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备战2024年新高考数学专题训练专题13 三角函数与解三角形多选题（新高考通用）
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这是一份备战2024年新高考数学专题训练专题13 三角函数与解三角形多选题（新高考通用），文件包含专题13三角函数与解三角形多选题新高考通用原卷版docx、专题13三角函数与解三角形多选题新高考通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
专题13 三角函数与解三角形 多选题 （新高考通用）
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．在上有且仅有四个零点
【答案】BD
【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，，
所以，
，所以，
，
由于，所以，A选项错误.
所以，
当时，，所以，B选项正确.
当时，，
所以在上单调递减，C选项错误.
当时，，
所以当时，，
即在上有且仅有四个零点，D选项正确.
故选：BD
2．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的值域为
C．
D．曲线在处的切线斜率为
【答案】AC
【分析】首先根据函数图象，先求函数的解析式，利用代入法分别判断函数的单调性和值域，即可判断AB；
根据对称性，得，消元后，利用利用，即可判断C；
利用导数的几何意义，求切线的斜率，即可判断D.
【详解】由，即，
而，所以，
由，得（五点法），
所以，则．
对于A，当时，，此时函数单调递减，所以A正确；
对于B，当时，，所以，
所以函数在上的值域为，所以B错误；
对于C，令得，由三角函数图象的对称性得，
所以
，所以C正确；
对于D，，则，所以D错误．
故选：AC．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增
B．若，则
C．函数的图象可以由向右平移个单位得到
D．若函数在上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；
令，则或，即或，
由，则或，，即或，故选项正确；
向右平移个单位变为故选项错误；
对于，，
在上恰有两个极大值点，即，
即，故选项正确.
故选：
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A．在上是减函数
B．由可得是的整数倍
C．是奇函数
D．函数在区间上有个零点
【答案】AC
【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.
【详解】由题意知，
对于A.当时，，
因为在上单调递减，
所以在上是减函数，A正确
对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误
对于C.由题意，得，故是奇函数，C正确
对于D.由，可得.
当时，，
令或，则或，
因此在上有两个零点，而含有个周期，
因此在区间上有个零点，D错误.
故选：AC.
5．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知是函数的一个零点，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间只有一个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】ABD
【分析】先利用函数的零点解出，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题意得，所以，，即，，
又，所以时，，故，
选项A：当时，，由正弦函数图象可得在上单调递减，正确；
选项B：当时，，由正弦函数图象可得只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点，正确；
选项C，当时，，，故直线不是对称轴，错误；
选项D，由得，
所以或，，解得或，，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为即，正确；
故选：ABD
6．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．既是奇函数，又是周期函数 B．的图象关于直线对称
C．的最大值为 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据奇函数和周期函数的定义即可判断选项；根据对称轴的性质即可判断选项；根据二倍角的余弦公式化简换元成关于正弦的三次函数，利用导数判断函数的单调性求出最值，进而判断选项；利用导数的正负与函数的单调性的关系即可判断选项.
【详解】对于，因为函数的定义域为，
又，所以函数为奇函数；
又因为，所以函数为周期函数，故选项正确；
对于，若函数的图象关于直线对称，则成立，
因为，所以，故选项正确；
对于，因为函数，令，则函数可化为，，令，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以函数的最大值为，
故选项错误；
对于，因为，若函数在上单调递增，则在上恒成立，取，则，故选项错误，
故选：.
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是
C．的最大值为 D．是区间上的减函数
【答案】BC
【分析】利用诱导公式判断与是否相等判断A，判断与是否相等判断B，利用三角函数及复合函数的单调性判断CD.
【详解】由，
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，，又函数连续，故D错误；
故选：BC
8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A．的周期为
B．为奇函数
C．的图象关于点对称
D．当时，的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.
【详解】函数，
对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；
对于B选项：函数的定义域为，，
则函数是上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：，
即函数，
对于C选项：令（），解得：（），
当时，，此时，
即函数的图象关于点对称，所以C选项正确；
对于D选项：当时，，
由余弦函数的图象和性质得：，即，
所以D选项错误；
故选：AC.
9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
【答案】ACD
【分析】求函数的对称轴方程，由条件列不等式求的范围，再求函数的零点，判断A，B，求函数的单调区间判断C，求函数的极值点判断D.
