人教版六年级上册8 数学广角——数与形优秀巩固练习

这是一份人教版六年级上册8 数学广角——数与形优秀巩固练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，判断题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第八单元 数学广角—数与形（基础卷）
一、选择题（共16分）
1．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第（    ）个三角形的（    ）顶点处。（    ）

A．669；上 B．669；左下 C．670；右下 D．670；上
2．将整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2023应排在第几行；第几列，（    ）。

第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3

第2行

6
5
4
第3行
7
8
9

第4行

12
11
10
……




A．第673行第1列 B．第673行第4列 C．第675行第4列 D．第675行第1列
3．＋＋＋＋＋…＋＝（    ）。
A． B．1 C． D．无法计算
4．如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒（    ）根。

A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1
5．下列与1＋3＋5＋7＋9＋11＋7＋5＋3＋1结果相等的算式是（    ）。
A．62＋42 B．52 C．102 D．62－42
6．按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（    ）个点。

A．16 B．21 C．25 D．36
7．用小木棒按下图方式摆放图形，第⑧个图形需要（    ）根小木棒。

A．33 B．30 C．36 D．27
8．如图是用同样长的小棒摆成的（每边用1根小棒）。照这种规律继续摆下去，摆成图5要用（    ）根小棒。

A．26 B．43 C．55 D．64
二、填空题（共16分）
9．图中，从左往右观察，我发现后面的一个正方形的点数比前一个正方形的点数多( )；第5个正方形有( )个点。
……
10．已知：1×7＋1＝8，12×7＋2＝86，123×7＋3＝864，1234×7＋4＝8642；那么：12345×7＋5＝( )。
11．观察下面三角形的排列规律，完成表格。

第几组
1
2
3
…
8
…
x
三角形个数
4
7
10
…
( )
…
( )
12．数学课上，小林构思了一组有规律的数，你能发现是什么规律吗？请你按规律接着写一个数。4，7，13，25，( )。
13．一张桌子坐6人，两张桌子拼起来坐10人（如图），三张桌子拼起来坐14人……，照这样计算，9张桌子拼在一起可以坐人；如果一共有50人，需要张桌子拼在一起才能坐下。
  
14．……摆n个四边形需( )根木棒，2017根木棒可摆( )个四边形。
15．下图中第5个长方形有( )个点，第10个长方形点子总数是( )。
……
16．找规律填一填。
1，3，6，10，15，( )，( )…
三、判断题（共8分）
17．…＝1。( )
18．3.58658658…小数部分的第95位数字是8。( )
19．若一列数为：2，4，6，8，10，……96，98，100，则这列数的和是2550。( )
20．如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。( )

四、计算题（共12分）
21．（6分）观察下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1    9×1＋2＝11    9×2＋3＝21     9×3＋4＝31    ……
猜想：第21个等式应该是多少？


22．（6分）已知：＝＋，＝＋，＝＋，利用规律计算：1＋－＋－＋－。


五、作图题（共12分）
23．（6分）根据前面几幅图的规律，接下去画一画．



24．（6分）1个变4个，4个变13个、按同样的方法，下次应该变成多少个三角形？请在下边的图上画出来。



六、解答题（共36分）
25．（12分）
（1）用同样大小的黑色棋子按上图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子（    ）枚。（用含n的代数式表示）
（2）用第（1）题中的式子计算第22个图形中有多少枚黑色棋子。



26．（12分）探究与发现。
请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。




……
①2＝1×2
②2＋4＝2×3
③2＋4＋6＝3×4
④2＋4＋6＋8＝（    ）×（    ）

（1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。
（2）根据规律把算式补充完整。
①（         ）；
②（       ）。



27．（6分）仓库里有一批民用物资，第一天运走全部的，以后每天都运走剩下物资的，第几天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。把你思考的过程画一画，算一算。



