第13章《轴对称》专题复习 人教版八年级数学上册课件

这是一份第13章《轴对称》专题复习 人教版八年级数学上册课件，共37页。
综合专题讲解第十三章 轴对称专题目录专题二：坐标与图形的变化专题一：与等腰三角形有关的辅助线的作法专题三：将军饮马模型专题一：与等腰三角形有关的辅助线的作法◆类型一　利用“三线合一”作辅助线一、底边有中点，作中线 模型：作中线用“三线合一”．条件：AB＝AC，BD＝CD.结论：AD⊥BC，∠1＝∠2.例1 如图，在△ABC 中，CA＝CB，D 是 AB 的中点，∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE.证明：如图，连接 CD.在Rt△FCD 和 Rt△ECD 中，CF＝CE，CD＝CD，∴Rt△FCD≌Rt△ECD(HL)．∴∠CDF＝∠CDE.∴∠CDA－∠FDC＝∠CDB－∠CDE，即∠ADF＝∠BDE.∴∠CDA＝∠CDB＝90°.∵CA＝CB，D 是 AB 的中点，∴CD⊥AB.1. 已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D 为 BC 的中点．(1)如图①，若点 E，F 分别为 AB，AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么 BE＝AF 吗？请利用图②说明理由．图①图②(1)证明：连接 AD，如图 ① 所示．∴∠BDE＝∠ADF.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠FAD.∴BD＝AD.∵点 D 为 BC 的中点，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠B＝45°.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△BDE≌△ADF(ASA)．∴BE＝AF.(2)解：BE＝AF.理由如下：连接 AD，如图 ② 所示．∴△EDB≌△FDA(ASA)．∴BE＝AF.在△EDB 和△FDA 中， ∠EBD＝∠FAD， BD＝AD， ∠EDB＝∠FDA，∴∠EDB＝∠FDA.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠ABD＝∠BAD＝45°，二、底边无中点，作垂直 结论：BD＝CD，∠1＝∠2.模型：作垂直用“三线合一”．条件：AB＝AC，AD⊥BC.例2 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC. 若 AD＝AE，求证：BD＝CE.证明：如图，过 A 作 AF⊥BC 于 F，∴BD＝CE.∴BF－DF＝CF－EF.∴BF＝CF，DF＝EF.∵AB＝AC，AD＝AE，2．如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且 EA＝EC.求证：EB⊥AB.证明：如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵EA＝EC，∴EB⊥AB.∴△BAE≌△FAE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.三、遇与角平分线垂直的线段，延长构等腰结论：△ACE 是等腰三角形，AE＝AC.模型：角平分线＋垂线，延长线段构造等腰三角形．条件：AD平分∠BAC，AD⊥CD.例3 【情景观察】如图①，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为 D，E，CD 与 AE 交于点 F.① 写出图 ① 中所有的全等三角形：_______________；② 线段 AF 与 CE 的数量关系是:__________ .【问题探究】如图②，△ABC 中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD 平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为 D，AD 与 BC 交于点 E.求证：AE＝2CD.△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDBAF＝2CE图①图②证明：如图，延长 AB，CD 交于点 G.∴CD＝GD，即 CG＝2CD.∴△ADC≌△ADG(ASA)．在△ADC 和△ADG 中， ∠ADC＝∠ADG， AD＝AD， ∠CAD＝∠GAD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°.∵AD⊥CD，∵AD 平分 ∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD.∴∠ABC＝90°.∴∠CBG＝90°.∴AE＝CG＝2CD.∴△ABE≌△CBG(ASA)．∴∠BAE＝∠BCG.∵∠G＋∠BAE＝90°，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝45°.∴∠G＋∠BCG＝90°.◆类型二　截长补短构造等腰三角形例4 如图，AD⊥BC 于 D，且 DC＝AB＋BD.若∠C＝26°，求∠BAC 的度数．解：如图，在 DC 上截取 DE＝BD，连接 AE.∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－52°－26°＝102°.∴∠AED＝∠EAC＋∠C＝52°.∴∠B＝52°.∴∠B＝∠AED，AE＝CE.∴∠EAC＝∠C＝26°.∴AB＝AE.∵AD⊥BE，BD＝DE，∵DC＝AB＋BD，BD＝DE，∴AB＝CE.◆类型三　作腰或底边的平行线构造等腰三角形例5 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点 P 为边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，PM⊥BC，垂足为 M，交 BD 于点 N.请猜想 PN 与 BM 之间的数量关系，并证明．解：PN＝2BM.证明如下：如图，过 P 作 PF∥AC 交 BC 于 F，交 BD 于 E.∴∠PMB＝∠PEN＝90°.∵PM⊥BC，∴BE＝PE.∴∠BEP＝90°.∴∠BPE＝∠PBE＝45°.∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，∠PFB＝∠C.∵BD⊥AC，PF∥AC，∴∠NPE＝∠EBF.∴BM＝MF.∴PN＝2BM.∵PM⊥BF，∴∠ABC＝∠PFB.∴PB＝PF.∴∠ABC＝∠C.∵AB＝AC，∴PN＝BF.∴△PEN≌△BEF(ASA)．