【详解】由，可得，
所以函数的对称轴方程为，
令，可得，
因为函数的图象在上恰有两条对称轴，
所以，
所以，
令，可得，
所以，所以，
令，可得，
当时，或，此时函数在上有两个零点，A错误；
令，可得，
当时，或或或，所以函数在上可能有4个零点，B正确；
由可得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以函数在上不是单调递增函数，C错误；
由可得，
所以当时，，此时函数在上有三个最大值，故在上恰有3个极大值点，D错误；
故选：ACD.
10．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．是曲线的对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．若函数在上恰有2021个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据周期性定义判断A，由对称性定义判断B，在一个周期区间上分类讨论，并利用与的关系换元求得最值判断C，先研究函数在上的零点个数然后根据周期性得上周期性，从而得参数范围判断D．
【详解】因为，
所以是以为周期的函数，故A正确；
又，故B错误；
由A知只需考虑在上的最大值．
①当时，，
令，则，且，即，
则，易知在区间上单调递减．所以的最大值为，最小值为．
②当时，，
令，则，且，即，
则，易知在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为，
综上可知：函数的最大值为，最小值为，故C正确；
因为是以为周期的函数，可以先研究函数在的零点个数，易知．
当时，令，解得或1，
在上无解，在上仅有一解，
当时，令，解得或1．
在上无解，在上无解．
综合可知：函数在上有两个零点，分别为和．
又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点．
又已知函数在上恰有2021个零点，所以，故D正确．
故正确的是ACD．
故选：ACD．
11．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数的图象的一条对称轴为，则（ ）
A．当时，在上存在零点
B．是的导数的一个零点
C．在区间上单调，则
D．当ω为偶数时，是偶函数
【答案】BC
【分析】根据三角函数的图象性质与周期之间的关系可判断A,C，根据对称轴与极值点的关系可判断B，利用特殊值举反例可判断D.
【详解】对于A，当时，周期，所以，
因为区间的区间长度为，
所以在上不存在零点，
根据对称性可得，在上不存在零点，A错误；
对于B，因为图象的一条对称轴为，
所以为函数的一个极值点，所以，
所以是的导数的一个零点，B正确；
对于C，因为在区间上单调，且图象的一条对称轴为，
所以区间的长度，即,也即，
解得，C正确；
对于D，例如，，则为奇函数，D错误；
故选:BC.
12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（ ）
A． B．
C．的图像关于原点对称 D．在区间上单调
【答案】BC
【分析】对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；
对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；
对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；
对于D，利用整体思想，整体换元结合余弦函数的性质，可得答案.
【详解】，则，由题意得，即，故，因为，所以，由则，，故选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，
则，故选项B正确；
因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；
，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上不单调，则选项D错误，
故选：BC.
13．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像关于点中心对称
B．函数在区间上单调递减
C．不等式的解集为
D．方程在上有2个解
【答案】ACD
【分析】根据图像变换求出函数与的解析式，利用三角函数的对称，单调性分别进行判断即可.
【详解】根据题意可得，，
又因为最小正周期为，则，且，则，
即，
又因为为奇函数，则
解得，且，
所以当时，，所以，
则，
对于A，当时，，所以点是的对称中心，故正确；
对于B，令，解得，所以不是的子集，故错误；
对于C，因为，即，
所以，解得，故正确；
对于D，分别画出与在的图像，通过图像即可得到共有两个交点，故正确.
故选:ACD
14．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】AB
【分析】由周期求出，由图像的对称性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.
【详解】已知函数（，），
其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ，
点是其中一个对称中心， 有，
,，由，∴，
可以求得.最小正周期，故选项正确；
由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；
时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；
将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.
故选：.
15．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于对称
B．在上单调递增
C．的解集为（）
D．方程在上有3个解
【答案】BCD
【分析】先根据图像平移伸缩变换可得，再根据奇偶性和最小正周期可求得和，通过赋值法可判断A，根据整体代入法可判断B，通过余弦函数图像的性质可判断C，通过正切函数图像的性质可判断D.
