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备战2024年新高考数学专题训练专题14 直线与圆综合问题（单选+多选+填空）（新高考通用）
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这是一份备战2024年新高考数学专题训练专题14 直线与圆综合问题（单选+多选+填空）（新高考通用），文件包含专题14直线与圆综合问题单选+多选+填空新高考通用原卷版docx、专题14直线与圆综合问题单选+多选+填空新高考通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
专题14 直线与圆综合问题（单选+多选+填空）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点，若在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.
【详解】设，由，得，
整理得，即；
记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，
所以，即，解得.
故选：C.
2．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知直角的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为，直角的直角顶点在圆上，
所以有，
因为直角的直角顶点为，
所以点A在以为直径的圆上，因此圆心坐标为，半径为，
因为点在圆上，
所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切，
所以有，
故选：C
3．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）过原点的动直线与圆交于不同的两点.记线段的中点为，则当直线绕原点转动时，动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件求可得点到的中点的距离为定值，由此可求点的轨迹，再求其轨迹长度.
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
设的中点为，
因为线段的中点为，
所以，又原点在直线上，
所以，所以，
设，则，
如图，设圆与的交点为
联立，可得，，
则，
因为点在圆内，
所以点的轨迹方程为，，
因为，所以，
同理
由对称性可得，
所以圆弧的长度为.
故选：D.
4．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
5．（2023·福建福州·统考二模）已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.
【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，
此时圆心到对称轴的距离为4，
所以，解得或.
故选：D
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知圆C：，过点的直线与圆C交于A，B两点．若，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，取中点为，由勾股定理可得，然后再根据的坐标得到,列出方程即可得到.
【详解】
取中点为，则可得，
因为，则，即为等边三角形，
所以，，
在直角三角形中，，
则
又因为，即
所以，解得
故选:A
7．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为；若两条切线与轴分别交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用到切线的距离等于列方程，结合根与系数关系，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】解：由题知，切线的斜率存在，
设切线方程为，即.
设圆心到切线的距离为，
则，化简得，则，
设两条切线的斜率分别为，
则，.
在切线中，令，解得，
所以
，即，
所以，此时
故的最小值为.
故选：B.
8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.
【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，
，则，，设，，
则，整理得到，
故轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，
同时在球上，故在两球的交线上，为圆.
球心距为，
为直角三角形，对应圆的半径为，
周长为.
故选：D
二、多选题
9．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．若是圆的一条直径，则的最小值为
D．直线恒过定点
【答案】ABD
【分析】利用勾股定理可求得切线长的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质以及的最小值，可判断C选项；设点，求出直线的方程，可求得直线恒过定点的坐标，可判断D选项.
【详解】圆心为，圆的半径为，由圆的几何性质可知，，.
对于A选项，，
当时，取最小值，且，
所以，，A对；
对于B选项，由切线长定理可知，，，，
所以，，所以，，B对；
对于C选项，易知为的中点，
，C错；
对于D选项，设点，则，
线段的中点为，，
所以，以为直径的圆的方程为，
即圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程作差可得，
即，故直线的方程为，
变形可得.
由可得，所以，直线恒过定点，D对.
故选：ABD.
10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知圆，点P为直线上一动点，下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相离
B．圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1
C．过点P向圆C引一条切线PA，A为切点，则的最小值为
D．过点P向圆C引两条切线PA和PB，A、B为切点，则直线AB过定点
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线的距离判断A，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断B，根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断C，求出过的直线方程，根据方程求定点判断D.
【详解】对于A，圆心到直线 的距离，
所以直线与圆相离，故A正确；
对于B，由A知，，故圆C上有2个点到直线l的距离等于1，故B错误；
对于C， ，当且仅当PC与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，设点，则，即，
由切线性质可知四点共圆，且圆的直径为，
所以圆的方程为，
两圆的方程作差，得公共弦所在直线方程为，
即，整理可得，
解方程，解得 ，
所以直线AB过定点，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·山东菏泽·统考一模）已知圆，下列说法正确有（ ）
A．对于，直线与圆都有两个公共点
B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是
C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4
D．圆上存在三点到直线距离均为1
【答案】BC
【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由，转化为求最小值即可；对于选项D，设圆心到直线的距离为d，比较与1的关系即可.
