备战2024年新高考数学专题训练专题06 随机变量分布列及期望方差小题综合（新高考通用）

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专题06 随机变量分布列及期望方差（单选+多选+填空）
（新高考通用）

一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·高三浙江省义乌中学校考阶段练习）若离散型随机变量X的分布列如下，若，则=（    ）
X
-1
0
1
2
P
a
b
c


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列所有概率之和为1，且可得的值，再根据和事件概率的加法公式即可得出结果.
【详解】由题意知，；
由 ，即，
得；
由，即
整理得
联立①②③解得；
又因为
所以.
故选：D.
2．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）给出下列命题，其中不正确的命题为（    ）
①若样本数据的方差为3，则数据的方差为6；
②回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系；
③随机变量X服从正态分布，则；
④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为．
A．①③④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据方差的性质可判断①；根据变量x，y的线性回归方程的系数，判断变量x，y是负相关关系可判断②；利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断③；根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率可判断④.
【详解】对于①，若，则，故①错误；
对于②，回归方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确；
对于③，∵，∴，∴，
∴，∴，故③错误；
对于④，根据简单随机抽样概率均等可知，甲被抽到的概率为，故④错误．
故选：A．
3．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（    ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【分析】依据题意写出随机变量的的分布列，利用期望的公式即可求解.
【详解】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量的分布列







，解得，
故选：C.
4．（2022秋·广东佛山·高三顺德一中校考阶段练习）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（    ）附：若，则，
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.
故选：A.
5．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设随机变量，当正整数n很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知…）（    ）
A．100 B．101 C．102 D．103
【答案】D
【分析】结合题意记随机变量X为购买a个元件后的次品数．，记，分别计算，求解即可得出答案.
【详解】记随机变量X为购买a个元件后的次品数．
由题意，此时X可看成泊松分布．则，记，
则．
由于t很小，故大致有．
分别计算，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，
即．
故选：D.
6．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）给出下列命题，其中正确命题的个数为（    ）
①若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为6；②回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；③随机变量服从正态分布，，则；④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据方差的性质可判断①；根据变量x，y的线性回归方程的系数，判断变量x，y是负相关关系可判断②；利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断③；根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率可判断④.
【详解】对于①，若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为，故①错误；
对于②，回归方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确；
对于③，随机变量X服从正态分布，，根据正态分布的对称性，所以，故③错误；
对于④，根据简单随机抽样概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为，故④错误.
故选：A.
7．（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（    ）
A．9 B．8 C． D．6
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称轴得出，再由基本不等式得出最小值.
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
故选：B
8．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设随机变量，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】解：因为随机变量，
所以，
因为，
所以，
所以，根据正态分布的对称性，.
故选：A
9．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
【详解】因为随机变量满足，
所以，
也即，又因为是公差为的等差数列，
所以，则有，，，
所以，则，
，，
因为，所以，解得，
故选：.
10．（2021·山东·高三专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ）

A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】C
【分析】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可
【详解】解：由正态密度曲线的性质可知，
、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，
；
又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，
；
故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数，
．
故C正确，D错误．
故选：C．
11．（2022·辽宁鞍山·统考二模）2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（    ）
若随机变量，则，
A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性与原则求解即可.
【详解】解：因为得分（满分：100分）服从正态分布，
所以，
所以


故选：B
12．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（    ）
A．756 B．748 C．782 D．764
【答案】D
【分析】根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【详解】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.

二、多选题
13．（2022·浙江·模拟预测）已知，则．某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1000人参加考试，其中甲校成绩，乙校成绩，则（    ）
A．甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校
B．乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校
C．甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比相同
D．甲校成绩在85~95分与乙校成绩在90~100分的人数占比相同
【答案】AB
【分析】根据所给正态分布及，逐项分析比较即可得解.
【详解】当时，，当时，，
由标准正态分布可知，故A正确；
当时，，当时，，
所以，故B正确；
由于甲乙学校成绩在90~95分的转化为标准正态分布对应概率分别为，，由正态分布对称性知，，甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比不同，故C错误；
由于甲校方差大于乙校，所以在均值附近左右两侧取相同宽度的取值区间时，转化为标准正态分布，甲校对应概率小于乙校对应概率，故D错误.
故选：AB
14．（2023春·浙江·高三开学考试）下列结论中，正确的有（    ）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5
B．若随机变量，则
C．已知经验回归方程为，且，则
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【答案】BC
【分析】第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：，所以选项B正确；，所以选项C正确；此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误.
【详解】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：
随机变量，则，所以选项B正确；
经验回归方程为，且，则，所以选项C正确；
根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误.
故选：BC．
15．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）下列命题正确的是（    ）
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强；
B．在检验A与B是否有关的过程中，根据数据算得，已知，，则有99%的把握认为A与B有关；
C．已知随机变量X服从正态分布，若，则；
D．在回归分析中，残差平方和与决定系数都可以用来刻画回归的效果，它们的值越小，则模型的拟合效果越好．
【答案】AC
【分析】A比较相关系数的绝对值大小即可判断；B由独立检验基本思想，先判断与大小关系，进而确定相关性的把握程度；C由正态分布的对称性求概率；D根据残差平方和与决定系数的意义判断.
【详解】A：由知：乙组数据的线性相关性更强，正确；
B：由，即，则有97.5%的把握认为A与B有关，错误；
C：由已知：随机变量X的分布曲线关于对称，故，正确；
D：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，但决定系数越大，模型的拟合效果越好，错误.
故选：AC
16．（2022秋·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知随机变量的取值为不大于（）的非负整数，它的概率分布列为：