【详解】将函数的图像上所有点向右平移个单位长度，
得到，
然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，
若最小正周期为，则有，得，
又因为为偶函数，
所以，即
又，所以，，
故，，
对于A，，所以的图像不关于对称，A错误；
对于B，令，得，，
当时，函数的单调递增区间为，
所以在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，所以，
所以（），
解得（），C正确；
对于D，等价于，
即，所以，
所以（），即（），
又，故当时，可得，，.
即方程在上有3个解，D正确.
故选：BCD
16．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，，则
C．在中，若，则
D．在中，
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD；由确定角A，B的关系判断C作答.
【详解】在中，由及正弦定理得：，因此，A正确；
在中，由及正弦定理得：，B正确；
在中，，则，因为，
则有或，即有或，当时，，
当时，a与b不一定相等，C错误；
令为外接圆半径，则，于是，D正确.
故选：ABD
17．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．
D．有100个零点
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，，，即函数关于直线对称且周期为4的奇函数，利用周期性求出，判断选项；再画出函数与的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情况判断选项.
【详解】因为函数是偶函数，则，即，所以函数关于直线对称，故选项正确；
又函数为上的奇函数，所以，则，即函数是周期为4的奇函数，由，即.
所以，故选项正确；
，，
所以，故选项错误；
综上：，作出与的函数部分图象如下图所示：
当时，函数过点，
故时，函数与无交点；
由图可知：当时，函数与有一个交点；
当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，
即时，函数与无交点；
当时，过点，
故当时，函数与无交点；
由图可知：当时，函数与有3个交点；
当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，
即时，函数与无交点；
综上，函数共有个零点，故选项正确，
故选：.
【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.
18．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．为偶函数 D．
【答案】AC
【分析】利用待定系数法求出，即可判断A；再根据正弦函数的单调性即可判断B；判断的关系即可判断C；求导，再根据辅助角公式即可判断D.
【详解】由，得，
又因，所以，故A正确；
，
由，得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，，
所以在上不单调，故B错误；
，是偶函数，故C正确；
，
则，
其中，当且仅当时，取等号，故D错误.
故选：AC.
19．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个最值点，则的取值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】BCD
【分析】由题可得，然后根据正弦函数的性质，可得，求出的范围，再结合选项判断即可.
【详解】.
由题意，可得，由，可得.
因为在上恰有一个最值点，
所以，解得，
由选项可知A错误，BCD正确.
故选：BCD．
20．（2023·湖南株洲·统考一模）关于函数有以下四个选项，正确的是（ ）
A．对任意的a，都不是偶函数 B．存在a，使是奇函数
C．存在a，使 D．若的图像关于对称，则
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，其中，，
对于A，要使为偶函数，则，且，即对任意的a，都不是偶函数，故正确；
对于B，要使为奇函数，则，且，即不存在a，使是奇函数，故正确；
对于C，因为，故错误；
对于D，若的图像关于对称，则，，
解得，且，所以，即，故正确.
故选：AD
21．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得是偶函数 B．
C．是奇数 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据题意得为对称中心，为对称轴，列出方程组进而可得为奇数，根据在区间上单调得，进而对逐一分析即可.
【详解】由已知得 是图像的一个对称中心，
直线是图像的一条对称轴，所以
，
则，于是，即为奇数，故C正确；
因为在区间上单调，
所以 得，
当时，由于 ，
所以，即，
在上单调，但不是偶函数，满足 ；
当时，由于，
所以，即 ，
在上单调，但不是偶函数，满足 ；
当时，由于，
所以，即 ，
此时在上不单调，故不合题意；
当时，由于，
所以 ，即 ，
此时在上不单调，故不合题意；
综上，选项A错误，选项B和D正确；
故选：BCD.
22．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的图像关于点中心对称
C．的最小正周期为 D．的增区间为（）
【答案】AD
【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.
【详解】因为，所以，A正确；
，但，因此的图象不可能关于点成中心对称，B错；
的最小正周期是，所以的最小正周期是，C错；
由得，，，
时，，易得时，递增，时，递减，又的最小正周期是，
所以的增区间是（），D正确；
故选：AD．
23．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数，且与的值域相同；将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的单调增区间为 D．与的图象在区间内有2个交点
【答案】AC
【分析】根据函数求导公式以及三角函数的值域，可得A的正误；
根据三角函数图象变换，整理函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得B的正误，
利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得C的正误；
利用五点作图法作图，可得D的正误.