∵∠PEN＝∠BEF＝90°，∵∠BNM＝∠PNE，专题二：坐标与图形的变化例1 如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点M，顶点 A、B、C 的坐标分别为(1，3)、(1，1)、(3，1)，规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过 2023 次变换后，点M的坐标变为 ( 　)A.(2025，2) B.(2025，﹣2) C.(2023，2) D.(2023，﹣2)B1.如图，将边长为1的正方形 OABC 沿 x 轴正方向连续翻转 2023 次，点A依次落在点 A1、A2、A3、A4…A2022 的位置上，则点 A2023 的坐标为 ( 　)A.(2020，0) B.(2020，1) C.(2023，0) D.(2023，1)C2.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是 (1，2)，则经过第 2023 次变换后点 A 的对应点的坐标为 ( 　)A.(1，﹣2) B.(﹣1，﹣2) C.(﹣1，2) D.(1，2)A专题三：将军饮马模型【基本模型一】已知：如图，定点 A、B 分布在定直线 l 两侧；要求：在直线l上找一点 P，使 PA+PB 的值最小.解：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求.PA + PB 的最小值即为线段 AB 的长度. 【基本模型二】已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧.要求：在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 值最小(或△ABP 的周长最小).解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A´，连接 A´B 交 l 于 P，点 P 即为所求.最短路径中常用定理或推论：【典例1】如图，要在街道 l 设立一个牛奶站 O，向居民区 A，B 提供牛奶，下列设计图形中使 OA+OB 值最小的是 ( 　)D【变式1】如图，在正方形网格中有 M，N 两点，在直线 l 上求一点 P 使 PM＋PN 最短，则点 P 应选在 ( )A. A 点 B. B 点 C. C 点 D. D 点D【典例2】如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD 平分∠ABC，如果点 M，N 分别为 BD，BC 上的动点，那么 CM+MN 的最小值是 ( 　)A.4 B.4.8 C.5 D.6BCM+MN＝CM+ME＝CE.分析：【变式2-1】已知，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段 BE+EF 的最小值是 ( )A.5 B.3 C. D.分析：如图作点 F 关于 AD 的对称点 F′，连接 EF′.作 BH⊥AC 于 H，BE+EF 的最小值就是线段 BH 的长.C【变式2-2】如图，在△ABC 中，直线 l垂直平分 AB 分别交 CB、AB 于点 D，E，点 F 为直线 l 上任意一点，AC＝3，CB＝4.则△ACF 周长的最小值是 (　 )A.4 B.6 C.7 D.10C△ACF最小值＝AF+CF+AC＝AC+CD+BD＝AC+BC.分析：C【典例3】如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 为 4，面积为 24，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交边 AC，AB 于点 E，F，若 D 为 BC 边的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 的周长的最小值为 ( 　)A.8 B.10 C.12 D.14连接 AD 交 EF 于 M，C△CDM 最小值＝CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+DC.分析：D【变式3-1】如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，△ABC 的面积是 14，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 于 E，F 点.若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF上一动点，则 CM+DM 的最小值为 (　 ) A.21 B.7 C.4 D.2分析：连接 AD、AM，则 CM+DM ＝AM+DM ≥ AD.B【典例4】如图，已知 ∠AOB 的大小为 30°，P 是 ∠AOB 内部的一个定点，且 OP＝1，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点，则 △PEF 周长的最小值等于 ( 　)D【变式4-1】如图，∠AOB＝30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP＝15，若在 OA、OB上分别有动点 M、N，则△PMN 周长的最小值是 ( 　)A.5 B.15 C.20 D.30分析：作 P 关于 OA 的对称点 D，作 P 关于OB 的对称点 E，连接 DE 交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 PM，PN，则此时△PMN 的周长最小.B【典例5】如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使△AMN 的周长最小时，则∠ANM+∠AMN 的度数为 (　 )A.80° B.90° C.100° D.130°C分析：作 A 点关于 CD 的对称点 F，作 A 点关于 BC 的对称点 E，连接 EF 交 CD 于 N，交 BC 于 M，连接 AM、AN.C△AMN＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF.【变式5-1】如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点 E，F 分别为 BC 和 CD 上的动点，连接 AE，AF.当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为 (　 )A.60° B.90° C.100° D.120°C分析：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交BC 于 E，交 CD 于 F，则A′A″ 即为△AEF 的周长最小值.