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备战2024年新高考数学专题训练专题15 圆锥曲线综合问题（单选+填空）（新高考通用）
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这是一份备战2024年新高考数学专题训练专题15 圆锥曲线综合问题（单选+填空）（新高考通用），文件包含专题15圆锥曲线综合问题单选+填空新高考通用原卷版docx、专题15圆锥曲线综合问题单选+填空新高考通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
专题15 圆锥曲线综合问题（单选+填空） （新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得的值.
【详解】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，
，则，
，解得或（舍）.
故选：B.
2．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若椭圆的左焦点关于对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由题意求出，代入椭圆的方程得，，化简即可得出答案.
【详解】设，设，则由题意可得：，
解得：，则，代入椭圆的方程得，.
又，可得，所以，
所以离心率为.
故选：C.
3．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，
即,解得或,又因为,即.
故选：A
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由双曲线的定义可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的关系式，从而求得答案.
【详解】设，由双曲线的定义得，，，
由得，
解得，所以，，
在中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即双曲线的离心率 ，
故选：C．
5．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由得出，，，在中利用勾股定理得出离心率.
【详解】解：M为PQ中点，，∴ 等腰三角形．
令，则，，，
∴，∴，
∴，，，
，，，，
∴中，，
∴，∴．
故选：C．
6．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线C：（，）的左顶点为，右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．若，，成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】不妨设渐近线方程为，计算点坐标得到，，，根据等差数列性质得到，解得答案.
【详解】，，不妨设渐近线方程为，则直线为：，
，解得，故，，，
，，成等差数列，故，整理得到，
解得或（舍）.
故选：B
7．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出椭圆左焦点坐标为，由题得，解不等式得到，再解不等式即得解.
【详解】点在双曲线：上，所以.
所以椭圆左焦点坐标为.
因为，所以,
所以.
因为，所以.
点为椭圆内一点，所以，
所以或.
综上：.
故选：A
8．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设在左支，
设右焦点为，连接，
由对称性知四边形为平行四边形，
由得，
由双曲线定义知：，
所以，
因为，所以
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，所以，
则C的渐近线方程为.
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
9．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限，
到渐近线的距离为，
即，设，则，，
由得，
故，，
.
故选:C
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围.
【详解】由，得 ，得，
又，则，
∴，即，
又，∴．
故选：B．
11．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
12．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故选：A
13．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，不妨令点A在直线上，，如图，
因为，则，而，即有，
，，由知，点在y轴同侧，
于是，，，
在中，，由得：
，整理得：，化简得，解得或（舍去），
所以，，双曲线方程为.
故选：A
14．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程和切点坐标，写出切线方程，得M点坐标，由M的位置，求得离心率.
【详解】因为为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线，
切线斜率，所以PM的斜率，直线PM的方程为，
令，得，所以，由题， ，所以，．
故选：C．
15．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.
设，则，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故选：A.
16．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由可得.由，可得.
又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案.
【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论：
（1）极化恒等式：；
（2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线上.
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为．
故选：A．
18．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，，成等差数列，列式求解即可
【详解】设直线，
联立，可得，则①
联立，可得，则②
因为，所以，所以③
因为，所以，所以，即得④
因为，所以中点为的中点，所以,
因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以,
所以，代入①②③有，
因为且，又因为，则所以，所以，即
综上，
故选：D.
19．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.
【详解】设，设圆与轴相切于点，
则，
又，，
所以，
所以，
即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面积相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故选：B.
.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三期末）已知椭圆，过椭圆左焦点F任作一条弦（不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程由韦达定理代入求出，
再求出，即可求出，再由基本不等式即可求出的最小值.
【详解】设直线，
联立，
所以，，
由韦达定理可求得，
，
因为在椭圆上，所以，即，
由椭圆：可得，，
所以，
所以，
则，等号显然可以取得，故最小值为．
故答案为：.
21．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线分别交两条渐近线于，两点，若且，则的离心率为______.
【答案】2
【分析】设直线的方程为，通过联立方程组的方法求得的坐标，进而求得中点的坐标.对进行分类讨论，由化简求得双曲线的离心率.
【详解】设直线的方程为，由得，
同理可得，所以的中点
因为，所以
（1）当时，轴，此时，，
又由得，即
所以，这与矛盾，不合题意，所以
（2）当时，则，即，
则，即，
又由得
，
化简得，所以，所以.
由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.
故答案为：2
【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行求解.求解双曲线的离心率问题，有两个思路，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得或的关系式，由此来求得双曲线的离心率.
22．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，b－c为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为，则椭圆的离心率e的取值范围是____________．
【答案】
【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c，根据最小值为与可得，根据b＞c易得，结合两式即可求解.
