安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷

安庆一中2021-2022学年度第二学期高二期中数学试题

满分：150  考试时间：120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.甲、乙、丙、丁四位同学报名参加自由式滑雪，速度滑冰，单板滑雪三个项目，每人只报其中一个项目，则有（    ）种不同的报名方案.

A. B. C. D.

2.某司机看见前方50m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度是关于刹车时间的函数，其图象可能是（    ）

A. B. C. D.

3.今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（    ）

A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四

4.若函数，则的值为（    ）

A.12 B.16 C.18 D.24

5.吹气球时，气球的半径（单位：dm）与体积（单位：L）之间的关系是.当时，气球的瞬时膨胀率为（    ）

A. B. C. D.

6.如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（    ）

A.120 B.96 C.72 D.48

7.已知函数的一个极值点为2，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.7

8.现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（    ）

A.15种 B.31种 C.24种 D.23种

9.若，则下列计算错误的是（    ）

A.  B.

C. D.

10.直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（    ）

A. B.2 C. D.1

11.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（    ）

A.81种 B.72种 C.63种 D.36种

12.已知，若在上存在使得不等式成立，其中为自然对数的底数，则的最小值为（    ）

A. B.1 C.2 D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有______条.

14.若，则的值是______.（用数字作答）

15.若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是______.

16.已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为______.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知函数.

（1）求函数的极值点；

（2）若函数有且只有两个零点，求实数的值.

18.（本小题满分12分）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是.

（1）求二项展开式中各项二项式系数和；

（2）求二项展开式中系数最大的项.

19.（本小题满分12分）

（1）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

（2）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？

20.（本小题满分12分）如图所示，一座海岛距离海岸线上最近点的距离是20km，在点沿海岸正东120km处有一个城镇，现急需从城镇处派送一批药品到海岛，已知和之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车速度为50km/h，快艇速度为30km/h.设快艇出发点与点之间距离为.

（1）写出运输时间（小时）关于的函数；

（2）当为何值时运输时间最短？

21.（本小题满分12分）已知函数，的图象在点处的切线方程为，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的解析式及的值；

（2）若对于任意恒成立，求整数的最大值.

参考数据：，

22.（本小题满分12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.

2021-2022学年高二第二学期期中数学试题参考答案

一.选择题

二.填空题

13.30 14.165 15. 16.

三.解答题

17.（1）的极小值点是，极大值点是1

（2）或

18.（1）由题意得，即，解得；

二项展开式中各项二项式系数和为，

（2）展开式的通项公式为，

设展开式中系数的绝对值最大的项为，

则，解得，∴，

∴展开式中系数的最大的项为。

19.（1）若个位是0，则有种，

若个位不是0，先从2、4中选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有种，

故0、1、2、3、4、5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共个；

（2）分类计数：

若1个会双语的导游都不选，则有种，

若恰选1个会双语的导游，则有种，

若恰选2个会双语的导游，则有种，

故不同的选择方法有种.

20.（1）由题意知，，∴

（2）

令，得当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增；

即时取最小值，所以当时运输时间最短.

21.（1）∵，∵的图象在点处的切线方程为，

∴当时，，且切线斜率，

则，①，②，

联立解得，，即，

∵函数，∴∴函数在原点处的切线斜率为1，

∵，∴.

（2）若对于任意恒成立，即恒成立，

则只需要求出在上的最小值即可，设，

则，，则当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

∵，，，

∴，必有一个实根，且，使得即，

当时，，当时，，

的最小值为，

，故整数的最大值为2

22.（1），则.

令，若，即时，则恒成立，即恒成立，

可得在上单调递增；若，则或，

当时，函数的对称轴方程为，，则当时，

恒成立，即恒成立，可得在上单调递增；

当时，函数的对称轴方程为，，

由，得，

当，，，

当，，.