八年级上册12.3 角的平分线的性质精练

《12.3 角的平分线的性质》

一、填空题

1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：

（1）若∠1=∠2，则______=______．

（2）若∠3=∠4，则______=______．

2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD=36，则S△BCD=______．

3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．

4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．

二、选择题

5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：

①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；

②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；

③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；

其中正确的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（　　）

A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm

7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（　　）

A．10 B．20 C．15 D．25

8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）

A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定

三、解答题

9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：

（1）DE=DC；

（2）BD=DF．

10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．

11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．

13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．

（1）求BP、CQ、AR的长．

（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．

《12.3 角的平分线的性质》

参考答案与试题解析

一、填空题

1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：

（1）若∠1=∠2，则　BC　=　DC　．

（2）若∠3=∠4，则　AB　=　AD　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；

（2）根据角平分线性质推出即可．

【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°，

∴AB⊥BC，AD⊥DC，

∵∠1=∠2，

∴BC=CD，

故答案为：BC，DC．

（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∵∠3=∠4，

∴AB=AD，

故答案为：AB，AD．

【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边距离相等．

2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD=36，则S△BCD=　45　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，然后计算出DF的长，再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．

【解答】解：∵S△ABD=36，

∴•AB•ED=36，

×12×ED=36，

解得：DE=6，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∴DE=DF，

∴DF=6，

∵BC=15，

∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45，

故答案为：45．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．

3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于　2：3：4　．

【考点】角平分线的性质；三角形的面积．

【专题】常规题型．

【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．

【解答】解：

过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵O是三角形三条角平分线的交点，

∴OD=OE=OF，

∵AB=20，BC=30，AC=40，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．

故答案为：2：3：4．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．

4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=　2　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线性质得出DM=DN，根据三角形面积公式求出即可．

【解答】解：

过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴DM=DN，

∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

二、选择题

5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：

①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；

②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；

③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；

其中正确的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点】角平分线的性质．

【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．

【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE．

故选B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（　　）

A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm

【考点】角平分线的性质．

【分析】根据角平分线的性质得出CD长，代入BC=BD+DC求出即可．

【解答】解：∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，

∴DE=DC=1.5cm，

∵BD=3cm，

∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，

故选D．

【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（　　）

A．10 B．20 C．15 D．25

【考点】角平分线的性质．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵点D到AB的距离为6，

∴DE=6，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，

∴DC=DE=6，

∵BD：DC=3：2，

∴BD=×3=9，

∴BC=BD+DE=9+6=15．

故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）

A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定

【考点】角平分线的性质．

【分析】根据三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．

【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，

∴AO平分∠BAC，

∵OD⊥AB，OE⊥AC，

∴OD=OE．

故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．

三、解答题

9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：

（1）DE=DC；

（2）BD=DF．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；

（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．

【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，

∴DE=DC；

（2）在△BDE和△FDC中，

，

∴△BDE≌△FDC（SAS），

∴BD=DF．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．

【解答】证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，

∴PE=PF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．

【解答】证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），

∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），

BD=BD（公共边），

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；

∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90°；

又∵PD=PD（公共边），

∴△PMD≌△PND（AAS），

∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．

【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．

12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90，AB=18，BC=12，求DE的长．

【考点】角平分线的性质．

【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．

【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90，

即×18•DE+×12•DE=90，

解得DE=6．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．

（1）求BP、CQ、AR的长．

（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；

（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．

【解答】解：

连接AO，OB，OC，

∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，

∴OR=OQ，OR=OP，

∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，

∴AR=AQ，

同理BR=BP，CQ=CP，

即O在∠ACB角平分线上，

设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，

则

x=3，y=5，z=4，

∴BP=3，CQ=5，AR=4．

（2）

过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，

∵O在∠A的平分线，

∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，

∵∠A=60°，

∴∠NOM=120°，

∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，

∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，

∴∠FON=∠EOM，

在△FON和△EOM中

∴△FON≌△EOM，

∴OE=OF．

【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．