐标，即可确定正方形的边长以及与轴所交锐角的度数，进而得出、、、都是等腰直角三角形，进而由点的纵坐标，可求出点、、的纵坐标，由规律得出答案．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及数字的变化类，求出点的纵坐标，进而求出点、、的纵坐标是得出正确答案的关键．

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，故正确，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
故错误，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，，
，
，
，，
≌，
的面积的面积，
，，
的面积的面积的面积．
同法可证的面积的面积的面积，
的面积矩形的面积，
，
的面积矩形的面积，故正确．
故结论正确的有，共个，
故选：．
正确．证明，解直角三角形，可得结论；
错误，利用三角形中位线定理证明，可得结论；
正确．根据邻边相等的四边形是菱形证明即可；
正确．利用三角形的中线平分三角形的面积，判断即可．
本题是四边形综合题，考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意，得：，
解得：且，
故答案为：且．
由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得．
本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

14.【答案】 

【解析】解：由频率的意义可知，各个小组的频率之和是，
则第四组的频率是；
故答案为：．
根据频率的意义，各个小组的频率之和是，已知其他小组的频率，计算可得第四组的频率．
本题考查频率的意义，掌握直方图中各个小组的频率之和是是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线，的长分别为和，
，
故答案为：．
由菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：将该矩形沿对角线折叠，
，
而，
，

，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
根据折叠的性质得到，而，则，得，然后设，则，在中，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可得到的长．
本题考查了折叠的性质，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

17.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为．
故答案是：．
不等式的解集就是直线：在直线：在上边时对应的未知数的范围，据此即可求解．
本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，理解不等式的解集就是直线：在直线：在上边时对应的未知数的范围是关键．

18.【答案】 

【解析】解：，，
，四边形是平行四边形，
于点，
平行四边形是菱形，，
，
连接，如图所示：
，
，
即，
，
，
当最短时，有最小值，
由垂线段最短可知：当时，最短，
当点与点重合时，有最小值，最小值，
故答案为：．
证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求．，；
故答案为：，；
的面积．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查坐标与图形变化，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

20.【答案】     

【解析】解：这次被调查的学生有人，
，
，
，
故答案为：，，；
补全数分布直方图如下：

全校被展评作品数量幅，
答：估计全校被展评作品数量幅．
由频数和频率求得总数，根据频率频数总数求得、、的值；
根据中所求数据补全图形即可得；
总数乘以分以上的频率即可．
本题考查读频数率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21.【答案】解：平分，，，
，
，
；
在中，，，，
，
． 

【解析】利用角平分线的性质即可得出答案；
先利用勾股定理求出的长度，再利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，掌握角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键．

22.【答案】证明：，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形；
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
． 

【解析】由矩形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可得出结论；
根据垂直平分线的性质可得，然后根据勾股定理即可求出的长，
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．

23.【答案】解：由题意可得，
，
即关于的函数关系式为；
每种水果进货箱数不少于箱，种水果的箱数不少于种水果箱数的倍，
，
解得，，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
答：该水果零售商店能获得的最大利润是元． 

【解析】根据题意，可以写出关于的函数关系式；
根据题意，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最大利润．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

24.【答案】解：设直线的解析式为，
直线：与轴，轴分别交于、两点，
令，得，故B，
令，得，故A，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式为；
由题意得，
设点的横坐标为，
，
或，
点为直线上的一个动点，
或． 

【解析】设直线的解析式为，求出点坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求解析式、三角形面积公式等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

25.【答案】甲、丙；
设第三边为，若，则，
若，则，
答：第三边的长为或；
由题意可知，，，
所以，，
所以的周长为 

【解析】解：设等边三角形的边长为，由于，即两边的平方和等于第三边平方的倍，
因此等边三角形一定是“奇异勾股三角形”，
所以甲的说法正确；
设等腰直角三角形的直角边为，则斜边为，而，
因此等腰直角三角形不是“奇异勾股三角形”，
所以乙的说法不正确；
由于，
因此三边长分别为，，的三角形是“奇异勾股三角形”，
所以丙的说法正确；
故答案为：甲、丙；
见答案；
见答案。

26.【答案】证明：四边形为正方形，
，即，
，
平分，，，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：四边形为正方形，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：如图，作点关于的轴对称点，连接，过点作于点，交于点，

由轴对称的性质可知，，，
，
由垂线段最短可知，当与点重合时，线段的长即为的最小值，
点时的中点，
，
，
，，
等腰直角三角形，
，
的最小值为． 

【解析】根据角平分线的性质可得，于是易通过证明≌，再利用全等三角形的性质即可证明；
易得为等腰直角三角形，，由平行线的性质得到，易通过证明≌，得到，则可通过证明≌，得到，进一步可得，则，由，可得四边形是平行四边形，结合即可证明四边形是菱形；
作点关于的轴对称点，连接，过点作于点，交于点，由垂线段最短可知，当与点重合时，线段的长即为的最小值，利用等腰直角三角形的斜边和直角边的关系即可求解．
本题主要考查正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是：熟知角平分线的点到角两边的距离相等；熟知判定三角形全等方法；利用轴对称的性质得出的最小值．