【详解】由，则，由，则，故A正确；
由题意，可得，故B错误；
由，令，解得，故C正确；
由题意，作图如下：
则与的图象在区间内有3个交点，故D错误.
故选：AC
24．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数的图像关于点对称
B．函数在有且仅有2个极值点
C．若，则的最小值为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，
所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；
对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；
对于D，依题意，，
则
，因此，D正确.
故选：ABD
25．（2023·广东湛江·统考一模）已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得
，所以B错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．
故选：ACD．
26．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知均为第二象限角，且，则可能存在（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式进行化简变形，得到的关系，然后分类讨论即可.
【详解】
均为第二象限角，化简得：
若，则
在第二象限，故A错；
若，
，在第二象限
，此时
符合条件，故C正确；
当，由C选项可知，符合条件，此时均存在
，的情况，故B,D正确；
故选：BCD.
27．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知函数满足．下列说法正确的是（ ）．
A．
B．当，都有，函数的最小正周期为
C．若函数在上单调递增，则方程在上最多有4个不相等的实数根
D．设，存在，，则
【答案】ACD
【分析】A选项，赋值法得到且关于中心对称；B选项，得到，故；
C选项，结合函数图象得到，即，先考虑时，实数根的个数，再由函数图象的伸缩变化得到时根的情况，求出答案；
D选项，分析得到，即在有两个最大值点，故，求出，，根据最大值点个数列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】对应A，中，令可得：，故，且关于中心对称，A正确；
对于B，因为，恒成立，
不妨取时，此时之间的距离最长，求得的周期应为函数的最小周期，
∴，
∴，B错误；
对于C，画出大致图象，因为关于中心对称，
又在单调递增，
∴，
∴．
当时，此时，故，
将代入可得，
解得：，故，不妨令
令，解得：，
因为，所以，
故令或或或，解得：或或或.
所以在两个周期内存在四个根．
时，此时图象纵坐标不变，横坐标变大，整个函数图象拉伸，
故在至多4个根，C正确；
对于D，，
，，
即，，即，
∴，
即在至少有两个最大值点，故，
∴，
∴，，，
由于，所以，
①，解得；
②，解得；
③，解得．②与③求并集为；
当时，，满足在至少有两个最大值点，
可知，D对．
故选：ACD．
【点睛】在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
28．（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）已知函数的图象关于点对称，且存在，使在上单调递增，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．在上单调递增
C．函数的图象不可能关于点对称
D．函数在内不存在极值点
【答案】AC
【分析】A选项，依据周期的定义，计算的范围可判断；B选项，的单调增区间在距对称中心前后内，令，求出的范围可判断结果；C选项，的每个对称中心间隔为，计算对称中心的范围判断是否在此范围内即可； D选项，的极值点为，依据周期的范围计算极值点的范围，判断是否在内可得结果.
【详解】解：A 选项：，，故A正确；
B选项：若存在，使在上单调递增，则，即，所以在上不一定单调，故B错误；
C选项：因为是的对称中心，所以也是的对称中心，，，，所以不是的对称中心，故C正确；
D选项：函数的极值为的最值，是的对称中心，所以的最值点为，有，所以函数在内存在极值点，故D错误.
故选：AC
29．（2023·山东菏泽·统考一模）已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的周期为，最大值为1
D．的值域为
【答案】BC
【分析】，根据的范围得出的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得，即可判断C项；由已知可得，，换元根据导函数求解在上的值域，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，.
因为，所以，
当或时，即或时，有，
所以在区间上有2个零点，故A项错误；
对于B项，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，
所以，的周期，最大值为，故C项正确；
对于D项，.
令，，，
则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.
且，，
，.
所以，当时，有最小值；当时，有最大值.
所以，的值域为，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：求出.令，，.然后借助导函数求出在上的最值，即可得出函数的值域.
30．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A正确；
显然，当时，，因此单调递增，B正确；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C错误；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
专题13 三角函数与解三角形 多选题 （新高考通用）
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．在上有且仅有四个零点
【答案】BD
【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，，
所以，
，所以，
，
由于，所以，A选项错误.
所以，
当时，，所以，B选项正确.
当时，，
所以在上单调递减，C选项错误.
