广东省汕头市2022-2023学年高二下学期数学教学质量监测（期末）试卷

广东省汕头市2022-2023学年高二下学期数学教学质量监测（期末）试卷

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则（　　）

A． B．[2，3] C． D．

2．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（　　）

A． B． C． D．

3．已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（　　）

A． B． C． D．

4．一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，两个半圆半径分别为2和4，则该圆台的体积是（　　）

A． B． C． D．

5．已知数列的通项公式为，则（　　）

A． B． C． D．

6．数学对于一个国家的发展至关正要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“儿何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式在（　　）

A．60种 B．78种 C．84种 D．144种

7．已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（　　）

A． B．4 C．8 D．

8．已知函数 ， ，若 ， ，则 的最大值为（　　） 

A． B． C． D．

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9．对变量和的一组样本数据进行回归分析，建立回归模型，则正确的有（　　）

A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好

B．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点

C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好

D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系

10．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．函数最大值为1

B．函数在区间上单调递增

C．函数的图像关于直线对称

D．函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像

11．已知双曲线和圆，则（　　）

A．双曲线C的离心率为

B．双曲线的渐近线方程为

C．当时，双曲线与圆没有公共点

D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点

12．在四梭维中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面，AC，BD交于点O，M是梭SD上的动点，则（　　）

A．存在点M，使平面SBC

B．三棱锥体积的最大值为

C．点到平面ABCD的距离与点到平面$SAB$的距离之和为定值

D．存在点，使直线OM与AB所成的角为

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为　     　.(用数字作答)

14．已知，则　     　

15．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为　     　

16．在数列中，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　     　

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在中，为BC上一点，

（1）若，求外接圆的半径；

（2）设，且，求面积.

18．已知正项数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，证明：.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，E是PB的中点

（1）求证：平面EAC平面PBC；

（2）二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

20．某数学兴趣小组为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成结的样本观测数据蹩理如下：

（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联?

（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值；

（3）现从数学成绩优秀的样本中，按语文成续优秀与不优秀进行分层抽样，从中选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：，

21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为曲线上一点且.

（1）求曲线和曲线的标准方程；

（2）过的直线交曲线于H、G两点，若线段的中点为，且，求四边形OHNG面积的最大值

22．已知函数 ， ． 

（1）若 的最大值是0，求 的值；  

（2）若对其定义域内任意 ， 恒成立，求 的取值范围．  

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】交集及其运算；一元二次不等式；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】 ，解得，，
，即解得，，
.
故答案为：C
【分析】先分别求出和得解，得到集合A、B，进而求解 .

2．【答案】D

【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数

【解析】【解答】 ，又，其 虚部为 .
故答案为：D
【分析】先化简求出，进而求出共轭复数 写出其虚部.

3．【答案】C

【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量

【解析】【解答】， ，
在上的投影， 在上的投影向量为.
故答案为：C
【分析】先求出，再求在上的投影，进而得到在上的投影向量.

4．【答案】D

【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征

【解析】【解答】设圆台上底面半径为，下底面半径为，则，，

如图，则，，
，， 该圆台的体积.
故答案为：D
【分析】先求出圆台上下底面半径，进而利用圆锥体积求圆台的体积.

5．【答案】A

【知识点】数列的递推公式；终边相同的角；数列的前n项和

【解析】【解答】 ， ， ， ， ，，，
， ， ， ， ，，
又， .
故答案为：A
【分析】结合数列的通项公式找出规律，进而计算 .

6．【答案】B

【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式

【解析】【解答】第一步将四门选修课程分为2、1、1；2、2、0；3、1、0三组，
分为2、1、1有种分组方法，分为2、2、0有种分组方法，分为3、1、0有种分组方法，共有种分组方法，
第二步将分好的三组安排在三年内选修有选修方式.
故答案为：B
【分析】第一步将四门选修课程分为2、1、1；2、2、0；3、1、0三组，第二步将分好的三组安排在三年内选修.

7．【答案】C

【知识点】椭圆的简单性质；绝对值不等式

【解析】【解答】设椭圆的右焦点为，则，连接，
椭圆的定义知 ， ，
，，
如图
当点在位置时，取到最大值1，当点在位置时， 取到最小值-1，
， ，.

故答案为：C.
【分析】根据椭圆的定义知 ，所以 结合三角形两边之差小于第三边求解最值.

8．【答案】D

【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】由题意得， ， ，即 ，

令函数 ，则 ，

所以， 时， ，f(x)在(-∞，-1)上单调递减， 时， ， 在(-1，+∞)上单调递增，

又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数 的图象如图所示.

由图可知，当t>0时， 有唯一解，故 ，且 ，

∴ .

设 ， 则 ，令 解得t=e，

得 在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，

∴ ，即 的最大值为 .

故答案为：D.

【分析】根据题意由已知等式代入可得x，，然后结合对数函数的性质及基本函数单调性可得，代入到所求式子后再次构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值。

9．【答案】B,D

【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征

【解析】【解答】A、残差平方和越小，模型的拟合效果越好，A错误；
B、回归方程必过样本中心，由样本数据得到经验回归直线其必过点，B正确；
C、 系数越接近1， 说明模型的拟合效果越好 ，C错误；
D、相关系数为负且接近， 和之间具有很强的负线性相关关系 ，D正确.
故答案为：BD.
【分析】A利用残差平方和的含义判断；B由回归方程必过样本中心，CD根据相关系数的概念判断.

