南山区南实集团麒麟中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（含解析）

这是一份南山区南实集团麒麟中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

南实集团麒麟中学2023-2024学年度第一学期开学质量监测
九年级数学学科试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 2 B. C. 0或2 D. 或2
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列不等式一定成立的是（　　）
A 4a＞3a B. ﹣b＞﹣2b C. 3﹣x＜4﹣x D. ＞
4. 下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. 2+2x+2x2=18 B. 2(1+x)2=18 C. (1+x)2=18 D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=18
6. 如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（ ）

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
8. 下列四个命题是真命题个数是（ ）
①等腰三角形两腰上的高相等；②等腰三角形的高、中线、角的平分线是同一条线段；③一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形；④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）

A. B. 5 C. 3 D. 4
10. 如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方做等边三角形，连接，则的最小值是（ ）

A. B. 1 C. D. 2
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：ab2+4ab+4a=______．
12. 若关于x分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为__．
13. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于________.

14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为________．
15. 如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

三.解答题（共12小题）
16. 解方程：
（1）
（2）
17. 解不等式组：并在数轴上表示出它的解集.

18. 先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．

（1）画出关于原点成中心对称的
（2）画出向右平移5个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的．
（3）在x轴上有长度为1的线段（点P在点Q的左侧），是否存在一点P，使得的长最小?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20. （1）对于试题“如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路：
延长到，使得，连接，……，利用三角形全等判定及性质解答，……
请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

21. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．
（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋进价各是多少元？
（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
22. 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿的方向以的速度运动，当点D不与点A重合时，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接，设点D的运动时间为．

（1）求证：是等边三角形.
（2）如图2，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.












南实集团麒麟中学2023-2024学年度第一学期开学质量监测
九年级数学学科试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 2 B. C. 0或2 D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0，分子等于0，且分母不等于0，求解即可．
【详解】解：由题意，得
，且，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐项分析即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
3. 下列不等式一定成立的是（　　）
A. 4a＞3a B. ﹣b＞﹣2b C. 3﹣x＜4﹣x D. ＞
【答案】C
【解析】
【分析】A.根据不等式的性质，不等式两边都减去一个式子3a，得a＞0，判断即可；
B.根据不等式性质，不等式两边都加上一个式子2b，得b＞0，判断即可；
C. 根据不等式的性质，不等式两边都加上x，得3＜4，判断即可；
D.不等式两边都减去，得，判断即可．
【详解】A.不等式两边都减去3a，得a＞0，所以当a≥0时不等式不成立，故本选项错误；
B.不等式两边都加上2b，得b＞0，所以当b≤0时不等式不成立，故本选项错误；
C.不等式两边都加上x，得3＞4，恒成立，故本选项正确；
D.不等式两边都减去，得，所以当c＜0时不等式不成立，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解本题的关键是掌握不等式的性质，要特别注意的给不等式两边同时乘以或除以字母时，要判断要乘以或除以的字母与0的关系．
4. 下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用十字相乘法或因式分解法把各选项进行因式分解即可．
【详解】解：A．，原分解错误；
B．，分解后的结果不是积的形式，是和的形式，原分解错误；
C．，原分解分解错误；
D．，分解正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查是因式分解，熟知因式分解的十字相乘法和提取公因式法是解题的关键．
5. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. 2+2x+2x2=18 B. 2(1+x)2=18 C. (1+x)2=18 D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=18
【答案】D
【解析】
【分析】设增长率记作x，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率记作x，则第二天的票房为，第三天的票房为，
由题意得：，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二天和第三天的票房．
6. 如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点B作交于点F，

∵，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴°，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
7. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（ ）

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长，
∵，
∴的周长为2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8. 下列四个命题是真命题个数是（ ）
①等腰三角形两腰上的高相等；②等腰三角形的高、中线、角的平分线是同一条线段；③一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形；④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质、平行四边形性质以及“”判定三角形全等进行逐项分析即可．
【详解】解：①等腰三角形两腰是相等的，顶角是相等的，还有一个直角是相等的，运用“”来判定三角形全等，所以等腰三角形两腰上的高相等是正确的；
②等腰三角形的高、中线、角的平分线是同一条线段是错误的，因为只有等腰三角形的底边上的高、中线、角的平分线是同一条线段；
③一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形是正确的；
④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等满足“”判定三角形全等，所以④是正确的；
真命题是①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质、平行四边形性质以及“”判定三角形全等的知识内容，难度中等．
9. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）

A. B. 5 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形的性质得出BD＝AC，求得线段AC的长即可得出BD的长．
【详解】解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），
∴AC＝＝5，
∴BD＝AC＝5，
故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、两点间的距离，能够求得对角线AC的长是解答本题的关键．
10. 如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方做等边三角形，连接，则的最小值是（ ）

