江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第5章导数及其应用培优课三次函数的图象与性质分层作业苏教版选择性必修第一册

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培优课 三次函数的图象与性质分层作业A层 基础达标练1. 若函数是增函数，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 2. 设函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是( )A. B. C. ， D. ，3. 在等比数列中，,是函数的极值点，则( )A. 或2 B. C. 2 D. 4. 若函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是.5. 已知函数，若过点可作函数图象的两条切线，则实数.6. 设函数.（1） 求在处的切线方程；（2） 求的极值点和极值.7. 已知函数.（1） 若函数在点处的切线方程为，求，的值；（2） 当，时，记在区间上的最大值为，最小值为，求的取值范围.B层 能力提升练8. 若函数在区间，内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是( )A. B. C. D. 9. 对于三次函数,现给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数,则( )A. B. 0 C. 1 D. 10. 设，若为函数的极大值点，则( )A. B. C. D. 11. 已知函数，其中实数，，则下列结论错误的是( )A. 必有两个极值点B. 当 有且仅有3个零点时， 的取值范围是C. 当 时，点 是曲线 的对称中心D. 当 时，过点 可以作曲线 的3条切线12. （多选题）函数，下列对函数的性质描述正确的是( )A. 函数 的图象关于点 对称B. 若 ，则函数 有极值点C. 若 ，则函数 在区间 上单调递减D. 若函数 有且只有3个零点，则 的取值范围是13. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为.14. 已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是.（填序号）①；②曲线在处的切线斜率最小；③函数在内存在极大值和极小值；④在区间内至少有一个零点.15. 已知函数.（1） 讨论的单调性.（2） 是否存在,，使得在区间的最小值为且最大值为1?若存在，求出,的所有值；若不存在，说明理由.16. 已知函数.（1） 讨论函数的单调性；（2） 若，,且，都有成立，求实数的取值范围.C层 拓展探究练17. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.18. 已知函数.（1） 若，且在内有且只有一个零点，求的值.（2） 若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3） 若，，试讨论是否存在，使得.培优课 三次函数的图象与性质分层作业A层 基础达标练1. D2. B3. C4. （,）（,3）5. 0或16. （1） 解 ，所以，，在处的切线方程为，即.（2） 令，则，解得，.当时，可得，即的单调递减区间为,；当或时，可得，即的单调递增区间为，,，所以的极大值点为，极小值点为.因为，，所以极大值是，极小值是.7. （1） 解 由题知，，，，即解得（2） 当，时，，.令，即，解得.因为，所以，所以函数在,上单调递减，在,上单调递增，所以，即.因为，，，所以，即，所以.令，则，即函数在上单调递减，所以，即，所以的取值范围是,.B层 能力提升练8. A[解析]由,得或，可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.令，得或;令，得或.作出的大致图象如图所示，由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，则解得.故的取值范围是.故选.9. B[解析]由,得,所以.由,得,解得,而,即的对称中心为,所以,则.故选.10. D[解析]若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故，所以有和两个不同零点，且在左右附近是不变号的，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，所以在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如图1所示.图1由图可知，，故.当时，由，，画出的图象如图2所示.图2由图可知，，故.故选.11. B[解析]对于，.令，得或.因为，所以令，得或，令，得，所以在,上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值,故正确；对于，要使有且仅有3个零点，只需即所以，所以的取值范围是，故错误；对于，当时，，，，所以点是曲线的对称中心，故正确；对于，，设切点为，所以在点处的切线方程为.又因为切线过点，所以，解得.令,，所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.令，得或.因为，所以令，得或，令，得，则在,上单调递增，在上单调递减，,.如图，当时，与的图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确.故选.12. AD[解析]对于，因为，所以，所以,函数的图象关于点对称，故正确；对于，,当时，，函数在定义域内为增函数，此时函数没有极值点，故错误；对于，当时，由，得,又因为当时，，所以函数在上单调递增，故错误；对于，，当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意，当时，由，得.又因为时，,时，,时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值是,极大值是因为函数有三个不同的零点，所以解得,故正确.故选.13. ，）[解析]令，易可知恒成立，且，则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意；当时，因为函数为奇函数，所以可得，解得，则.综上，实数的取值范围为.14. ②③④[解析]因为，，所以，即.因为，所以，，即，，，的符号不确定，故①错误；由，可得在处取得最小值，即在处的切线斜率最小，故②正确；由，可得与轴有两个交点，则函数在内存在极大值和极小值，故③正确；于是，，，当时，因为，，则在区间内至少有一个零点，当时，因为，，则在区间内至少有一个零点，故导函数在区间内至少有一个零点，故④正确.15. （1） 解 的定义域为，.令，解得或.①当时，，函数在上单调递增.②当时，函数在，，上单调递增，在，上单调递减.③当时，函数在 ，，上单调递增，在，上单调递减.（2） 由（1），得①当时，函数在上单调递增，则，，解得，，满足条件.②当时，函数在，上单调递减.当，即时，函数在上单调递减，则解得满足题意.当，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，则的最小值为，化简得.而，，所以的最大值为或.若解得，矛盾，舍去.若解得或，矛盾，舍去.综上，存在或满足条件.16. （1） 解 由题意，函数，可得.①当时，在上单调递减.②当时，，所以在上单调递减.③当时，令，即，解得或；令，即，解得，所以在 ,,,上单调递增，在,上单调递减.（2） 当时，函数，由（1）可知在上单调递减.不妨设，则，,所以，即，即对任意的,成立，所以在上单调递增，则，即对恒成立.令，可得.令，即，解得;令，即，解得或，所以在,上单调递增，在,上单调递减，当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数的取值范围为,.C层 拓展探究练17. （，，[解析]函数令，则.令，得，.①当，即时，令，即，解得或；令，解得，所以的单调递增区间是 ，，，单调递减区间是，.又因为，所以的单调递增区间是，，，单调递减区间是，，，满足条件，故（此种情况函数的图象如图1）.图1②当，即时，，函数的图象如图2，则的单调递增区间是，单调递减区间是，满足条件，故.图2③当，即时，令，即，解得或；令，解得，所以的单调递增区间是，，，单调递减区间是，.又因为，所以的单调递增区间是，，，单调递减区间是，，，要使在上单调递增，必须满足，即.又因为，所以（此种情况函数的图象如图3）.图3综上，实数的取值范围是.18. （1） 解 ，函数，.令，可得或.当时，，由三次函数的图象可知，，在内没有零点，所以，在内有且只有一个零点，可得，即，解得.（2） ，当时，，此时不存在三个不同的零点；当时，函数，，，有两个根，.要使有三个不同的零点，则极大值与极小值的乘积小于0，即.不妨设的三个零点为，，，且，则，，，，，得.因为，所以，同理，，得.因为，所以.又，所以，，所以，所以，即，.因为函数的极小值为，函数的极大值为.综上，存在实数满足条件.（3） 因为，所以若存在，，，使得，即，则关于的方程在，，内必有实数解.因为，所以，方程的两根为，即.因为，所以.依题意有，且，即，且，所以，且，得，且.综上，当时，存在唯一的，使得成立；当时，不存在，使得成立.