【详解】依题意，如图所示：
当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
化为，即．
解得．
可得．①
∵b＞c，
∴，
∴，
∴，
∴．②
解得．
由①②解得．
故椭圆离心率的取值范围为．
故答案为：．
23．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则以（e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意，，双曲线的一条渐近线方程为，
依题意，三角形是边长为的等边三角形，
所以到的距离是，
即，
所以对于抛物线，有，
所以抛物线方程为.
故答案为：
24．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则__________.
【答案】或
【分析】由题可设直线的方程为，，与抛物线联立可得交点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得的值.
【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，，
所以，则，
联立，消去得：，恒成立，
所以，所以，则，
又，
整理得：，所以，解得或.
故答案为：或.
25．（2023·湖北·统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．
【答案】2
【分析】由题可得，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.
【详解】由点在抛物线上得：，即,
所以抛物线C的方程为：,
设直线的方程为，，,
由直线与的倾斜角互补得，
即，所以,
联立，得，
所以，,
所以，即，所以,
所以
．
故答案为：2.
26．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________.
【答案】
【分析】根据题意设直线的方程为，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果.
【详解】如图，易知过点且与直线相切的圆就是以为直径的圆，设，
则，由有，
设直线的方程为，代入有，
所以，结合，得.
故答案为:
27．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.
【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，
联立方程组，可得，
则，.
因为为线段的中点，所以的坐标为.
又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，
解得，又，所以，
所以，故.
故答案为：2.
28．（2023·广东茂名·统考一模）已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是______.
【答案】
【分析】先求得的坐标，根据三角形的内心以及角平分线定理以及的内心到轴的距离的范围，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以，，则.
因为A是线段BD的中点，又轴，
所以，，
所以的内心G在线段EA上.
因为DG平分，所以在中所以，
设，所以，
因为G到y轴的距离不小于，∴，
∴.
∴，故.
故答案为：
29．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点的直线交该抛物线于两点，则直线与直线的斜率之和为________．
【答案】
【分析】过分别作轴与准线的垂线，利用直角三角形的边角关系以及直线斜率与倾斜角的关系，即可得直线与直线的斜率之和.
【详解】如图，过作的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，连接，
则，
，
因为，所以，即.
故答案为：.
30．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知椭圆C:的离心率为，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若，则的面积为______．
【答案】##
【分析】设右焦点为,连接, 由中位线知，再由及弦的长可以求出值，再由长及原点到的距离求出的面积.
【详解】
设右焦点为,连接,
为的中点,为中点,
,同理，
,，
,
,
椭圆方程可化为,
设直线, ，
由得，
,
，
，
，
，
，
原点到直线的距离为，
所以，
故答案为:
【点睛】椭圆中两个周长为定值的三角形：
若过椭圆焦点的直线与椭圆交于两点，另一焦点为，
①周长为定值；
②周长为定值；
这两个三角形的边长为焦半径时可以与椭圆的定义联系在一起使用，而三角形的周长也可以与三角形内切圆半径结合使用.
专题15 圆锥曲线综合问题（单选+填空） （新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得的值.
【详解】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，
，则，
，解得或（舍）.
故选：B.
2．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若椭圆的左焦点关于对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由题意求出，代入椭圆的方程得，，化简即可得出答案.
【详解】设，设，则由题意可得：，
解得：，则，代入椭圆的方程得，.
又，可得，所以，
所以离心率为.
故选：C.
3．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，
即,解得或,又因为,即.
故选：A
4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由双曲线的定义可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的关系式，从而求得答案.
【详解】设，由双曲线的定义得，，，
由得，
解得，所以，，
在中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即双曲线的离心率 ，
故选：C．
5．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由得出，，，在中利用勾股定理得出离心率.
【详解】解：M为PQ中点，，∴ 等腰三角形．
令，则，，，
∴，∴，
∴，，，
，，，，
∴中，，
∴，∴．
故选：C．
6．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线C：（，）的左顶点为，右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．若，，成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】不妨设渐近线方程为，计算点坐标得到，，，根据等差数列性质得到，解得答案.
【详解】，，不妨设渐近线方程为，则直线为：，
，解得，故，，，
，，成等差数列，故，整理得到，
解得或（舍）.
故选：B
7．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出椭圆左焦点坐标为，由题得，解不等式得到，再解不等式即得解.
【详解】点在双曲线：上，所以.
所以椭圆左焦点坐标为.
因为，所以,
所以.
因为，所以.
点为椭圆内一点，所以，
所以或.
综上：.
故选：A
8．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设在左支，
设右焦点为，连接，
由对称性知四边形为平行四边形，
由得，
由双曲线定义知：，
所以，
因为，所以
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，所以，
则C的渐近线方程为.
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
9．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限，
到渐近线的距离为，
即，设，则，，
由得，
故，，
.
故选:C
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得，结合，得关于的不等式，从而求出的范围.