当时，，
所以当时，，
即在上有且仅有四个零点，D选项正确.
故选：BD
2．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的值域为
C．
D．曲线在处的切线斜率为
【答案】AC
【分析】首先根据函数图象，先求函数的解析式，利用代入法分别判断函数的单调性和值域，即可判断AB；
根据对称性，得，消元后，利用利用，即可判断C；
利用导数的几何意义，求切线的斜率，即可判断D.
【详解】由，即，
而，所以，
由，得（五点法），
所以，则．
对于A，当时，，此时函数单调递减，所以A正确；
对于B，当时，，所以，
所以函数在上的值域为，所以B错误；
对于C，令得，由三角函数图象的对称性得，
所以
，所以C正确；
对于D，，则，所以D错误．
故选：AC．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增
B．若，则
C．函数的图象可以由向右平移个单位得到
D．若函数在上恰有两个极大值点，则
【答案】BD
【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.
【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；
令，则或，即或，
由，则或，，即或，故选项正确；
向右平移个单位变为故选项错误；
对于，，
在上恰有两个极大值点，即，
即，故选项正确.
故选：
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A．在上是减函数
B．由可得是的整数倍
C．是奇函数
D．函数在区间上有个零点
【答案】AC
【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.
【详解】由题意知，
对于A.当时，，
因为在上单调递减，
所以在上是减函数，A正确
对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误
对于C.由题意，得，故是奇函数，C正确
对于D.由，可得.
当时，，
令或，则或，
因此在上有两个零点，而含有个周期，
因此在区间上有个零点，D错误.
故选：AC.
5．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知是函数的一个零点，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间只有一个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】ABD
【分析】先利用函数的零点解出，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题意得，所以，，即，，
又，所以时，，故，
选项A：当时，，由正弦函数图象可得在上单调递减，正确；
选项B：当时，，由正弦函数图象可得只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点，正确；
选项C，当时，，，故直线不是对称轴，错误；
选项D，由得，
所以或，，解得或，，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为即，正确；
故选：ABD
6．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．既是奇函数，又是周期函数 B．的图象关于直线对称
C．的最大值为 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据奇函数和周期函数的定义即可判断选项；根据对称轴的性质即可判断选项；根据二倍角的余弦公式化简换元成关于正弦的三次函数，利用导数判断函数的单调性求出最值，进而判断选项；利用导数的正负与函数的单调性的关系即可判断选项.
【详解】对于，因为函数的定义域为，
又，所以函数为奇函数；
又因为，所以函数为周期函数，故选项正确；
对于，若函数的图象关于直线对称，则成立，
因为，所以，故选项正确；
对于，因为函数，令，则函数可化为，，令，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以函数的最大值为，
故选项错误；
对于，因为，若函数在上单调递增，则在上恒成立，取，则，故选项错误，
故选：.
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是
C．的最大值为 D．是区间上的减函数
【答案】BC
【分析】利用诱导公式判断与是否相等判断A，判断与是否相等判断B，利用三角函数及复合函数的单调性判断CD.
【详解】由，
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，，又函数连续，故D错误；
故选：BC
8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A．的周期为
B．为奇函数
C．的图象关于点对称
D．当时，的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.
【详解】函数，
对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确；
对于B选项：函数的定义域为，，
则函数是上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：，
即函数，
对于C选项：令（），解得：（），
当时，，此时，
即函数的图象关于点对称，所以C选项正确；
对于D选项：当时，，
由余弦函数的图象和性质得：，即，
所以D选项错误；
故选：AC.
9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（ ）
A．在上只有一个零点
B．在上可能有4个零点
C．在上单调递增
D．在上恰有2个极大值点
【答案】ACD
【分析】求函数的对称轴方程，由条件列不等式求的范围，再求函数的零点，判断A，B，求函数的单调区间判断C，求函数的极值点判断D.
【详解】由，可得，
所以函数的对称轴方程为，
令，可得，
因为函数的图象在上恰有两条对称轴，
所以，
所以，
令，可得，
所以，所以，
令，可得，
当时，或，此时函数在上有两个零点，A错误；
令，可得，
当时，或或或，所以函数在上可能有4个零点，B正确；
由可得，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以函数在上不是单调递增函数，C错误；
由可得，
所以当时，，此时函数在上有三个最大值，故在上恰有3个极大值点，D错误；
故选：ACD.
