贵州省贵阳市2024届高三数学上学期8月摸底考试试题（Word版附解析）

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贵阳市2024届高三年级摸底考试试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试通卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是目要求的．1. 已知全集，集合，，则下图阴影部分所对应的集合为（    ）A.  B.  C. 或 D. 【答案】A【解析】【分析】求得两集合的并集，根据阴影部分表示的含义即可求得答案.【详解】由题意知，则,由图可知阴影部分所对应的集合为.故选：A2. 已知（为虚数单位），则（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法法则进行运算，再求模即可.【详解】由，得，则，故选：D.3. 2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城．周深在内的兄弟团成员和以刘宇等为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”．节目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲．在活动中，兄弟团成员要从这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用排列、组合求出试验的基本事件总数及事件所含基本事件数，再利用古典概率计算作答.【详解】依题意，10首歌曲任意排列名的试验有个基本事件，恰好猜对2首歌曲的事件含有个基本事件，所以在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率.故选：B4. 已知等差数列的前项和为．若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，又因为，则，解得，因此，.故选：C.5. 如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（    ）  A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.【详解】因为为线段的中点，则，因为点是线段上靠近的三等分点，则，因此，.故选：A.6. 转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h，已知曲面棱柱的体积，若，，则曲面棱柱的体积为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意和图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成的，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，进而求解.【详解】扇形ACB的面积，，则底面积，所以曲面棱柱的体积，故选：A．7. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（    ）A. 4 B.  C. 8 D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的坐标，即可求得弦长.【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，，，因为，所以，得，①因为，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故选：C8. 已知，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.详解】构造函数，所以在上单调递增，所以，，；故只需比较与；也即比较与；也即比较与，而，，所以，所以.综上所述，.故选：B二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（    ）A. 展开式共有7项 B. 所有二项式系数的和为128C. 只有第4项的二项式系数最大 D. 展开式的常数项为【答案】BD【解析】【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项式定理和二项式系数的性质，判断选项.【详解】由题意可知，当时，，所以，二项式的展开式共有8项，所有的二项式系数的和为，其中最大的二项式系数为和，为第4项和第5项，展开式的常数项为，其中只有BD正确.故选：BD10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的是（    ）A. 是奇函数 B. 在区间内有最大值C. 的周期是 D. 在区间内有一个零点【答案】AB【解析】【分析】A.利用函数奇偶性的定义判断；B.利用导数法求解判断；C.利用周期函数的定义判断；D.利用零点的定义求解判断.【详解】解：因为函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以是奇函数，故A正确；求导，当时，，，则，所以在上单调递增，当时，，，则，所以在上单调递减，则，故B正确；，故C错误；，令得，或，因为，则，故D错误，故选：AB11. 已知曲线：的焦点为，，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（    ）A. 若，则的内切圆半径的最大值为B. 若，则曲线的焦点坐标分别是，C. 若曲线的离心率为，则或D. 若曲线是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为，则【答案】AC【解析】【分析】当时，求出面积最大值，利用分割法建立内切圆半径的关系式，结合椭圆的定义可求得内切圆半径的最大值，可判断A选项；当时，求出曲线的焦点坐标，可判断B选项；根据双曲线的离心率求出实数的值，可判断C选项；根据双曲线的渐近线方程求出实数的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则曲线的方程为，则，，，则的面积，设的内切圆半径为，则，所以，，故A正确；对于B选项，若，则曲线的方程为，则，，，故椭圆的焦点的坐标为和，故B错误；对于C选项，若曲线的离心率，则曲线为双曲线，且，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，可化为，此时，，则，，解得；若双曲线焦点在轴上，则，可得，可化为，此时，，则，，解得.综上所述，若曲线的离心率为，则或，故C正确；对于D选项，若曲线是双曲线，且一条渐近线倾斜角为，则渐近线方程为，即，故可设双曲线的方程为，所以，，解得，故D错误.故选：AC.12. 如图，一块边长为正方形铁片上有四个以为顶点的全等的等腰三角形（如图1），将这4个等腰三角形裁下来，然后用余下的四块阴影部分沿虚线折叠，使得，重合，，重合，，重合，，重合，，，，重合为点，得到正四棱锥（如图2）．则在正四棱锥中，以下结论正确的是（    ）