0
1
2
3
…






…


其中（）满足，．为随机变量的期望．定义由生成的函数，为函数的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（    ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意得出的分布列、生成的函数为及导函数，然后逐项对选项判断即可.
【详解】解：四个面分别标有1，2，3，4个点数的正四面体型骰子，连续抛掷两次，向下点数之和为的取值为，
，，
，，
，，
，
则的分布列为：

2
3
4
5
6
7
8









由题知，，且生成的函数，
，
,
对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D正确.
故选：ACD
17．（2023·湖南·模拟预测）已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则（    ）
A．P(25.35<<25.45)=0.8 B．E(X)=2.4
C．D(X)=0.48 D．
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.
【详解】由正态分布的性质得P(25.35<<25.45)= 1-2 P(24.45)=1-20.1=0.8，故A正确；
则1件产品的质量指标值不位于区间(25.35，25.45)的概率为P=0.2，
所以，故E(X)=30.2=0.6，故B错误；
D(X)=30.20.8=0.48，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD.
18．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
19．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）下列命题中，真命题的是（    ）
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，且函数为偶函数，则
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生､女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120.
【答案】ABC
【分析】利用中位数的概念即可判断A正确；对于选项B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对选项C，利用正态分布的对称性即可求解，对选项D，利用平均数和方差公式计算即可
【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；
对选项B，，则，故B正确；
对选项C，，函数为偶函数，
则，
区间与关于对称，
故，选项C正确；
对选项D，分层抽样的平均数，
按分成抽样样本方差的计算公式，选项D错误.
故选：ABC
20．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）通过长期调查知，人类汗液中指标的值服从正态分布.则（    ）
参考数据：若，则；.

A．估计人中汗液指标的值超过的人数约为
B．估计人中汗液指标的值超过的人数约为
C．估计人中汗液指标的值不超过的人数约为
D．随机抽检人中汗液指标的值恰有人超过的概率为
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的性质，进行ABC选项的判断；结合正态分布的性质以及二项分布的概率计算公式即可判断选项D.
【详解】由，可得汗液指标的值超过的
概率为.所以人中汗液指标的值
超过的人数约为，故A对；
同理，D选项中，随机抽检人中汗液指标的值恰有
人超过的概率为：，故D对；
由，所以人中汗液指标的值
超过的人数约为
=，B对；
由，人中汗液指标的值
不超过的人数约为

，故C错.
故选：ABD
21．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（    ）

参考数据: 若 , 则
，


A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据正态分布密度曲线关于对称，且越小图像越靠轴，越小图像越瘦长，以及原则即可逐一分析四个选项得出结论.
【详解】对于 A, ，故A选项正确;
对于 B, 对于任意的正数 , 由图象知 表示正态密度曲线与轴围成的面积始终大于 表示正态密度曲线与轴围成的面积, 所以 ; 故B选项正确;
对于 C, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 , 故C选项错误;
对于 D, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 ,选项D正确.
故选：ABD.

22．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，则
C．已知随机变量X服从正态分布，且，则
D．已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12
【答案】AC
【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，因为X服从正态分布，所以，
因为，则，
所以，故A正确；
对于B，因为X服从二项分布，
所以，故B错误；
对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，令的平均数为，方差，
所以的方差为
，
故所求标准差，故D错误.
故选：AC.
23．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多
C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人
D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为
【答案】BD
【分析】根据正态分布中的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D.
【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误；
对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；
对于C，时，，
故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误；
对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，
由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.
故选：BD
24．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）下列命题中，正确的命题是（    ）
A．若事件，满足，，则
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．若事件，满足，，，则与独立
D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5
【答案】AC
【分析】根据条件概率公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据方差公式判断D.
【详解】对于A：因为，∴，故A正确．
对于B：因为，，则，，故B错误．
对于C：若，则与独立，则与独立，故C正确．
对于D：男生成绩设为，∴，
，
∴．
女生成绩设为，∴，
，
∴．
所以，
则，故D错误．
故选：AC

三、填空题
25．（2022春·浙江·高三湖州中学校联考阶段练习）盒中有个球，其中个红球，个黄球，个蓝球，从盒中随机取球，每次取个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差___________．
【答案】
【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用方差的定义可求得的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：









所以，，
因此，.
故答案为：.
26．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.

【答案】19
【分析】根据正态分布的对称性，求得概率，根据二项分布的均值计算，可得答案.
【详解】依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为.
故答案为：19.
27．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
【答案】25
【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再由基本不等式求最值．
【详解】解：随机变量服从正态分布，，
由，得，
又，
，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
的最小值为25．
故答案为：25．
28．（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）已知随机变量，若最大，则______．
【答案】24
【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.
【详解】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
29．（2022春·湖北·高三宜城市第一中学校联考阶段练习）若随机变量等可能的在，，中取值，其中，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，求得的表达式，并设为，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案.
【详解】随机变量等可能的在，，中取值，故取每个值的概率均为，
于是，
设，，
则，
设，，则，故在上单调递增，结合，
于是当时，，从而，故在上单调递减，
当时，，从而，故在上单调递增，
故．即的最小值为.
故答案为：
30．（2022春·浙江·高三校联考阶段练习）一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停.记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______.
【答案】##1.5##
【分析】先通过求出黑球的个数，进而求出的可能取值及相应的概率，求出数学期望.
【详解】设白球n个，显然
若，则符合：
若，则，
∴，∴黑球有3个
，因为,所以，
∴
故答案为：