10．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．是曲线的对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．若函数在上恰有2021个零点，则
【答案】ACD
【分析】根据周期性定义判断A，由对称性定义判断B，在一个周期区间上分类讨论，并利用与的关系换元求得最值判断C，先研究函数在上的零点个数然后根据周期性得上周期性，从而得参数范围判断D．
【详解】因为，
所以是以为周期的函数，故A正确；
又，故B错误；
由A知只需考虑在上的最大值．
①当时，，
令，则，且，即，
则，易知在区间上单调递减．所以的最大值为，最小值为．
②当时，，
令，则，且，即，
则，易知在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为，
综上可知：函数的最大值为，最小值为，故C正确；
因为是以为周期的函数，可以先研究函数在的零点个数，易知．
当时，令，解得或1，
在上无解，在上仅有一解，
当时，令，解得或1．
在上无解，在上无解．
综合可知：函数在上有两个零点，分别为和．
又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点．
又已知函数在上恰有2021个零点，所以，故D正确．
故正确的是ACD．
故选：ACD．
11．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数的图象的一条对称轴为，则（ ）
A．当时，在上存在零点
B．是的导数的一个零点
C．在区间上单调，则
D．当ω为偶数时，是偶函数
【答案】BC
【分析】根据三角函数的图象性质与周期之间的关系可判断A,C，根据对称轴与极值点的关系可判断B，利用特殊值举反例可判断D.
【详解】对于A，当时，周期，所以，
因为区间的区间长度为，
所以在上不存在零点，
根据对称性可得，在上不存在零点，A错误；
对于B，因为图象的一条对称轴为，
所以为函数的一个极值点，所以，
所以是的导数的一个零点，B正确；
对于C，因为在区间上单调，且图象的一条对称轴为，
所以区间的长度，即,也即，
解得，C正确；
对于D，例如，，则为奇函数，D错误；
故选:BC.
12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则（ ）
A． B．
C．的图像关于原点对称 D．在区间上单调
【答案】BC
【分析】对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；
对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；
对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；
对于D，利用整体思想，整体换元结合余弦函数的性质，可得答案.
【详解】，则，由题意得，即，故，因为，所以，由则，，故选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，
则，故选项B正确；
因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；
，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上不单调，则选项D错误，
故选：BC.
13．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像关于点中心对称
B．函数在区间上单调递减
C．不等式的解集为
D．方程在上有2个解
【答案】ACD
【分析】根据图像变换求出函数与的解析式，利用三角函数的对称，单调性分别进行判断即可.
【详解】根据题意可得，，
又因为最小正周期为，则，且，则，
即，
又因为为奇函数，则
解得，且，
所以当时，，所以，
则，
对于A，当时，，所以点是的对称中心，故正确；
对于B，令，解得，所以不是的子集，故错误；
对于C，因为，即，
所以，解得，故正确；
对于D，分别画出与在的图像，通过图像即可得到共有两个交点，故正确.
故选:ACD
14．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
【答案】AB
【分析】由周期求出，由图像的对称性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.
【详解】已知函数（，），
其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ，
点是其中一个对称中心， 有，
,，由，∴，
可以求得.最小正周期，故选项正确；
由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；
时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；
将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.
故选：.
15．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数（，），将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于对称
B．在上单调递增
C．的解集为（）
D．方程在上有3个解
【答案】BCD
【分析】先根据图像平移伸缩变换可得，再根据奇偶性和最小正周期可求得和，通过赋值法可判断A，根据整体代入法可判断B，通过余弦函数图像的性质可判断C，通过正切函数图像的性质可判断D.
【详解】将函数的图像上所有点向右平移个单位长度，
得到，
然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，
若最小正周期为，则有，得，
又因为为偶函数，
所以，即
又，所以，，
故，，
对于A，，所以的图像不关于对称，A错误；
对于B，令，得，，
当时，函数的单调递增区间为，
所以在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，所以，
所以（），
解得（），C正确；
对于D，等价于，
即，所以，
所以（），即（），
又，故当时，可得，，.
即方程在上有3个解，D正确.
故选：BCD
16．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，，则
C．在中，若，则
D．在中，
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边角互化计算判断ABD；由确定角A，B的关系判断C作答.
