高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用课后测评

5.3.3 最大值与最小值

分层作业

A层 基础达标练

1. 函数,的最大值是(  )

A.  B.  C.  D.

2. 函数在区间上的最大值和最小值分别是(  )

A. 1, B. 1, C. 3, D. 9,

3. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为元,销量为件,则销量（单位:件）与零售价（单位:元）有如下关系:，则最大毛利润为（毛利润销售收入-进货支出）(  )

A. 30元 B. 60元 C. 28 000元 D. 23 000元

4. 函数在区间上的值域为.

5. 已知在区间上的最大值就是函数的极大值,则的取值范围是.

6. 求下列函数的最值:

（1） ,；

（2） ,.

7. 如图,某段铁路长为80千米,,且千米,为将货物从地运往地,现在上距点为千米的点处修一公路至点.已知铁路运费为每千米2元,公路运费为每千米4元.

（1） 将总运费表示为的函数.

（2） 如何选点才能使总运费最少?

B层 能力提升练

8. 已知函数,若对于区间上的任意,,都有,则实数的最小值是(  )

A. 20 B. 18 C. 3 D. 0

9. 函数与的最小值分别为,,则(  )

A.  B.

C.  D. , 的大小不能确定

10. 当时，函数取得最大值，则(  )

A.  B.  C.  D. 1

11. 已知函数若关于的方程恰有两个不相等的实数根,，则的最小值为(  )

A.  B.  C.  D.

12. （多选题）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(  )

A. 函数 在 上单调递减 B.

C. 函数 在 处取得极小值 D. 函数 存在最小值

13. 若是直线上的一点，是曲线上的一点，则的最小值为.

14. 如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时,其容积最大.

15. 已知函数的导数的最大值为5,则函数在点处的切线方程是.

16. 已知函数,,,且曲线在处与直线相切.

（1） 求,的值；

（2） 求在上的最大值.

C层 拓展探究练

17. （多选题）下列说法正确的是(  )

A. 的最小值为1 B. 的最小值为1

C. 的最小值为1 D. 的最小值为1

18. 已知函数.

（1） 若,求函数的极值；

（2） 当时,,求的取值范围.

5.3.3 最大值与最小值

分层作业

A层 基础达标练

1. C

2. C

3. D

4. ,

5. （,）

6. （1） 解.令,即,且,,所以.

又因为,,,所以当时,函数的最大值为,最小值为.

（2） ,.令,化简为,解得（舍去）,.当时,,单调递增；当时,,单调递减,所以为函数的极大值.又,,,所以为函数在上的最小值,为函数在上的最大值.

7. （1） 解依题意,铁路上的运费为元,公路上的运费为元,则由地到地的总运费.

（2） .令,得或（舍去）.当时,；当时,.故当时,取得最小值,即当在距离点为千米的点处修一公路至点时，总运费最少.

B层 能力提升练

8. A

9. A

[解析]的定义域是,.令,得,令,得,则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值是,故.

,定义域为,.令,则,，则在上单调递增,且,,故存在使得,即,即,当时,,,单调递减；当时,,单调递增,故当时,函数取得最小值,即,所以.故选.

10. B

11. D

[解析]函数的图象如图所示.

已知关于的方程恰有两个不相等的实数根,，所以，则，.设函数，则.当时,,单调递减；当时,,单调递增.故的最小值为.故选.

12. ACD

[解析]在上恒成立，则在上单调递减，故正确；在上恒成立，则在上单调递增，则，故错误；在上，，在上，,则函数在处取得极小值，故正确;由导函数图象可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故正确.故选.

13.

[解析]因为是曲线上的一点，故设,，所以点到直线的距离为.令，则.当,,单调递增；当,,单调递减，所以，所以，所以的最小值为.

14.

[解析]如图,设被切去的全等四边形的一边长为,则正六棱柱的底面边长为,高为,所以正六棱柱的体积,则.令,得（舍去）或.当,时,;当,时,.

故当时,有极大值,也是最大值,此时正六棱柱的底面边长为.

15.

[解析]因为,所以.

因为,所以，

所以,,.

又,

所以所求切线方程为,即.

16. （1） 解.

由曲线在处与直线相切,得即解得

（2） 由（1）,得,定义域为.

令,得；令,得.

所以在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值为.

C层 拓展探究练

17. AC

[解析]对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故正确；对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故错误；对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故正确；对于，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，故错误.故选.

18. （1） 解当时,,,显然在上单调递增,注意到,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,无极大值.

（2） 因为,,,所以,显然在上单调递增,且,,所以存在唯一的,使,即,可得,且当时,,单调递减;

当时,,单调递增,所以,解得或,所以,,.