【详解】对于选项A，因为，即：，
所以，所以直线恒过定点，
又因为，所以定点在圆O外，
所以直线与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；
对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，
又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径，
所以，即：，解得：.故选项B正确；
对于选项C，，
又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：，
所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确；
对于选项D，因为圆O的圆心，半径，则圆心O到直线的距离为，
所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.故选项D错误.
故选：BC.
12．（2023·山东临沂·统考一模）已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（ ）
A．线段长的最大值为6 B．当直线与圆相切时，
C．以线段为直径的圆不可能过原点 D．的最大值为20
【答案】ABD
【分析】由定点到圆上点的距离范围可得A正确；根据切线长公式即可求得，根据直径所对圆周角为直角可知，当在轴上时以线段为直径的圆过原点；利用向量数量积的坐标表示即可得出结论.
【详解】根据题意可知的圆心，半径，如下图所示：
易知，当且仅当三点共线（且点在中间）时，等号成立，即A正确；
当直线与圆相切时，由勾股定理可得，所以B正确；
若以线段为直径的圆过原点，由直径所对圆周角为直角可得，
易知当在轴上时，满足题意；
所以以线段为直径的圆可能过原点，即C错误；
设点，易知，
则
所以，即的最大值为20，即D正确；
故选：ABD
13．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知．点分别在上．则（ ）
A．的最大值为9 B．的最小值为
C．若平行于x轴，则的最小值为 D．若平行于y轴，则的最大值为
【答案】AB
【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB正确；将沿轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，可求得的最小值为，同理可得的最大值为，即CD错误.
【详解】因为的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
所以,两圆相离；，两圆内含.
对于选项A：，当且仅当四点共线时取到等号，故A正确；
对于B：因为，所以两圆内含，则
，当且仅当四点共线时取到等号，故B正确．
对于C：试想一个将向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，如下图所示：
当平移到（图中虚线位置）时与相切，此时，
易知，所以，
所以，故C错误；
同理如下图所示：
当平移到（图中虚线位置）时与相切，作垂直于轴，，
所以，所以，
，
所以，即的最大值为，
可得D错误.
故选：AB
14．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则下列结论正确的是（ ）
A．当最大时，
B．当最大时，直线的方程为
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积的最小值为
【答案】BD
【分析】由题意可知：当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断选项；结合题意可知：四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断选项.
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，因为，，所以，
所以，因为，当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为，
因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，错对
因为为锐角，，且，
故当最小时，最大，此时最大，此时，错
由上可知，当最大时，且，
故四边形为正方形，且有，则的方程为，
联立可得即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，对
故选：．
15．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
16．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线一定不过原点
B．存在定点，使得点到直线的距离为定值
C．点到直线的最小值为
D．若直线分别与轴，轴交于两点，则的周长可以等于12
【答案】ABD
【分析】将原点代入直线方程解判断A，设，利用点到直线距离公式判断B，由B可得直线为圆的切线，利用直线和圆的位置关系判断C，利用特殊点判断选项D.
【详解】选项A：将代入直线得，即，其中，，
因为，所以无解，选项A正确；
选项B：设点，则点到直线的距离，
令解得，
故当点坐标为时，点到直线的距离为定值，选项B正确；
选项C：由选项B可知直线为圆的切线，
设点到切线的距离为，
所以，所以点到直线的最小值，选项C错误；
选项D：由图像可知随直线斜率由，的周长先减小，再增大，存在最小值，
不妨在圆上取一点作切线，记为，即，
所以，的周长为，选项D正确；
故选：ABD
17．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
【答案】AD
【分析】利用点到直线的距离判断A；确定最大时的情况判断B；取AB中点D，由线段PD长判断C；求出直线AB的方程判断D作答.
【详解】对于A，因为到直线的距离，即直线与圆相离，A正确；
对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时，最大，而，
显然是锐角，正弦函数在上单调递增，，
因此最大，当且仅当最大，当且仅当最小，则有，此时，
所以当为两定点时，满足的点只有1个，B错误；
对于C，令AB的中点为D，则，，点D在以O为圆心，为半径的圆上，
，显然当在上运动时，无最大值，C不正确；
对于D，设，当为切线时，，点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，于是直线为，即，
所以直线过定点，D正确.
