初中数学人教版七年级上册4.3.1 角优秀同步练习题

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专题4.3 角

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1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
（2）角的大小可以度量，可以比较
（3）角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
考点精讲

考点1：钟面上的角度计算
典例：钟表上的时针、分针和秒针都在绕钟表中心做旋转运动.
   ⑴钟表从2点现在，经过20分钟后，分针和时针分别旋转了多少度？
   ⑵当时间到3：20时，钟表上时针和分针的夹角是多少度？
（1）∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，需要的时间为60分钟，时针转动60分钟转过的角度为30°，
∴时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360°÷60=6°，
时针旋转一分钟时的度数为：30°÷60=0.5°，
∴分针经过20分钟旋转了6°×20=120°，
时针经过20分钟旋转了0.5°×20=10°；
（2）当时间到3：20分时,钟表上时针和分针的夹角是
（6-0.5）×20-30×3=110-90=20度.
方法或规律点拨
本题考查了钟面角，熟练掌握分针与时针每分钟转过的角度是解题的关键.
巩固练习
1．已知在某个时刻，时钟的时针与分针成一直角，则这时可能是（　　）
A．3：30 B．6：15 C．9：00 D．12：45
【答案】C
解：由钟面角的定义可知，钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为360°×＝30°，当时间为9：00时，时针指向数字9，分针指向数字12，这时分针与时针的夹角为30°×（12﹣9）＝90°，其余选项均不符合题意，故选：C．

2．时钟7：30的分针与时针夹角度数是（   ）
A．55度 B．45度 C．35度 D．60度
【答案】B
3．小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所成角的度数是（    ）

A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°
【答案】C
解：6点15分时，时针和分钟相距的份数是3+=，∴6点15分时时钟的分针与时针所成角的度数是×30°=97.5°，故选：C．
4.钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
5．时间为7点30分时，时针和分针形成的小于的角为___________°
【答案】
6.（12小时的时钟）时钟是7点20分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角（小于平角）是_____°．
【答案】100
解：钟表上7点20分，时针指向7和8之间，分针指向4，每相邻两个数字之间的夹角为，
则．故答案为：100．
7.万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是_________°．
【答案】50
解：由题意得：，故选：50．
8.钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
【答案】     20     240     20
【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于 度/分钟，时针转动的速度等于 度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了 度，分针转了 度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是 度．
故答案为：20；240；20
9.央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是__________度．
【答案】45
10.北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______．
【答案】130°
解：由题意得：5×30°-40×0.5°=150°-20°=130°，
∴在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：130°，故答案为：130°．
11.某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过_________分钟．
【答案】.
解：钟表上一周是360度，有12个大格，∴每个大格的度数为：360÷12=30度，一个大格有5个小格，
∴每个小格的度数为：30÷5=6度，一小时是60分钟，每过一分钟时针转过的角度为：30÷60=0.5度，分针每分钟走6度，设再过x分钟，分针与时针第一次重合，根据题意得：，
解得：，故答案为：．
12.（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？
（1）2点15分时分针指向数字3，而时针从数字2开始转动的角度为15×0.5°＝7.5°，
所以钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数为30°﹣7.5°＝22.5°；
（2）分针转过的角度为25×6°＝150°．
13.时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；
（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，∴时针与分针转过的角度差是，
∴，解得：，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，
故列得方程：，
解得：，解得：，
答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．
14.日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.

（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；
（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
解：（1）30°×4=120°；
（2）分针转过4×30°=120°，时针转过：×30°=10°；故答案为（1）120°；（2）120°，10°；
（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了则（12-1）××30°=8×30°，解得x=≈44，
∴小明从离开家到回到家的时间为44分钟.
考点2：方位角及其应用
典例：如图，结论正确的是（    ）

①射线的方向是北偏西50°；②射线的方向是东南方向；
③射线的方向是北偏东15°；④和∠AOB互为补角；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
方法或规律点拨
此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角．
巩固练习
1．如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（    ）

A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°
【答案】C
2．如图，货船与港口相距海里，我们用有序数对南偏西，海里来描述货船相对港口的位置，那么港口相对货船的位置可描述为（　　　）

A．南偏西，海里 B．北偏西，海里
C．北偏东，海里 D．北偏东，海里
【答案】D
3．如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（　　）

A．北偏东 B．北偏东
C．北偏东 D．北偏东
【答案】C



4．如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则射线OA的方向是（   ）

A．西偏北50° B．东偏北40° C．北偏东40° D．北偏西40°
【答案】C
5．小丽家在小华家的南偏西30°的方向上，那么小华家在小丽家的什么方向上？（    ）
A．南偏西60° B．北偏东60° C．北偏东30° D．南偏西30°
【答案】C
6．如图所示，下列说法中错误的是（    ）

