初中数学13.3.2 等边三角形集体备课课件ppt

这是一份初中数学13.3.2 等边三角形集体备课课件ppt，共50页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，本节要点，学习流程，知识点，等边三角形的判定，1AN＝BM，等边三角形等内容，欢迎下载使用。
等边三角形的定义及性质等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质
等边三角形的定义及性质
1. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
2. 性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线.(4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等.
特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：1. 任意两边都可以作为腰.2. 任意一个角都可以作为顶角.3. 任意一边上的“三线合一”.
如图13.3-19， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点， 且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵ DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.∴△DEF各个内角的度数都是60°.
1-1. 如图， 一张等边三角形纸片， 剪去一个角后得到一张四边形纸片， 则图中∠α＋∠β的度数是( )A. 180° B. 220°C. 240° D. 300°
如图13.3-20，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE＝DB，求CE的长.
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
2-1. 如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD， 则∠ADE＝_______°.
如图13.3-21，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与BE相交于点F.
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.
(2)求∠BFD的度数.
3-1. 如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-22，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形.
2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-22，在△ ABC 中，∵ AB＝AC，∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形.
证明等边三角形的思维导图：
特别解读1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立.2. 等边三角形的判定方法：(1) 若已知三边关系，一般选用定义判定；(2) 若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；(3) 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.
如图13.3-23，在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF. 求证：△OEF 是等边三角形.
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵ CO，BO分别平分∠ACB，∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°. ∵ OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F， ∴ OE＝BE，OF＝FC，∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°. ∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°. ∴∠EOF＝60°. ∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF. ∴△OEF是等边三角形.
4-1. 如图， △ABC为等边三角形， ∠1＝∠2＝∠3， 求证：△DEF是等边三角形.
如图13.3-24， 点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 连接EF，求证：
解题秘方：要证AN＝BM，只需证△ACN≌△MCB；
(2)△CEF是等边三角形.
解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可.
5-1. 如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点. 在△ABC的外角的平分线CE上取点E，使CE＝BD， 连接AD，AE，DE. 请判断△ADE的形状，并说明理由.
5-2. 如图，E为等边△ABC的边BC上一点，∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，求证：△CDE为等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°.∵∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴CE＝CD，∠ACE＝∠BCD.∵∠ACB＝60°，∴∠BCD＝60°.∴△CDE为等边三角形．
含30°角的直角三角形的性质
特别解读应用此性质，必须满足两个条件：1. 在直角三角形中；2. 有一个锐角为30 ° .二者缺一不可.
如图13.3-26，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长.
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
解：如图13.3-26，连接AN.∵ MN为AB边的垂直平分线，∴ AN＝BN，∴∠NAB＝∠B＝15°，∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，∴ AN＝2AC＝2×4＝8(cm). ∴ BN＝8 cm.
教你一招：1. 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.2. 若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°的角.
6-1. 如图，△ABC中，AB＝AC, ∠A＝120 °，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3, 则CM＝_____.
6-2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AM交BC于M，AM＝15 cm. 求BC的长.
如图13.3-27，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
解题秘方：利用含30°角的直角三角形的性质证明线段的倍分关系.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.∵ AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.∵ BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴ BP＝2PQ.
方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
7-1. 如图，在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝60 °，BD⊥AC于D，E为BC的中点，DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：E，C两点是线段BF的三等分点.