28．（6分）照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？

32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16























参考答案
1．D
【分析】由图可知，每个正三角形按上、左下、右下的顺序，三个顶点处是三个连续的自然数，把三个连续自然数看作一个周期，用2008除以3得到三角形的个数，如果商是整数且没有余数，那么商是三角形的个数，第2008个数在三角形的右下顶点处；如果商是整数并且有余数，那么（商＋1）是三角形的个数，余数是几，就按照上、左下、右下的顺序数出对应的顶点，据此解答。
【详解】2008÷3＝669……1
669＋1＝670（个）
所以，2008是第670个三角形的上顶点处。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查利用数形结合的思想解决问题，根据图形找出数字变化的规律是解答题目的关键。
2．D
【分析】观察表格数据，发现其中规律：每一行有三个数，其中单数行数据从左到右逐渐增大，双数行数据从右到左逐渐增大；每2行有6个数字，从1开始每相邻的6个数字为1个周期，用数2023÷6，商即可算出有几个周期，用周期数乘2，即可求出数2023前面有几行，而数2023在下一行，最后用余数判断在周期的哪个数字即可。
【详解】2023÷6＝337……1
337×2＝674
674＋1＝675
说明数2023应排在第675行第1列。
故答案为：D
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
3．C
【分析】＝1－，＝－，＝－，…，根据分数的加减法的关系和性质，将＋＋＋＋＋…＋进行简算即可。
【详解】＋＋＋＋＋…＋
＝1－＋－＋－＋－＋－＋…－
＝1－
＝
故答案为：C
【点睛】本题考查了分数加减法的灵活应用，仔细观察，合理变形是解决本题的关键。
4．D
【分析】观察图形可知：1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，3个小正方形需要1＋3×3根小棒……，由此找出规律解答即可。
【详解】因为1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，
3个小正方形需要1＋3×3根小棒……所以n个小正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：D
【点睛】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。
5．A
【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋11＋7＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7＋9＋11和7＋5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＋11＝62，7＋5＋3＋1＝42，据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（7＋5＋3＋1）
＝62＋42
＝36＋16
＝52
所以，与1＋3＋5＋7＋9＋11＋7＋5＋3＋1结果相等的算式是62＋42。
故答案为：A
【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
6．D
【分析】观察图形可知：
第1个图形有1个点，1＝12；
第2个图形有1＋3＝4个点，4＝22；
第3个图形有1＋3＋5＝9个点，9＝33；
……
第n个图形有n2个点；
据此规律解答。
【详解】规律：第n个图形有n2个点；
当n＝6时，n2＝62＝36；
则第六个点阵中有36个点。
故答案为：D
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
7．D
【分析】第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要（6＋3）根小木棒，第3个图形需要（6＋3×2）根小木棒……每增加一个正方形增加3根小木棒，第n个图形需要[6＋3×（n－1）]根小木棒，最后求出n＝8时式子的值，据此解答。
【详解】第n个图形需要小木棒的数量：6＋3×（n－1）
＝6＋3n－3×1
＝6＋3n－3
＝3n＋6－3
＝（3n＋3）根
当n＝8时。
3n＋3
＝3×8＋3
＝24＋3
＝27（根）
所以，第⑧个图形需要27根小木棒。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小木棒数量的变化规律是解答题目的关键。
8．D
【分析】根据图形先画出第5个图形，再数一下小棒即可求解。
【详解】图5为：