故选：AD
18．（2023·广东汕头·统考一模）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（ ）
A．与关于直线对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线或直线上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
【答案】ACD
【分析】对于A，将线关于线对称转化为点关于线对称，利用点关于线对称的解决办法及点在直线上即可求解；
对于B，根据已知条件设出圆心，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式即可求解；
对于C，利用圆的标准方程得出圆心和半径，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式，结合点在直线上即可求解；
对于D，根据已知条件及选项C的结论，利用点到坐标轴的距离公式及半径的定义，结合点在直线上即可求解.
【详解】对于A，设直线：上任意一点关于直线对称的点为，则，解得，所以点在直线：上，所以与关于直线对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，当时，；当时，，故B错误；
对于C，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，所以圆心在直线或直线上，故C正确；
对于D，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆与两坐标轴都相切，得圆心到轴的距离为，到轴的距离为，所以且，即，解得或，当时，由题意可知，解得或，当时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确.
故选：ACD.
19．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知圆C：点P在直线l：上运动，以线段PC为直径的圆D与圆C相交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆相离 B．圆D的面积的最小值为
C．弦长的最大值为2 D．直线AB过定点
【答案】ABD
【分析】根据圆心到直线的距离与半径1的大小关系可判断A；设，利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可得半径的最小值，可判断B；结合点的坐标，可表示圆的方程，再求出相交弦的直线方程，从而可判断D；根据圆直径为2，弦不过圆心，所以小于2，可判断C.
【详解】解：由题设得圆的圆心，半径为1，
对于选项A：圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，A正确；
对于选项B：由于点在直线上运动，设，则圆的圆心，
所以圆的半径，
故当时半径有最小值，
所以圆的面积的最小值为，故B正确；
对于选项D：由上面的B选项可知圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程相减可得相交弦的直线方程为：
，
整理得，
令，解得，
所以直线过定点，故D正确；
对于选项C：由C得，弦的直线方程为：，
若弦过圆心，
则，方程无解，
所以弦不过圆心，从而小于圆直径，圆直径为2，故C错误．
故选：ABD．
20．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，圆C：，点P是圆C上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．设线段PA的中点为Q，则点Q到直线的距离的取值范围是
D．过直线上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】由圆的方程，设圆上一点，判断A，B，C的正误，数形结合，得，判断D的正误.
【详解】设，
对于A，，故A正确；
对于B，，，所以，
所以当，即P点为时，，故B错误；
对于C，，所以点Q到直线的距离，故C错误；
对于D，如图所示，，又CMTM，CNTN，
所以，，所以，
所以，所以，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
21．（2023·安徽·统考一模）已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为__________.
【答案】
【分析】求出直线所过定点A，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】直线l可化为，
令，所以直线l恒过定点，
易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，
圆，圆心，半径为5，
，
直线截圆所得弦长的最小值为.
故答案为：
22．（2023·山东淄博·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于，两点，若为正三角形，则实数______.
【答案】
【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.
【详解】由题意可知在圆上，如图：
设MN中点为H，连接PH，因为为正三角形，则PH过点O,且 ，
则直线MN的斜率为：，
故即为，
因为为正三角形，则O点为的中心，由中心及重心性质知，
，故 ，解得 ，
结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，即.
故答案为：，
23．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值
【详解】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
24．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若直线上存在点P，过点P作圆O：的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是____________．
【答案】
【分析】利用数形结合及数量积可求得P点轨迹为，根据题意可知直线与有交点，由直线和圆的位置关系即可求得k的取值范围.
【详解】如下图所示，已知圆心，半径
设，令，则，
且，所以，由可得：
，
整理得，
解得（舍去）或，则，即
所以满足条件的P点轨迹为，又点P在直线上，
所以直线与有交点，即，
解得，所以．
故答案为：
25．（2023·湖南张家界·统考二模）已知直线与圆心坐标为（为整数）且经过点的圆C相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，则下列说法正确的是______.
①圆C的标准方程为；
②若，则实数的值为2；
③若，则直线的方程为或；
④弦的中点M的轨迹方程为.
【答案】①③
【分析】根据点在圆上和直线与圆的位置关系求参数可求解①；利用直径所对的圆周角为直角可求解②；利用直线被圆截得的弦长公式可求解③；利用轨迹方程的求解方法结合的取值范围可求解④.