【详解】在中，由及正弦定理得：，因此，A正确；
在中，由及正弦定理得：，B正确；
在中，，则，因为，
则有或，即有或，当时，，
当时，a与b不一定相等，C错误；
令为外接圆半径，则，于是，D正确.
故选：ABD
17．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．
D．有100个零点
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，，，即函数关于直线对称且周期为4的奇函数，利用周期性求出，判断选项；再画出函数与的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情况判断选项.
【详解】因为函数是偶函数，则，即，所以函数关于直线对称，故选项正确；
又函数为上的奇函数，所以，则，即函数是周期为4的奇函数，由，即.
所以，故选项正确；
，，
所以，故选项错误；
综上：，作出与的函数部分图象如下图所示：
当时，函数过点，
故时，函数与无交点；
由图可知：当时，函数与有一个交点；
当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，
即时，函数与无交点；
当时，过点，
故当时，函数与无交点；
由图可知：当时，函数与有3个交点；
当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，
即时，函数与无交点；
综上，函数共有个零点，故选项正确，
故选：.
【点睛】关键点点睛：对于本题选项D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.
18．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．为偶函数 D．
【答案】AC
【分析】利用待定系数法求出，即可判断A；再根据正弦函数的单调性即可判断B；判断的关系即可判断C；求导，再根据辅助角公式即可判断D.
【详解】由，得，
又因，所以，故A正确；
，
由，得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，，
所以在上不单调，故B错误；
，是偶函数，故C正确；
，
则，
其中，当且仅当时，取等号，故D错误.
故选：AC.
19．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个最值点，则的取值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】BCD
【分析】由题可得，然后根据正弦函数的性质，可得，求出的范围，再结合选项判断即可.
【详解】.
由题意，可得，由，可得.
因为在上恰有一个最值点，
所以，解得，
由选项可知A错误，BCD正确.
故选：BCD．
20．（2023·湖南株洲·统考一模）关于函数有以下四个选项，正确的是（ ）
A．对任意的a，都不是偶函数 B．存在a，使是奇函数
C．存在a，使 D．若的图像关于对称，则
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，其中，，
对于A，要使为偶函数，则，且，即对任意的a，都不是偶函数，故正确；
对于B，要使为奇函数，则，且，即不存在a，使是奇函数，故正确；
对于C，因为，故错误；
对于D，若的图像关于对称，则，，
解得，且，所以，即，故正确.
故选：AD
21．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得是偶函数 B．
C．是奇数 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据题意得为对称中心，为对称轴，列出方程组进而可得为奇数，根据在区间上单调得，进而对逐一分析即可.
【详解】由已知得 是图像的一个对称中心，
直线是图像的一条对称轴，所以
，
则，于是，即为奇数，故C正确；
因为在区间上单调，
所以 得，
当时，由于 ，
所以，即，
在上单调，但不是偶函数，满足 ；
当时，由于，
所以，即 ，
在上单调，但不是偶函数，满足 ；
当时，由于，
所以，即 ，
此时在上不单调，故不合题意；
当时，由于，
所以 ，即 ，
此时在上不单调，故不合题意；
综上，选项A错误，选项B和D正确；
故选：BCD.
22．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的图像关于点中心对称
C．的最小正周期为 D．的增区间为（）
【答案】AD
【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.
【详解】因为，所以，A正确；
，但，因此的图象不可能关于点成中心对称，B错；
的最小正周期是，所以的最小正周期是，C错；
由得，，，
时，，易得时，递增，时，递减，又的最小正周期是，
所以的增区间是（），D正确；
故选：AD．
23．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数，且与的值域相同；将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的单调增区间为 D．与的图象在区间内有2个交点
【答案】AC
【分析】根据函数求导公式以及三角函数的值域，可得A的正误；
根据三角函数图象变换，整理函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得B的正误，
利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得C的正误；
利用五点作图法作图，可得D的正误.
【详解】由，则，由，则，故A正确；
由题意，可得，故B错误；
由，令，解得，故C正确；
由题意，作图如下：
则与的图象在区间内有3个交点，故D错误.
故选：AC
24．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．函数的图像关于点对称
B．函数在有且仅有2个极值点
C．若，则的最小值为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，
所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；
对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；
对于D，依题意，，
则
，因此，D正确.