摆成图5要用64根小棒。
故答案为：D。
【点睛】本题考查了数与形结合的规律，主要培养学生的观察能力和总结能力。
9． 4 20
【分析】第一个图形有4个点，第二个图形有8个点，在第一个基础上增加了4个点，第三个图形有12个点，在第二个图形的基础上增加了4个点，以此类推每个图形都比前一个图形增加4个点。
【详解】8－4＝4
12－8＝4
我发现后面的一个正方形的点数比前一个正方形的点数多4点；
12＋8＝20
第五个正方形有20个点。
【点睛】重点是能够观察图形之间点数的数量关系。
10．86420
【分析】观察算式可知，乘法算式第一个因数依次为1、12、123、1234、12345，因数的位数每次递增一位且它们是连续自然数，乘法算式的第二个因数都是7，加号后面的数字依次为1、2、3、4、5，它们是从1开始的连续自然数，算式的结果依次为8、86、864、8642，算式结果的位数每次递增一位，且它们是从8开始依次递减的连续偶数，所以12345×7＋5的结果是一个五位数，前四位数字是8642，最后一位数字是0，据此解答。
【详解】分析可知，已知：1×7＋1＝8，12×7＋2＝86，123×7＋3＝864，1234×7＋4＝8642；那么：12345×7＋5＝86420。
【点睛】根据已知条件找出算式变化的规律是解答题目的关键。
11． 25 3x＋1
【分析】由图可知，第1组图形有4个三角形；第2组图形有（4＋3）个三角形；第3组图形有（4＋3×2）个三角形……以此类推，每次增加3个三角形，那么第x组图形有[4＋3×（x－1）]个三角形，化简式子求出x＝8时式子的值，据此解答。
【详解】第x组图形三角形的个数：4＋3×（x－1）
＝4＋3x－3
＝3x＋4－3
＝3x＋（4－3）
＝（3x＋1）个
当x＝8时。
3x＋1
＝3×8＋1
＝24＋1
＝25（个）
第几组
1
2
3
…
8
…
x
三角形个数
4
7
10
…
25
…
3x＋1
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，根据已知条件找出规律并利用规律做题是解答题目的关键。
12．49
【分析】根据观察，数字排列的规律为：下一个数是前一个数的2倍减1，按照此规律求解即可。
【详解】25×2－1
＝50－1
＝49
下一个数是49。
【点睛】解决问题的关键在于找出相邻两个数之间的变化规律，并由此规律求解。
13． 38 12
【分析】由图可知，1张桌子坐6人，2张桌子坐（6＋4）人，3张桌子坐（6＋4×2）人……每增加1张桌子就增加4个人，以此类推，n张桌子可以坐[6＋4×（n－1）]人，求出n＝9时式子的值，再解方程求出式子的值为50时n的值，据此解答。
【详解】n张桌子可以坐的人数：6＋4×（n－1）
＝6＋4n－4
＝4n＋6－4
＝（4n＋2）人
当n＝9时。
4n＋2
＝4×9＋2
＝36＋2
＝38（人）
4n＋2＝50
解：4n＝50－2
4n＝48
n＝48÷4
n＝12
所以，9张桌子拼在一起可以坐38人，如果一共有50人，需要12张桌子拼在一起才能坐下。
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出桌子数量和人数的变化规律是解答题目的关键。
14． 3n＋1 672
【分析】观察图形可知：
摆1个四边形需4根小棒，4＝3×1＋1；
摆2个四边形需7根小棒，7＝3×2＋1；
摆3个四边形需10根小棒，10＝3×3＋1；
……
按此规律摆下去，摆n个四边形需（3n＋1）根小棒；据此规律解答。
【详解】……摆n个四边形需（3n＋1）根小棒；
3n＋1＝2017
解：3n＋1－1＝2017－1
3n＝2016
3n÷3＝2016÷3
n＝672
2017根木棒可摆672个四边形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
15． 20 40
【分析】结合图示可知：
第1个长方形有4个点；
第2个长方形有2×4＝8（个）点；
第3个长方形中有3×4＝12（个）点；
……
即：第n个长方形有4n个点。
把n＝5、n＝10分别代入，即可得出第5个长方形有几个点、第10个长方形有几个点。
【详解】由分析得：
第5个长方形有5×4＝20（个）点；
第10个长方形有10×4＝40（个）点。
【点睛】解答本题需要先找出构成长方形的点的个数规律，求得结果后，还要再验证结果是否准确。
16． 21 28
【分析】观察数列，第1个数字加2等于第2个数字，第2个数字加3等于第3个数字，第3个数字加4等于第4个数字，第4个数字加5等于第5个数字，依次类推，第5个数字加6等于第6个数字，第6个数字加7等于第7个数字。据此解答。
【详解】1＋2＝3
3＋3＝6
6＋4＝10
10＋5＝15
15＋6＝21
21＋7＝28
即1，3，6，10，15，21，28⋯
【点睛】根据已知的数字得出前后数之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
17．√
【分析】根据算式可知，后面一个数是前一个数的，如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以…＝1，据此解答即可。