【详解】对于①，设圆C的半径为，
由题意可得圆C的方程为（t为整数），
根据点是圆C上的点，且圆C与直线相切，
得解得或（舍去），
则圆C的标准方程为，故①正确；
对于②，由①知圆C的标准方程为，圆心，
∵点在圆C上，且，
∴线段AB为圆C的直径，
∵直线与圆C相交于A，B两点，
∴圆心在直线上，∴，
解得，故②错误；
对于③，由①知圆C的半径为2，圆心，
则圆心C到直线m的距离，
∵，即，解得，
∴，整理得，
解得或，
则直线m的方程为或，故③正确；
对于④，直线m的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，
∴点M的轨迹是以线段CN为直径的圆弧，
则此圆弧的圆心为线段CN的中点，
其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
联立与，
解得两圆的交点坐标为与，
故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故④错误.
故答案为：①③.
26．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知为圆内一点，AB，CD是过点P且互相垂直的两条弦，则四边形ABCD面积S的最大值为________．
【答案】6
【分析】根据圆的半径、半弦长、弦心距的关系及矩形的面积公式得到矩形面积的表达式，再利用均值不等式求最值即可.
【详解】设圆心O到直线AB，CD的距离分别为，
则，，
所以，
又，，当且仅当时等号成立.
所以.
故答案为：6
27．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系；再将上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，解出r的范围.
【详解】因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，
所以，即，
又因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，
而，所以上任意一点P，都有，即，解得，
综上，.
故答案为：.
28．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为____________．
【答案】
【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，
即m的取值范围为.
故答案为：.
29．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．
【答案】
【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.
【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，
因为D也是AB中点，所以，
，
因为在圆内，所以，∴，
又因为，，所以，
∴，
∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，
∴两圆有且仅有一个公共点，
∴或，
或或0或2，所以a的取值集合．
故答案为：.
30．（2023·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________．
【答案】##
【分析】设，，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦所在直线的方程，由直线与圆相切，得，求出m的最大值.
【详解】设点，，，，
因为分别以点A，B为切点作圆的切线，．
设直线，的交点为，所以，则，
即，所以，因为，
所以，即是方程的解，
所以点在直线上，
同理可得在直线上，
所以弦所在直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以，
解得，得，
即的最大值为．
故答案为：3.5
专题14 直线与圆综合问题（单选+多选+填空）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点，若在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.
【详解】设，由，得，
整理得，即；
记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，
所以，即，解得.
故选：C.
2．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知直角的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为，直角的直角顶点在圆上，
所以有，
因为直角的直角顶点为，
所以点A在以为直径的圆上，因此圆心坐标为，半径为，
因为点在圆上，
所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切，
所以有，
故选：C
3．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）过原点的动直线与圆交于不同的两点.记线段的中点为，则当直线绕原点转动时，动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件求可得点到的中点的距离为定值，由此可求点的轨迹，再求其轨迹长度.
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心为，半径为，
设的中点为，
因为线段的中点为，
所以，又原点在直线上，
所以，所以，
设，则，
如图，设圆与的交点为
联立，可得，，
则，
因为点在圆内，
所以点的轨迹方程为，，
因为，所以，
同理
由对称性可得，
所以圆弧的长度为.
故选：D.
4．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，，，
，
（当且仅当时取等号），
则当的面积最大时，，又，解得：.
故选：C.
5．（2023·福建福州·统考二模）已知，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解.
【详解】
由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时，长度最小，
此时圆心到对称轴的距离为4，
所以，解得或.
故选：D
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知圆C：，过点的直线与圆C交于A，B两点．若，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，取中点为，由勾股定理可得，然后再根据的坐标得到,列出方程即可得到.
【详解】
取中点为，则可得，
因为，则，即为等边三角形，
所以，，
在直角三角形中，，
则
又因为，即
所以，解得
故选:A
7．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为；若两条切线与轴分别交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用到切线的距离等于列方程，结合根与系数关系，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】解：由题知，切线的斜率存在，
设切线方程为，即.
设圆心到切线的距离为，
则，化简得，则，
设两条切线的斜率分别为，
则，.
在切线中，令，解得，
所以
，即，
所以，此时
故的最小值为.
故选：B.
8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.
【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，
，则，，设，，
则，整理得到，
故轨迹是以为圆心，半径的圆，
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，
同时在球上，故在两球的交线上，为圆.
球心距为，
为直角三角形，对应圆的半径为，
周长为.