故选：ABD
25．（2023·广东湛江·统考一模）已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得
，所以B错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．
故选：ACD．
26．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知均为第二象限角，且，则可能存在（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式进行化简变形，得到的关系，然后分类讨论即可.
【详解】
均为第二象限角，化简得：
若，则
在第二象限，故A错；
若，
，在第二象限
，此时
符合条件，故C正确；
当，由C选项可知，符合条件，此时均存在
，的情况，故B,D正确；
故选：BCD.
27．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知函数满足．下列说法正确的是（ ）．
A．
B．当，都有，函数的最小正周期为
C．若函数在上单调递增，则方程在上最多有4个不相等的实数根
D．设，存在，，则
【答案】ACD
【分析】A选项，赋值法得到且关于中心对称；B选项，得到，故；
C选项，结合函数图象得到，即，先考虑时，实数根的个数，再由函数图象的伸缩变化得到时根的情况，求出答案；
D选项，分析得到，即在有两个最大值点，故，求出，，根据最大值点个数列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】对应A，中，令可得：，故，且关于中心对称，A正确；
对于B，因为，恒成立，
不妨取时，此时之间的距离最长，求得的周期应为函数的最小周期，
∴，
∴，B错误；
对于C，画出大致图象，因为关于中心对称，
又在单调递增，
∴，
∴．
当时，此时，故，
将代入可得，
解得：，故，不妨令
令，解得：，
因为，所以，
故令或或或，解得：或或或.
所以在两个周期内存在四个根．
时，此时图象纵坐标不变，横坐标变大，整个函数图象拉伸，
故在至多4个根，C正确；
对于D，，
，，
即，，即，
∴，
即在至少有两个最大值点，故，
∴，
∴，，，
由于，所以，
①，解得；
②，解得；
③，解得．②与③求并集为；
当时，，满足在至少有两个最大值点，
可知，D对．
故选：ACD．
【点睛】在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
28．（2023春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）已知函数的图象关于点对称，且存在，使在上单调递增，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小正周期
B．在上单调递增
C．函数的图象不可能关于点对称
D．函数在内不存在极值点
【答案】AC
【分析】A选项，依据周期的定义，计算的范围可判断；B选项，的单调增区间在距对称中心前后内，令，求出的范围可判断结果；C选项，的每个对称中心间隔为，计算对称中心的范围判断是否在此范围内即可； D选项，的极值点为，依据周期的范围计算极值点的范围，判断是否在内可得结果.
【详解】解：A 选项：，，故A正确；
B选项：若存在，使在上单调递增，则，即，所以在上不一定单调，故B错误；
C选项：因为是的对称中心，所以也是的对称中心，，，，所以不是的对称中心，故C正确；
D选项：函数的极值为的最值，是的对称中心，所以的最值点为，有，所以函数在内存在极值点，故D错误.
故选：AC
29．（2023·山东菏泽·统考一模）已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的周期为，最大值为1
D．的值域为
【答案】BC
【分析】，根据的范围得出的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得，即可判断C项；由已知可得，，换元根据导函数求解在上的值域，即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，.
因为，所以，
当或时，即或时，有，
所以在区间上有2个零点，故A项错误；
对于B项，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，
所以，的周期，最大值为，故C项正确；
对于D项，.
令，，，
则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.
且，，
，.
所以，当时，有最小值；当时，有最大值.
所以，的值域为，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：求出.令，，.然后借助导函数求出在上的最值，即可得出函数的值域.
30．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象
D．函数的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数的周期，则，而，
即有，由知，，因此，A正确；
显然，当时，，因此单调递增，B正确；
将图象上各点横坐标变为原来的得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，
而，C错误；
由，得，令，则，
令，显然当时，，即恒有，函数在上无零点，
当时，，令，，
函数在上都递减，即有在上递减，，
，因此存在，，
当时，，当时，，有在上递增，在递减，
，，
于是存在，，当时，，当时，，
则函数在上递减，在递增，，，
从而函数在上存在唯一零点，而函数周期为，在上单调递增，如图，
，，，
从而函数在上各有一个零点，又0是的零点，即函数在定义域上共有7个零点，
所以函数的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
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