A．射线的方向是北偏东40° B．射线的方向是北偏西15°
C．射线的方向是南偏西30° D．射线的方向是东南方向
【答案】A
7．如图,射线OA表示北偏东30°方向,射线OB表示北偏西50°方向,则∠AOB的度数是（    ）

A．60° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
8．如图射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内，则射线OB的方向是（    ）

A．北偏东40° B．北偏西40°或东偏南80°
C．南偏东80° D．北偏西40°或南偏东80°
【答案】D
9．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的_______方向．

【答案】北偏东40°或东偏北50°
10．下面是学校到少年宫的行走路线图

(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．
(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？
（1）解：学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再由电视台向北到书店，再由书店向东偏北25°的方向到学校；
（2）解：先求小明公园到学校，一共走的路程：450+260+310=1020（米），
需要的时间：1020÷60=17（分钟）；
答：从公园走到学校要走17分钟．
考点3：角的运算
典例：计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2．
（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′=116°10′-21°17′=94°53′．
（3）解：42°16′+18°23′×2=42°16′+36°46′=79°2′．
方法或规律点拨
本题考查度分秒的计算，，，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．
巩固练习
1．把化为用度表示，下列正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．下列换算中，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．用度表示__________．
【答案】
4．计算：108°42'36″＝______°．
【答案】108.71
5．角度换算：＝___°．
【答案】26.8
6．=____度____分____秒；=______度．
【答案】     55     39     36     43.54
7． ____°____′____″；____°．
【答案】     30     7     12     100.21
8．把30.6°化成度分为___________．
【答案】
9．计算________．
【答案】
10．________°．
【答案】
11．如图，在灯塔O处观测到轮船M位于北偏西的方向，同时轮船N在北偏东16.12°的方向，那么∠MON的大小为________．

【答案】70°19′48″或70.33°
12．计算：______．（结果用度表示）
【答案】110.5°
13．若，，则________（用“＞”“=”“＜”填空）．
【答案】＜


14．计算题．
(1) (2)
（1）解：原式；
（2）原式．
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：将一副三角板放在一起．

(1)如图1，已知，求的度数；
(2)如图2，已知，求的度数；
(3)如图3，已知，求的度数．
（1）解：∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∠1=13°，
∴∠2=90°-∠1-∠DCE=32°；
（2）解：设∠2=x°，则∠1=2x°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，
∴∠1+60°+∠2=90°．
即：2x+60°+x=90°．解得：x=10°．
∴∠2=10°．
（3）解：设∠2=x°，则∠1=2x°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，
∴∠DCB=90°-∠1=60°-∠2．
∴90°-2x=60°-x．解得：x=30°．
∴∠2=30°．
方法或规律点拨
本题主要考查了角的计算，利用角的和差列出算式是解题的关键．
巩固练习
1．用一副三角板不能拼画出的角度是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B

2．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠ACD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
3．如图，将一副三角板与的直角顶点O重合在一起，若，为的平分线，则的度数为（    ）

A．72° B．73° C．75° D．76°
【答案】A
4．如图所示是我们常用的一副直角三角板．用一副三角板不能拼出的角度是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
5．用一副三角板拼成如图所示的图形，其中A、B、C三点在同一条直线上．则图中∠DBE的大小为（    ）

A．75° B．90° C．105° D．135°
【答案】C
6．如图，将两个三角尺的直角与顶点O重合在一起，若，OE为的平分线，则的度数为（    ）

A．36 B．45 C．60 D．72
【答案】D
7．一副三角板摆放在一起的示意图如下，若，则∠2的度数是______．

【答案】35°##35度
8．如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：①；②；③；④．
其中不正确的是_________．（写出序号）

【答案】①③④
9．两块三角板按如图所示方式放置，则∠ACD＝__________，∠DBA＝__________．

【答案】    105°     75°
10．如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分．

(1)当时，求的度数；
(2)若，求的度数．
（1）解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴；
（2）设，∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，解得，
∴．
11．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．

(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．
（1）解：猜想CB是∠ECD的角平分线，理由如下：
∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，∴∠ECB=∠DCB，
∴CB是∠ECD的角平分线；
（2）猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
12．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．

(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；
(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20(2)∠BOD=50°；∠COE=70°(3)∠COE﹣∠BOD=20°，理由见解析

（1）解：如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°,
∴∠COE=∠EOD-∠COD=70°；
（3）∠COE-∠BOD=20°
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
13．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．

