山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题

这是一份山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题，共9页。试卷主要包含了过点与圆相切的两条直线垂直，则，已知为锐角，若，则，记为等比数列的前项和，若，，则，已知函数的最大值为2，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用并使用完毕前2023—2024学年高中三年级摸底考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（    ）A. B. C. D.2.已知复数，则（    ）A. B. C.3 D.53.已知平面向量，，若，则（    ）A. B. C. D.4.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（    ）A.12 B.18 C.21 D.245.过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ）A. B. C. D.46.“曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是（    ）A. B. C. D.7.已知为锐角，若，则（    ）A. B. C. D.8.记为等比数列的前项和，若，，则（    ）A. B. C.85 D.120二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的最大值为2，则（    ）A.  B.的图象关于点对称C.是图象的一条对称轴 D.在上单调递增10.已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（    ）A. B. C. D.11.如图，棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）A.直线B.直线C.D.过，，三点的平面截正方体的截面面积为12.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（    ）A.  B.直线过定点C.的最小值为 D.的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则圆锥的体积为________.14.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为________.15.已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________.16.若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知中，内角，，的对边分别为，，，且，.（1）求外接圆的半径；（2）若，求的面积.18.（12分）随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响.为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：年份编号12345年份20182019202020212022销售额（单位：万元）1513146512021060860（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额.参考公式及数据：，，，，，.19.（12分）等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点是棱的中点，点是棱上一点.（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.21.（12分）已知双曲线：的一条渐近线方程为，点在上.（1）求的方程；（2）过右焦点的直线交于，两点，若，求的方程.22.（12分）已知函数.（1）若，求的值；（2）证明：当且时，.  数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBDBDADC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ADBCDABCABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 16.39四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以，即所以，即（2）由（1）可知：，，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以.18.（12分）【解析】（1）由已知数据可得，，，所以，，所以，因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系（2）由已知数据可得，，所以，，所以，关于的回归方程为令，则（万元）所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元.19.（12分）【解析】（1）法一：由题意可得：，解得，，所以，；法二：由题意可得，，所以，则，所以.又且，，所以，所以.（2）因为，所以20.（12分）【解析】（1）在正方形中，有，又，，所以，又，所以，又，所以，又，点是棱的中点，所以有，又，所以，又，所以.（2）如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设点，，设平面的法向量，，令，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值，化简可得，即，所以或（舍），即点，由可得，，，所以点到平面的距离.21.（12分）【解析】（1）由题，所以，故双曲线的方程为.（2）显然直线的斜率不为0，设：，，，则联立双曲线得：，故，，，，化简得：，故，即，或当时，直线过点，不合题意，舍去，所以直线的方程.22.（12分）【解析】（1）方法一：由题意知，，，①当时，，在上单调递减，所以，当时，，不合题意；②当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意；③当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，对于任意的，，符合题意；④当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意.综上所述，.（2）由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立.令，其中且，则有，又，所以，，即所以.所以，原不等式得证.