    A. 平面平面B. 平面C. 当时，该正四棱锥内切球的表面积为D. 当正四棱锥的体积取到最大值时，【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用正棱锥的性质分析判断，对于B，由已知可得‖，再利用线面平行的判定理判断，对于C，利用等体积法可求得内切球的半径，对于D，设，可得，利用导数可求出其最大值.【详解】对于A，连接，在正四棱锥中，，由折叠可得，为的中点，所以，因为四边形为正方形，所以，即，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以A正确，  对于B，因为‖，平面，平面，所以‖平面，所以B正确，对于C，当时，因为四边形为正方形，所以，因为在图1中，为等腰直角三角形，所以，所以，因为正方形铁片的边长为10，所以所以中边上的高为，，所以，设内切球的半径为，则，所以，解得，所以该正四棱锥内切球的表面积为，所以C错误，对于D，设，则，，所以，令，则，令，则，令，则（舍去），或，当时，，当时，，所以当时，有最大值，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查正四棱锥的性质，考查导数的综合应用，考查正四棱锥内切球半径的求解，解题的关键是利用等体积法求出内切球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______．【答案】【解析】【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用二倍角的正弦公式求解.【详解】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，所以，所以，故答案为：14. 已知随机变量，其中，则___________.【答案】0.2【解析】【分析】由服从的分布类型可直接求出，，从而求出，再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，且，又因为，所以，所以.故答案为：0.2.15. 若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．【详解】，等价于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，则，即在上是增函数，∴，所以.故答案为：.16. 如图，、两点分别在、轴上滑动，，为垂足，点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为______．【答案】##【解析】【分析】设，则为锐角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求.【详解】设，则为锐角，所以，，因，则，，所以，，令，其中，则，因，则，则，由，可得，可得，由，可得，可得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，.所以，面积的最大值为.故答案为：.四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 设为数列的前项和．已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，可求得的表达式，再利用裂项相消法可求得.【小问1详解】证明：已知①，当时，②，①②得：，即，所以，，当时，则，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列．【小问2详解】解：由（1）可知，，则，所以，，所以，，.18. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、．①；②；③．在以上三个条件中选择一个，并作答．（1）求角；（2）已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．【答案】（1）条件选择见解析，    （2）【解析】【分析】（1）选①，利用余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选②，利用正弦定理结合三角恒等变换可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选③，利用已知等式结合两角和的正切公式、诱导公式可得出的值，结合的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得长的最小值.【小问1详解】解：若选①，因为，即，则，即，所以，，因为，故；若选②，原式等价于，即，即，因为、，则，所以，，则，故；若选③，原式等价于，即所以，，即，即，因为，故.【小问2详解】解：因为，所以，，因为为的中点，则，所以，，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，长的最小值为.19. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．（1）设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：事件概率概率值       （2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．【答案】（1）表格见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据三个年级的人数比值，以及每层抽取的比例，即可填写表格，再根据全概率公式，即可求解；（2）根据条件概率公式，即可求解.【小问1详解】根据三个年级的人数比值为，则，，，由每个年级的抽取比例可知，，,由全概率公式，得，事件概率概率值【小问2详解】该学生来自于高一年级的概率.20. 如图，是正三角形，四边形是矩形，平面平面，平面，点为中点，，．（1）设直线为平面与平面的交线，求证：；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得.（2）根据三棱锥的体积求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】四边形是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，而平面平面，∴；【小问2详解】连接，∵平面平面且交线为，平面，∴平面而平面，平面∴平面∴∴，．设中点为，易得，，两两垂直，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量为，则即，取，则，，则．取平面的法向量为．∵∴平面与平面夹角的余弦值是．  21. 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）（）；    （2）是，定点为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式列式化简作答.（2）设出点的坐标，由已知探求出点的坐标关系，再按直线斜率存在与否分类讨论求解作答.【小问1详解】设动点，则直线、的斜率分别为，于是，整理得，显然点不在轨迹上，所以的方程为（）.【小问2详解】设直线上的点，显然，   依题意，直线的斜率满足，且，直线斜率，则，有，设，，则（且），当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，消去y得，则，，又，即，则，整理得，解得或，此时方程中的，当时，直线：恒过点，当时，直线：，由于舍去，当直线时，则有，即有，而，解得，直线：过点，所以直线恒过点．22. 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．
  已知函数，．（1）当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）首先求处的切线方程，求得，再求处的切线方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化简不等式，，再构造函数，并求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性，转化为求函数的最值，并结合最值的单调性，即可求解.【小问1详解】当时，，则，曲线在处的切线为，且曲线在处的切线为，且故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为．【小问2详解】由，得，设，则∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意；当时，则有，，单调递减，，，单调递增，即，即易知单调递增，且，故.