【详解】…＝1，说法正确；
故答案为：√。
【点睛】本题采用了数形结合的思想，使题目形象化，再利用极限思想得到结果。
18．√
【分析】因为3.58658658…是循环小数，它的循环节是586，是3位数，95÷3＝31（个）…2，所以小数部分的第95位数字是31个循环节后的32个循环节上的第2个数字，循环节是586的第二个数字是8，据此求出然后分析判断。
【详解】3.58658658…小数部分的第95位数字是8，这是正确的；
故答案为：√。
【点睛】本题主要利用循环小数的循环节，找出循环节及循环节的数字，用95除以循环节的位数得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
19．√
【详解】解：2＋4＋6＋8＋10＋…＋100
＝
＝
＝2550
所以原题计算正确。
故答案为：√
20．×
【分析】图1：1＋3＝4；图2：1＋3＋5＝9；图3：1＋3＋5＋7＝16，结合规律可知：如果最下层放19块积木，共需放积木的块数为：1＋3＋5＋……＋19＝（1＋19）×10÷2，计算出结果判断即可。
【详解】1＋3＋5＋……＋19
＝（1＋19）×10÷2
＝20÷2×10
＝10×10
＝100
故答案为：×
【点睛】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
21．9×20＋21＝201
【分析】通过观察发现第一个等式9×0＋1＝1就是9×（1－1）＋1＝（1－1）×10＋1＝1，第二个等式9×1＋2＝11就是9×（2－1）＋2＝（2－1）×10＋1＝11， 第三个等式9×2＋3＝21就是9×（3－1）×3＝（3－1）×10＋1＝21，第四个等式9×3＋4＝31就是9×（4－1）＋4＝（4－1）×10＋1＝31，依次类推，第n个等式应该是9×（n－1）＋n＝（n－1）×10＋1，据此解答。
【详解】根据上面的分析可知第21个等式为9×（21－1）＋21＝（21－1）×10＋1，即9×20＋21＝201。
【点睛】此题考查的是等式的变化规律，解题时应该认真对比观察等式，找出其中隐含的规律。
22．
【分析】根据题意可知，将变为＝＋，即将分数的分母变为相邻两个数的乘积，分子变为相邻两个数的和，就可以将分数拆分为分别以这两个相邻数为分母，分子为1的分数和，故根据规律解答即可。
【详解】1＋－＋－＋－
＝1＋－＋－＋－
＝1＋－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋）
＝1＋－－＋＋－－＋＋－－
＝1－
＝
【点睛】此题主要考查学生对分数拆数计算的简便计算能力，需要掌握拆数的规律。
23．
【详解】黑色三角的规律为：
第一个图形1个
第二个图形2个
第三图形3个
……
白色三角的规律：
第一个图形1个
第二个图形1+2＝3（个）
第三个图形1+2+2＝5（个）
……
所以，第6个图形的黑色三角个数为6个
白色三角的个数为：1+2+2+2+2+2＝11（个）
如图：

24．
【分析】图中的每个三角形都是等边三角形，第二幅图是把第一幅图等分成4块；第三幅图是把第二幅图除中间一个等分成4块，那么照此规律，第四幅图，也要把第三幅图每个三角形进行四等分，但中间的三角形不变。
【详解】如图：

答：下次应该变成40个三角形。
【点睛】从一个变成4个，相当于是增加了3个，1、4、13、40……每次增加的个数分别是3、9、27、81……，依次乘3。
25．（1）3n＋1
（2）67枚
【分析】（1）观察图形可知，第一幅图需要4枚黑色棋子，第二幅图需要7枚黑色棋子，第三幅图需要10枚黑色棋子，则第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚；
（2）把22代入到式子3n＋1中进行计算即可。
【详解】（1）第n个图形需要黑色棋子（3n＋1）枚。
（2）当n＝22时，代入到式子中得：
3n＋1＝3×22＋1
＝66＋1
＝67
答：第22个图形中有67枚黑色棋子。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
26．（1）见详解；
（2）①2＋4＋6＋8＋10；
②50×51
【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积；
（2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10；
②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。
【详解】（1）




……
①2＝1×2
②2＋4＝2×3
③2＋4＋6＝3×4
④2＋4＋6＋8＝4×5

（2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6；
②50×51。
【点睛】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。
27．图见详解；第4天
【分析】先画一个正方形，把这个正方形看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下，即把正方形平均分成2份，一份是运走的，另一份是剩下的；把还剩下的图形看作单位“1”，第二天运走剩下的，即把剩下的图形平均分成2份，一份是运走的，一份是剩下的，那么还剩下…以此类推，画到第4天时还剩下的原来的。
先把这批物资的总量看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下1－＝；第二天运走剩下的，是把剩下的物资看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少”，用剩下的物资乘（1－），即可求出第二天运走后还剩下原来的几分之几……以此类推，计算到第4天即可得出仓库里剩下的物资是原有物资的。
【详解】如图：

第1天运走后，还剩下：
1－＝
第2天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
第3天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
第4天运走后，还剩下：
×（1－）
＝×
＝
答：第4天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。
【点睛】理解“每天都运走剩下物资的”的含义，通过画图，数形结合，找到规律，按规律解答。列式计算时，区分单位“1”的不同，根据分数乘法的意义解答。
28．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。

【详解】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。