A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小．
【详解】解：如图在的下方作等边，作射线．

∴，，
∵等边三角形
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值），
当时，的值最小，而D为的中点，
最小值，
故选：D．
【点睛】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：ab2+4ab+4a=______．
【答案】a(b+2)2
【解析】
【分析】先提取公因式，在应用公式法解题即可．
【详解】原式=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识点，熟练掌握因式分解的步骤是关键．
12. 若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为__．
【答案】m＞-10且m≠-6
【解析】
【分析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到的取值范围．
【详解】解：＝+5，
3x＝-m+5（x-2），
3x＝-m+5x-10，
3x-5x＝-m-10，
-2x＝-m-10，
x＝，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
∴m≠-6．
∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴m＞-10．
∴m的取值范围为：m＞-10且m≠-6．
故答案为：m＞-10且m≠-6．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．
13. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于________.

【答案】##40度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程的解以及根与系数的关系可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
15. 如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】过D点分别作于点G，交的延长线于点F，证明四边形为矩形，可得，，再利用证明可求得，，再利用勾股定理可求解的长．
【详解】解：过D点分别作于点G，交的延长线于点F，

∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等的直角三角形是解题的关键．
三.解答题（共12小题）
16. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）用因式分解的方法作答即可；
（2）先确定最简公分母，再去分母，然后求解即可．
【小问1详解】
解：因为，
所以，
即或，
所以，；
【小问2详解】
解：因为，
所以，
则，
那么，
经检验：是原分式方程的解，
所以原分式方程的解是．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，注意解分式方程要验根．
17. 解不等式组：并在数轴上表示出它的解集.

【答案】见详解
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式组步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
由不等式①得，
解不等式①得：；
由不等式②得，
解不等式②得：；
∴原不等式组的解集为，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
18. 先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】；a=0时，原式=1．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则化简，a取一个满足条件的值，代入计算即可．
【详解】
＝
=
=，
当a＝0时，原式＝1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．

（1）画出关于原点成中心对称的
（2）画出向右平移5个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的．
（3）在x轴上有长度为1线段（点P在点Q的左侧），是否存在一点P，使得的长最小?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的定义进行作图即可；
（2）根据平移性质，按要求作出的平移图形，根据旋转性质，再按要求作出绕点逆时针旋转得到的图形即可；
（3）过作关于轴的对称点，连接交轴于一点，连接交轴于一点P，即可得到的长最小．
【小问1详解】
解：关于原点成中心对称的如下图所示：
【小问2详解】
解：向右平移5个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的如下图所示：
【小问3详解】
解：存在，，
因为x轴上有长度为1的线段（点P在点Q的左侧），
所以在取一点记为，则，
点过作关于轴的对称点，连接交轴于一点P，，连接，
如图所示：

设，则
因为，
所以
因为，
设的解析式为，
把，代入，
得
解得
解得，
当时，，即，
因为，且，
所以是平行四边形，
则，
那么有最小值，
且为．
【点睛】本题主要考查了中心对称、旋转作图以及平移作图等知识内容，综合性较强，要求学生有较强的作图能力，难度中等．
20. （1）对于试题“如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路：
延长到，使得，连接，……，利用三角形全等的判定及性质解答，……
请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1），理由见解析（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）延长到，使得，连接，证明△ADF≌△ABM，得到AF=AM，再证明△EAM≌△EAF，推出，即可得到结论；
（2）仍然成立，延长到，使得，连接，证明△ADF≌△ABM，得到AF=AM，再证明△EAM≌△EAF，推出，即可得到结论．
【详解】解：（1），
理由如下：如图①，延长到，使得，
连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；

（2）仍然成立，理由如下：如图②，延长到，使得，连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
21. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．
（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
【答案】（1）蛋黄粽子每袋进价50元，红豆粽子每袋进价20元
（2）52元
【解析】
【分析】（1）设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，
根据题意得：，
解得：．
答：蛋黄粽子的进价是50元袋，红豆粽子的进价是20元袋；
【小问2详解】
设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
解得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22. 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿的方向以的速度运动，当点D不与点A重合时，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接，设点D的运动时间为．

（1）求证：是等边三角形.
（2）如图2，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见详解 （2）存在，
（3）存在，当或9时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到，，即可得到结论；
（2）当时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论；
（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当时，由旋转的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，求得，于是得到；③当时，，不存在直角三角形．④当时，由旋转的性质得到，求得，于是得到．
【小问1详解】
证明：∵绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：存在，当时，
由旋转的性质得，，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，当时，的周长最小，
此时，，
∴的最小周长；
【小问3详解】
解：存在，
①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当时，由旋转可知，，，
∴，
由（1）可知，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
因为，
不存直角三角形．
④如图，

当时，由旋转的性质可知，，
又由（1）知，
∴，
而，
∴，
∴只能，
从而，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当或9时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．