故选：D
二、多选题
9．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．若是圆的一条直径，则的最小值为
D．直线恒过定点
【答案】ABD
【分析】利用勾股定理可求得切线长的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质以及的最小值，可判断C选项；设点，求出直线的方程，可求得直线恒过定点的坐标，可判断D选项.
【详解】圆心为，圆的半径为，由圆的几何性质可知，，.
对于A选项，，
当时，取最小值，且，
所以，，A对；
对于B选项，由切线长定理可知，，，，
所以，，所以，，B对；
对于C选项，易知为的中点，
，C错；
对于D选项，设点，则，
线段的中点为，，
所以，以为直径的圆的方程为，
即圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程作差可得，
即，故直线的方程为，
变形可得.
由可得，所以，直线恒过定点，D对.
故选：ABD.
10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知圆，点P为直线上一动点，下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相离
B．圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1
C．过点P向圆C引一条切线PA，A为切点，则的最小值为
D．过点P向圆C引两条切线PA和PB，A、B为切点，则直线AB过定点
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线的距离判断A，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断B，根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断C，求出过的直线方程，根据方程求定点判断D.
【详解】对于A，圆心到直线 的距离，
所以直线与圆相离，故A正确；
对于B，由A知，，故圆C上有2个点到直线l的距离等于1，故B错误；
对于C， ，当且仅当PC与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，设点，则，即，
由切线性质可知四点共圆，且圆的直径为，
所以圆的方程为，
两圆的方程作差，得公共弦所在直线方程为，
即，整理可得，
解方程，解得 ，
所以直线AB过定点，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·山东菏泽·统考一模）已知圆，下列说法正确有（ ）
A．对于，直线与圆都有两个公共点
B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是
C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4
D．圆上存在三点到直线距离均为1
【答案】BC
【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由，转化为求最小值即可；对于选项D，设圆心到直线的距离为d，比较与1的关系即可.
【详解】对于选项A，因为，即：，
所以，所以直线恒过定点，
又因为，所以定点在圆O外，
所以直线与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；
对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，
又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径，
所以，即：，解得：.故选项B正确；
对于选项C，，
又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：，
所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确；
对于选项D，因为圆O的圆心，半径，则圆心O到直线的距离为，
所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.故选项D错误.
故选：BC.
12．（2023·山东临沂·统考一模）已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（ ）
A．线段长的最大值为6 B．当直线与圆相切时，
C．以线段为直径的圆不可能过原点 D．的最大值为20
【答案】ABD
【分析】由定点到圆上点的距离范围可得A正确；根据切线长公式即可求得，根据直径所对圆周角为直角可知，当在轴上时以线段为直径的圆过原点；利用向量数量积的坐标表示即可得出结论.
【详解】根据题意可知的圆心，半径，如下图所示：
易知，当且仅当三点共线（且点在中间）时，等号成立，即A正确；
当直线与圆相切时，由勾股定理可得，所以B正确；
若以线段为直径的圆过原点，由直径所对圆周角为直角可得，
易知当在轴上时，满足题意；
所以以线段为直径的圆可能过原点，即C错误；
设点，易知，
则
所以，即的最大值为20，即D正确；
故选：ABD
13．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知．点分别在上．则（ ）
A．的最大值为9 B．的最小值为
C．若平行于x轴，则的最小值为 D．若平行于y轴，则的最大值为
【答案】AB
【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB正确；将沿轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，可求得的最小值为，同理可得的最大值为，即CD错误.
【详解】因为的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
所以,两圆相离；，两圆内含.
对于选项A：，当且仅当四点共线时取到等号，故A正确；
对于B：因为，所以两圆内含，则
，当且仅当四点共线时取到等号，故B正确．
对于C：试想一个将向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，如下图所示：
当平移到（图中虚线位置）时与相切，此时，
易知，所以，
所以，故C错误；
同理如下图所示：
当平移到（图中虚线位置）时与相切，作垂直于轴，，
所以，所以，
，
所以，即的最大值为，
可得D错误.
故选：AB
14．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则下列结论正确的是（ ）
A．当最大时，
B．当最大时，直线的方程为
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积的最小值为
【答案】BD
【分析】由题意可知：当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断选项；结合题意可知：四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断选项.