(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______；
(2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，
①若恰好平分，则______；
②若在内部，请直接写出与的数量关系为______；
(3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数．
（1）解：，，
，，故答案为：．
（2）解：①，，
恰好平分，，
又，，故答案为：；
②在内部，，
，，即，
，即，故答案为：．
（3）解：①如图，当在的内部时，

，
∵，∴，
又∵，∴，解得；
②如图，当在的外部时，

∴，
∵，∴，
又∵，∴，解得；
综上，的度数为或．
14．在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持．

(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____；
(2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分；
(3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数．
(1)解：点在同一直线上，，
，故答案为：；
(2)如图3，
，
∵，，∴，
∵，，∴，∴平分；
(3)如图4，
，
设，则，
∵，∴，
∵，∴，解得，
∴．
















15．【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．

【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB

（2）有，理由如下：射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因为∠COD=90°，所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°∠BOC=∠BOD=45°
所以射线OB平分∠COD
又因为∠BOD=45°=∠AOB所以射线OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
则∠AOB=2∠BOC所以OC是∠AOB的“优线”．
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：

(1)∠EOC的大小；
(2)∠AOC的大小．
（1）解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；
（2）解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，
∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．
∵OE为∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．
方法或规律点拨
本题考查角平分线的定义，数形结合正确计算是本题的解题关键．
巩固练习
1．如图，已知，平分，且，则的度数为（　　）

A．126° B．108° C．112° D．106°
【答案】B

2．已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠MON=（   ）
A．50° B．20° C．20°或50° D．不能确定
【答案】C

3．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（     ）

A．= B．＜ C．＞ D．无法确定
【答案】C
∵OC平分∠AOB，，∴，
∵OC1平分∠AOC，∴，
∵OC2平分，∴，
依次类推可知：，∴可知，
∴，∴，
∵根据题意可知，∴，
即有：，故选：C．
4．如图，已知，平分，且，求的度数．

解：设，则，
∵平分，∴，
又∵，∴，解得，，
∴．
5．如图，OB是的平分线，OD是的平分线，，．求的度数．

∵OB是的平分线，，
∴，
∴．
又∵OD是的平分线，
∴，
又∵，
∴．
6．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．

解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
7．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．

(1)如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？
(2)如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？
（1）解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD=∠DOE=35°，∠COB=∠BOA=50°．∴∠BOD=∠COD+∠COB=85°．
（2）解：∵OD是∠COE的平分线，∴∠COE=2∠COD=2×25°=50°，
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=160°-50°=110°，
又∵OB是∠AOC的平分线，∴∠AOB=∠AOC＝×110°＝55°．
8．如图，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度数．

解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴，∠BOC=2∠BOF，
∵，
∴，．
即∠BOC和∠AOC的度数分别为，．
9.如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．

(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
（1）解：根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°，即∠MON的度数为50°；
（2）解：根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α．







10．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．

(1)如果，那么∠COE是多少度？
(2)在（1）的条件下，如果，那么∠BOE是多少度？
（1）解：是的平分线，是的平分线，
，
，．
（2）解：，，，
是的平分线，．
11．如图，点O是直线上的一点，是直角，平分．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数．
（1）解：，．
平分，．
，．
（2）解：，．
平分，．
，．．
．
．


12．如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．

(1)当时，求的度数；
(2)若．
①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；
②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．
（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为，
∵，∴此时与重合，
射线运动的度数为，即，
∴当时，．
（2）①若时，分下面三种情形讨论：
（i）如图1，

当时，，∴，符合．
（ii）如图2，

当时，，∴，符合．
（iii）如图3，

当时，，∴，不在范围内，舍去．
综上所得或．
②如图4，

∵，∴，，
∴最大度数为，最大度数为．
∵，∴当时，，
∴，即，∴运动至外部．
此时，，，
∴，
∵平分，∴，∴，
又，
∴．






13．如图，，，，分别是，的平分线．

(1)如图1，当在左侧，且时，的度数是_________；
(2)当的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究的大小与的数量关系；
(3)当的度数为时，请直接写出的度数．
（1）解：由题意得，，，
∵，分别是，
∴，，
∴，即的度数是；
（2）解：分三种情况讨论，当OC在OB左侧时，如下图所示：

；
当OC在内部时，如下图所示：

；
当OC在OA下方时，如下图所示：

；
综上可知，或或．
（3）解：由（2）可知，时，
，或，或解得，或，或（舍去），
即的度数为或．
14．多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．

