苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用精练

5.3.2 极大值与极小值

分层作业

A层 基础达标练

1. 下列函数中存在极值的是(  )

A.  B.  C.  D.

2. 已知当时,函数有极小值,则(  )

A.  B.  C. 4 D. 2

3. 函数在取得极值7,则(  )

A. 或3 B. 3或 C. 3 D.

4. （多选题）已知函数有极大值和极小值,则实数的值可以是(  )

A.  B.  C. 6 D. 8

5. 已知函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围是.

6. 已知关于的函数,如果函数在处取得极值,那么,.

7. 设函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.

（1） 求的值；

（2） 求函数的极值.

B层 能力提升练

8. [2023扬州期末]已知是函数的极小值点，则的极小值为(  )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

9. 已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的(  )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是(  )

A.  B.  C.  D.

11. 若函数在处取得极大值,则的值为(  )

A. 3 B. 2 C. 3或2 D. 或

12. 已知函数的图象如图所示,且在与处取得极值,则的值一定(  )

A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0

13. （多选题）已知函数的定义域为，则(  )

A. 为奇函数 B. 在 上单调递增

C. 有且仅有4个极值点 D. 恰有4个极大值点

14. （多选题）设,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实数根的是(  )

A. , B. , C. , D. ,

15. 若函数在区间上恰有一个极值,则实数的取值范围为.

16. 已知函数,当时,有极大值.写出符合上述要求的一个的值.

17. 设为实数,函数.

（1） 求的极值；

（2） 若曲线与轴仅有一个交点,求的取值范围.

C层 拓展探究练

18. （多选题）已知函数有两个极值点，，则(  )

A. 的取值范围为 B.

C.  D.

19. 已知函数且是函数的极值点.

（1） 求实数的值；

（2） 若函数仅有一个零点,求实数的取值范围.

5.3.2 极大值与极小值

分层作业

A层 基础达标练

1. B

2. D

3. C

4. AD

5. （,）（2,）

6. ; 3

7. （1） 解 .

由题意,知曲线在处的切线斜率为0,即,从而,解得.

（2） 由（1）知，,.令,得,（舍去）.

当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增.故在处取得极小值,极小值为,无极大值.

B层 能力提升练

8. A

9. C

[解析]，若，则,当,时，，，单调递减；当,时，，，单调递增.故是的一个极小值点.若是的一个极小值点，则，解得，经检验，当时，是的一个极小值点，故“”是“是的一个极小值点”的充要条件.故选.

10. C

11. A

[解析]

由题意，得,整理得,解得或.

当时,

令,得或；

令,得.

此时,函数在处取得极小值,不符合题意.

当时,.

令,得或；

令,得.

此时,函数在处取得极大值,符合题意.

综上,.故选.

12. B

13. BC

[解析]因为的定义域为，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.又，当时，，则在上单调递增，显然令，得.如图，分别作出，在区间上的图象.由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.故选.

14. BCD

[解析]设,那么.

当时,,单调递增,必有一实数根,项满足题意;

当时,由于选项中只有,故只考虑即可,此时,

故,时,单调递增；时,单调递减.

故的极大值为,的极小值为.

若方程只有一个实数根,则需满足或,解得或,,项满足.故选.

15. ,5）

[解析],函数在区间上恰有一个极值,即在上恰有一个根.又函数的对称轴为直线,所以应满足

所以所以.

16. 4（答案不唯一）

[解析]因为,所以

因为当时,有极大值,所以有两个根,其中一个根为3,设另一个根为,且,

所以所以.

17. （1） 解 .

令,得或.

当变化时,,的变化情况如表所示.

所以的极大值是,极小值是.

（2） 函数,由此可知,当取足够大的正数时,有，当取足够小的负数时,有,所以曲线与轴至少有一个交点.

由（1）知,.

因为曲线与轴仅有一个交点,所以或,即或,所以或,所以当 ,时,曲线与轴仅有一个交点.

C层 拓展探究练

18. BCD

[解析]且定义域为，则.当时，，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，故错误；当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，则.当时，，所以至多有一个零点，当时，，而，当趋近于0时，趋于负无穷大，当趋近于正无穷时，趋于负无穷大.综上，，在,内各有一个零点，且，因为且趋近于0时，趋于负无穷大，所以，故.令,，.又,，所以,单调递减，故当时，.又，所以，而，因此，故正确；.令，显然有，令,，显然，因此有.

设，则，当时，,单调递减，当时，,单调递增.因为，所以.令，则.因为，所以,所以单调递增.因为，所以，而，所以.因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，故正确；由，得，所以，故正确.故选.

19. （1） 解 当时,,

所以.

由已知,得,

所以,解得.

（2） 由（1）知,当时,,.

令,得或（舍去）,

所以当时,,单调递减,.

当时,,单调递增,.

而当时,单调递增,.

因为函数仅有一个零点,即函数的图象与直线仅有一个交点,所以或,即实数的取值范围为.