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，因为，，所以，
所以，因为，当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为，
因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，错对
因为为锐角，，且，
故当最小时，最大，此时最大，此时，错
由上可知，当最大时，且，
故四边形为正方形，且有，则的方程为，
联立可得即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，对
故选：．
15．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A．若直线l与圆M相切，则
B．当时，四边形的面积为
C．直线经过一定点
D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
16．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线一定不过原点
B．存在定点，使得点到直线的距离为定值
C．点到直线的最小值为
D．若直线分别与轴，轴交于两点，则的周长可以等于12
【答案】ABD
【分析】将原点代入直线方程解判断A，设，利用点到直线距离公式判断B，由B可得直线为圆的切线，利用直线和圆的位置关系判断C，利用特殊点判断选项D.
【详解】选项A：将代入直线得，即，其中，，
因为，所以无解，选项A正确；
选项B：设点，则点到直线的距离，
令解得，
故当点坐标为时，点到直线的距离为定值，选项B正确；
选项C：由选项B可知直线为圆的切线，
设点到切线的距离为，
所以，所以点到直线的最小值，选项C错误；
选项D：由图像可知随直线斜率由，的周长先减小，再增大，存在最小值，
不妨在圆上取一点作切线，记为，即，
所以，的周长为，选项D正确；
故选：ABD
17．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
【答案】AD
【分析】利用点到直线的距离判断A；确定最大时的情况判断B；取AB中点D，由线段PD长判断C；求出直线AB的方程判断D作答.
【详解】对于A，因为到直线的距离，即直线与圆相离，A正确；
对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时，最大，而，
显然是锐角，正弦函数在上单调递增，，
因此最大，当且仅当最大，当且仅当最小，则有，此时，
所以当为两定点时，满足的点只有1个，B错误；
对于C，令AB的中点为D，则，，点D在以O为圆心，为半径的圆上，
，显然当在上运动时，无最大值，C不正确；
对于D，设，当为切线时，，点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，于是直线为，即，
所以直线过定点，D正确.
故选：AD
18．（2023·广东汕头·统考一模）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（ ）
A．与关于直线对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线或直线上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
【答案】ACD
【分析】对于A，将线关于线对称转化为点关于线对称，利用点关于线对称的解决办法及点在直线上即可求解；
对于B，根据已知条件设出圆心，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式即可求解；
对于C，利用圆的标准方程得出圆心和半径，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式，结合点在直线上即可求解；
对于D，根据已知条件及选项C的结论，利用点到坐标轴的距离公式及半径的定义，结合点在直线上即可求解.
【详解】对于A，设直线：上任意一点关于直线对称的点为，则，解得，所以点在直线：上，所以与关于直线对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，当时，；当时，，故B错误；
对于C，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，所以圆心在直线或直线上，故C正确；
对于D，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆与两坐标轴都相切，得圆心到轴的距离为，到轴的距离为，所以且，即，解得或，当时，由题意可知，解得或，当时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确.
故选：ACD.
19．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知圆C：点P在直线l：上运动，以线段PC为直径的圆D与圆C相交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆相离 B．圆D的面积的最小值为
C．弦长的最大值为2 D．直线AB过定点
【答案】ABD
【分析】根据圆心到直线的距离与半径1的大小关系可判断A；设，利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可得半径的最小值，可判断B；结合点的坐标，可表示圆的方程，再求出相交弦的直线方程，从而可判断D；根据圆直径为2，弦不过圆心，所以小于2，可判断C.
【详解】解：由题设得圆的圆心，半径为1，
对于选项A：圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，A正确；
对于选项B：由于点在直线上运动，设，则圆的圆心，
所以圆的半径，
故当时半径有最小值，
所以圆的面积的最小值为，故B正确；
对于选项D：由上面的B选项可知圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程相减可得相交弦的直线方程为：
，
整理得，
令，解得，
所以直线过定点，故D正确；
对于选项C：由C得，弦的直线方程为：，
若弦过圆心，
则，方程无解，
所以弦不过圆心，从而小于圆直径，圆直径为2，故C错误．
故选：ABD．
20．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，圆C：，点P是圆C上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．设线段PA的中点为Q，则点Q到直线的距离的取值范围是
D．过直线上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】由圆的方程，设圆上一点，判断A，B，C的正误，数形结合，得，判断D的正误.
【详解】设，
对于A，，故A正确；
对于B，，，所以，
所以当，即P点为时，，故B错误；
对于C，，所以点Q到直线的距离，故C错误；
对于D，如图所示，，又CMTM，CNTN，
所以，，所以，
所以，所以，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
21．（2023·安徽·统考一模）已知圆，直线（是参数），则直线被圆截得的弦长的最小值为__________.