(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
（1）解： 是的平分线，，，
，，
是的平分线，，
；
（2），，
是的平分线，是的平分线，
，
故答案为：
（3）是的平分线，是的平分线，
，由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，

，，；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，

，，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，

，，；
综上，的度数为或．













15．【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．

(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：

∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，∴t=3．
综上所述：t=或或3．
16．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）

(1)当t＝　 　秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
（1）解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；

（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：∴4t+60+5t=90，∴t=；

②如图所示：此时 4t+5t-60=90，∴t=∵OQ停止运动时间t=，∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；

（3）解：存在；①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，解得：；

②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，解得：；综合上述，或；












考点6：与余角（补角）有关的证明与计算
典例：如图（甲），和都是直角．

(1)如果，那么的度数为______度．若越来越小，则如何变化？
(2)找出图（甲）中相等的角．如果，他们还会相等吗？
(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．
（1）解：∵∠BOD= 90°，∠DOC= 32°，
∴∠BOC =∠BOD- ∠COD = 90°-32°= 58°，
∵∠AOC= 90°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC= 90°+58°= 148°；故答案为：148；
∵∠AOC=∠BOD= 90°，
∴∠AOB=∠ AOC+∠BOD-∠COD= 180°- ∠DOC，
∴∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
（2）解：图(甲)中相等的角有∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC；
无论∠DOC是否等于32°，∠AOC=∠BOD= 90°，
∵∠AOD+∠COD=∠BOC+∠COD= 90°，∴∠AOD=∠BOC；
（3）解：过点O在OE的同侧作∠EOM =∠FON = 90°，则∠FOE=∠MON；如图所示：

方法或规律点拨
本题考查余角与补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角和补角的意义是解答本题的关键．
巩固练习
1．如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
2．下列说法正确的是（  ）
A．∠A是余角 B．∠A和∠B是补角
C．∠A的余角是∠B D．如果∠A和∠B互补，则∠A和∠B能拼成直角
3．已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是（    ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【答案】D
4．在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
解：设是度，根据题意，得

①两个角相等时，如图1：，，解得，故，
②两个角互补时，如图2：，∴，故的度数为：或．
故选：C．
5．若的补角与的余角相等，则等于（    ）
A．90° B．60° C．180° D．270°
【答案】A
6．∠A的补角是125°，则它的余角是（    ）
A．54° B．35° C．25° D．以上均不对
【答案】B
7．将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°

【答案】75
8．若一个角的余角为65°．则这个角的补角为___________．
【答案】155°
9．已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________
【答案】
10．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是______．
【答案】
11．已知∠α是钝角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系式为________
【答案】

12．如图，直线AB，CD相交于点O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90º，则∠AOD＝____．

【答案】135°
13．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．

解：∵点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，
∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，
∴∠EOF的度数为：90°＋45°＝135°．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，．

(1)若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由．
(2)若，求∠BOC的度数．
（1）ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°，∴ON⊥CD；
（2）∵∠1∠BOC，∠BOC＝∠1+∠BOM，∴∠BOM∠BOC，
∵OM⊥AB，∴∠BOM＝90°，∴∠BOC＝135°．

15．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°

(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：
(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
（1）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠BCF＝40°．
（2）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，
∵CB是∠ACF的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，
∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，∴∠ADB＝2∠ABD，
∴k=2．
16．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t”连接）．
【答案】
9.用一副三角板按如图方式放置，恰好与重合，则的大小为____________°

【答案】75
10.若的度数为，且与互余，则的度数为____．
【答案】
11.如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）

【答案】
解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：．
三、解答题
13．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．

（2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？
（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
（1）巴黎时间：12到1夹角为360°的，是30°
伦敦时间：夹角为0°
北京时间：4个30°，故为120°
东京时间：3个30°，故为90°
（2）时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6°
（3）此时分针走过了360°的，所以时针移动的角度占30°的，是5°，所以剩余25°，
故夹角为：25°+30°+30°+30°=115°
（4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？
解：此时分针走过了360°的，时针移动的角度占30°的，是10°，20°+30°+30°+30+30°+30°+30°=200°
故夹角为：360°-200°=160°.
14．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．

(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
（1）解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°−90°＝60°，∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）解：不变化．∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
15．已知，，OM，ON分别是和的平分线．

(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在的内部，求的度数；
(2)如图2，固定，将图1中的绕点O顺时针旋转（）．
①与旋转度数有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，为直角？
(3)如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转（），如图3，请直接写出与旋转度数之间的数量关系：_____．
（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，
（2）①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，
②当∠MON＝90°时，n°＋25°＝90°，∴n＝65，
（3）如图3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．
故答案是：∠MON＝m°＋25°．