10．【答案】A,D

【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式

【解析】【解答】
A、 函数最大值为1 ，A正确；
B、当 时，，函数在区间 上不单调递增，B错误；
C、当时，，函数的图像关于点对称，C错误；
D、 函数的图像向右平移个单位可以得到函数，D正确.
故答案为：AD
【分析】由题意化简得，再利用正弦函数的性质和图象变换逐一判断选项.

11．【答案】A,C,D

【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合

【解析】【解答】解：由题意得，，，
A、双曲线的离心率，A正确；
B、双曲线的渐近线方程为，即，B错误；
C、 当时， 又圆心到双曲线的渐近线的距离，圆与双曲线的渐近线相切， 双曲线与圆没有公共点 ，C正确；
D、当时，联立解得，，双曲线与恰有两个公共点，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A、B由题意得，，求出离心率与渐近线方程，C求出圆心到渐近线的距离即可判断，D联立双曲线与圆方程计算判断.

12．【答案】A,B,C

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】【解答】A、当为中点时，又是的中点，，

又平面，平面，平面，A正确；
B、，由题意知 ，，底面，底面，，
又，平面平面
当与重合时，三棱锥体积最大为，故B正确；
C、以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示

 则，，，，，
是棱上的动点，设，

点到平面(即平面)的距离，点到平面(即平面)的距离
，C正确；
D、，
若存在点，使直线与所成的角为 ，
则有解，化简得，方程无解，D错误.
故答案为：ABC
【分析】 根据线面平行的判定定理判断A；根据底面积不变，高最大时，谁体体积最大判断B；以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判C、D.

13．【答案】

【知识点】二项式系数的性质；二项展开式

【解析】【解答】由二项式系数和性质知奇数项的二项式系数和为，解得，
的展开式通项为，令，解得，
展开式中的常数项为.
故答案为：
【分析】由二项式系数和性质知，进而根据二项式展开式通项求常数项.

14．【答案】

【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式

【解析】【解答】， .
故答案为：
【分析】根据正切函数的二倍角公式和两角和公式求解.

15．【答案】2

【知识点】指数函数与对数函数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】 ，解得，，即，
，解得，，即，，化简得，或，
当时，， ，
当时，不符合题意舍去.
故答案为：2
【分析】和 求导，利用导数函数值即为切线斜率求解.

16．【答案】

【知识点】一元二次不等式的解法；等差数列的前n项和；数列的递推公式

【解析】【解答】 ，
当时，，，，，，
所有项相加得，，
， 又，在单调递增，，
对任意的正整数，当时，不等式恒成立，即恒成立，
当时，不等式恒成立，，实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】先通过数列 的递推式求出通项，进而求通项， 对任意的正整数，当时，不等式恒成立， 转化为，进而分析求解.

17．【答案】（1）解：由余弦定理得，又
解得
正弦定理得，解得
外接圆的半径；

（2）解： ，， ，
，
在中由余弦定理得，
解得，
由正弦定理得，即，解得，
.

【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)先利用余弦定理求解，再利用正弦定理求解外接圆半径；
(2)根据边角关系在中利用余弦定理求长度，再利用正弦定理求，进而求解面积.

18．【答案】（1）解：①，

当时，②，

①-②得，

整理得，，

，

又当时，，解得，

数列是以2为首项，2为公差的等差数列，

；

（2）解：由（1）得，

，

，即

.

【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和

【解析】【分析】（1）利用计算整理，可得，再利用等差数列的通项公式得答案；
（2） 由（1）得， 利用裂项相消法可得，进一步观察可得证明结论.

19．【答案】（1）证明： 由题意得，，，，，
底面 ，底面，，
，平面，平面
又平面，平面平面；

（2）解：由(1)知，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图所示

设，则，，，，
显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
又，，，令则，
二面角P-AC-E的余弦值为， ，解得，
，又，
， 直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角

【解析】【分析】 (1) 通过证明，，得到平面平面；
(2)以为原点，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值.

20．【答案】（1）解：据表中数据计算得 ， 根据小概率值 的独立性检验知认为数学成绩与语文成绩有关联 ；

（2）解：
估计 的值为；

（3）解：分层抽样得语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，，，，
的概率分布列为

数学期望 .

【知识点】分层抽样方法；独立性检验；超几何分布；条件概率乘法公式

【解析】【分析】(1)计算 的值与6.635比较判断；
(2)根据条件概率公式计算；
(3)根据分层抽样确定人数后结合超几何分布求解.

21．【答案】（1）解：由题意得，，，解得，，，， 曲线方程为 ，曲线方程为 ；

（2）解：由题意直线 斜率不为0，，设直线 方程为，设，，联立得，则，， ， ，，又，，令，，则在单调递增，当时，，即时.

【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由题意求出，再根据焦点和离心率求出 ，，进而求解曲线和曲线的标准方程；
(2)设直线 方程为，联立直线与椭圆的方程得韦达定理，由 得，所以，结合对勾函数性质求最值.

22．【答案】（1）解：∵ 的定义域 ， ．  

若 ， ， 在定义域内单调递增，无最大值；

若 ， ， 单调递增； ， 单调递减．

∴ 时， 取得最大值 ，∴ ．

（2）解：原式恒成立，即 在 上恒成立，  

即 在 上恒成立．

设 ，则 ，

设 ，

则 ，

所以 在 上单调递增，且

， ．

所以 有唯一零点 ，且 ，

即 ．

两边同时取对数得 ，易知 是增函数

∴ ，即 ．

由 知

在 上单调递增，在 上单调递减．

∴ ，

∴ ，∴

故 的取值范围是 ．

【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理

【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的最大值，再利用已知条件求出m的值。
（2） 原式恒成立，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理结合不等式恒成立问题的求解方法，从而求出m的取值范围。