【答案】
【分析】求出直线所过定点A，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】直线l可化为，
令，所以直线l恒过定点，
易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，
圆，圆心，半径为5，
，
直线截圆所得弦长的最小值为.
故答案为：
22．（2023·山东淄博·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于，两点，若为正三角形，则实数______.
【答案】
【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.
【详解】由题意可知在圆上，如图：
设MN中点为H，连接PH，因为为正三角形，则PH过点O,且 ，
则直线MN的斜率为：，
故即为，
因为为正三角形，则O点为的中心，由中心及重心性质知，
，故 ，解得 ，
结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，即.
故答案为：，
23．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】设，利用与圆的关系，得到，，进而得到点均在以为直径的圆上，进而得到圆的方程，则直线为两圆的公共弦，进而可求出直线以及该直线所过的定点，即可求得的最小值
【详解】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
24．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若直线上存在点P，过点P作圆O：的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是____________．
【答案】
【分析】利用数形结合及数量积可求得P点轨迹为，根据题意可知直线与有交点，由直线和圆的位置关系即可求得k的取值范围.
【详解】如下图所示，已知圆心，半径
设，令，则，
且，所以，由可得：
，
整理得，
解得（舍去）或，则，即
所以满足条件的P点轨迹为，又点P在直线上，
所以直线与有交点，即，
解得，所以．
故答案为：
25．（2023·湖南张家界·统考二模）已知直线与圆心坐标为（为整数）且经过点的圆C相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，则下列说法正确的是______.
①圆C的标准方程为；
②若，则实数的值为2；
③若，则直线的方程为或；
④弦的中点M的轨迹方程为.
【答案】①③
【分析】根据点在圆上和直线与圆的位置关系求参数可求解①；利用直径所对的圆周角为直角可求解②；利用直线被圆截得的弦长公式可求解③；利用轨迹方程的求解方法结合的取值范围可求解④.
【详解】对于①，设圆C的半径为，
由题意可得圆C的方程为（t为整数），
根据点是圆C上的点，且圆C与直线相切，
得解得或（舍去），
则圆C的标准方程为，故①正确；
对于②，由①知圆C的标准方程为，圆心，
∵点在圆C上，且，
∴线段AB为圆C的直径，
∵直线与圆C相交于A，B两点，
∴圆心在直线上，∴，
解得，故②错误；
对于③，由①知圆C的半径为2，圆心，
则圆心C到直线m的距离，
∵，即，解得，
∴，整理得，
解得或，
则直线m的方程为或，故③正确；
对于④，直线m的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，
∴点M的轨迹是以线段CN为直径的圆弧，
则此圆弧的圆心为线段CN的中点，
其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
联立与，
解得两圆的交点坐标为与，
故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故④错误.
故答案为：①③.
26．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知为圆内一点，AB，CD是过点P且互相垂直的两条弦，则四边形ABCD面积S的最大值为________．
【答案】6
【分析】根据圆的半径、半弦长、弦心距的关系及矩形的面积公式得到矩形面积的表达式，再利用均值不等式求最值即可.
【详解】设圆心O到直线AB，CD的距离分别为，
则，，
所以，
又，，当且仅当时等号成立.
所以.
故答案为：6
27．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系；再将上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，解出r的范围.
【详解】因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，
所以，即，
又因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，
而，所以上任意一点P，都有，即，解得，
综上，.
故答案为：.
28．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为____________．
【答案】
【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，
即m的取值范围为.
故答案为：.
29．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．
【答案】
【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.
【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，
因为D也是AB中点，所以，
，
因为在圆内，所以，∴，
又因为，，所以，
∴，
∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，
∴两圆有且仅有一个公共点，
∴或，
或或0或2，所以a的取值集合．
故答案为：.
30．（2023·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为__________．
【答案】##
【分析】设，，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即弦所在直线的方程，由直线与圆相切，得，求出m的最大值.
【详解】设点，，，，
因为分别以点A，B为切点作圆的切线，．
设直线，的交点为，所以，则，
即，所以，因为，
所以，即是方程的解，
所以点在直线上，
同理可得在直线上，
所以弦所在直线的方程为，
因为直线与圆相切，所以，
解得，得，
即的最大值为．
故答案为：3.5
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