【详解】由，得 ，得，
又，则，
∴，即，
又，∴．
故选：B．
11．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
12．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故选：A
13．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，不妨令点A在直线上，，如图，
因为，则，而，即有，
，，由知，点在y轴同侧，
于是，，，
在中，，由得：
，整理得：，化简得，解得或（舍去），
所以，，双曲线方程为.
故选：A
14．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程和切点坐标，写出切线方程，得M点坐标，由M的位置，求得离心率.
【详解】因为为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线，
切线斜率，所以PM的斜率，直线PM的方程为，
令，得，所以，由题， ，所以，．
故选：C．
15．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.
设，则，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故选：A.
16．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由可得.由，可得.
又由内切圆的圆心在直线上，可得，据此可得答案.
【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，
.
因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则
，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.
如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.
又由切线性质，可知，则
.
则离心率为.
故选：D
【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论：
（1）极化恒等式：；
（2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线上.
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为．
故选：A．
18．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，，成等差数列，列式求解即可
【详解】设直线，
联立，可得，则①
联立，可得，则②
因为，所以，所以③
因为，所以，所以，即得④
因为，所以中点为的中点，所以,
因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以,
所以，代入①②③有，
因为且，又因为，则所以，所以，即
综上，
故选：D.
19．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.
【详解】设，设圆与轴相切于点，
则，
又，，
所以，
所以，
即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则，
所以，
所以，所以，
∴，
∴，
由三角形面积相等，得，
，
，
，
所以，
，即得.
故选：B.
.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三期末）已知椭圆，过椭圆左焦点F任作一条弦（不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程由韦达定理代入求出，
再求出，即可求出，再由基本不等式即可求出的最小值.
【详解】设直线，
联立，
所以，，
由韦达定理可求得，
，
因为在椭圆上，所以，即，
由椭圆：可得，，
所以，
所以，
则，等号显然可以取得，故最小值为．
故答案为：.
21．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线分别交两条渐近线于，两点，若且，则的离心率为______.
【答案】2
【分析】设直线的方程为，通过联立方程组的方法求得的坐标，进而求得中点的坐标.对进行分类讨论，由化简求得双曲线的离心率.
【详解】设直线的方程为，由得，
同理可得，所以的中点
因为，所以
（1）当时，轴，此时，，
又由得，即
所以，这与矛盾，不合题意，所以
（2）当时，则，即，
则，即，
又由得
，
化简得，所以，所以.
由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.
故答案为：2
【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行求解.求解双曲线的离心率问题，有两个思路，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得或的关系式，由此来求得双曲线的离心率.
22．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，b－c为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为，则椭圆的离心率e的取值范围是____________．
【答案】
【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c，根据最小值为与可得，根据b＞c易得，结合两式即可求解.
【详解】依题意，如图所示：
当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候，最小值，且最小值为＝a－c．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
化为，即．
解得．
可得．①
∵b＞c，
∴，
∴，
∴，
∴．②
解得．
由①②解得．
故椭圆离心率的取值范围为．
故答案为：．
23．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则以（e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意，，双曲线的一条渐近线方程为，
依题意，三角形是边长为的等边三角形，
所以到的距离是，
即，
所以对于抛物线，有，
所以抛物线方程为.
故答案为：
24．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则__________.
【答案】或
【分析】由题可设直线的方程为，，与抛物线联立可得交点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得的值.
【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，，
所以，则，
联立，消去得：，恒成立，
所以，所以，则，
又，
整理得：，所以，解得或.
故答案为：或.
25．（2023·湖北·统考模拟预测）已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．
【答案】2
【分析】由题可得，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.
【详解】由点在抛物线上得：，即,
所以抛物线C的方程为：,
设直线的方程为，，,
由直线与的倾斜角互补得，
即，所以,
联立，得，
所以，,
所以，即，所以,
所以
．
故答案为：2.
26．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________.
【答案】
【分析】根据题意设直线的方程为，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果.
【详解】如图，易知过点且与直线相切的圆就是以为直径的圆，设，
则，由有，
设直线的方程为，代入有，
所以，结合，得.
故答案为:
27．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.
【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，
联立方程组，可得，
则，.
因为为线段的中点，所以的坐标为.
又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，
解得，又，所以，
所以，故.
故答案为：2.
28．（2023·广东茂名·统考一模）已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是______.
【答案】
【分析】先求得的坐标，根据三角形的内心以及角平分线定理以及的内心到轴的距离的范围，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以，，则.
因为A是线段BD的中点，又轴，
所以，，
所以的内心G在线段EA上.
因为DG平分，所以在中所以，
设，所以，
因为G到y轴的距离不小于，∴，
∴.
∴，故.
故答案为：
29．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点的直线交该抛物线于两点，则直线与直线的斜率之和为________．
【答案】
【分析】过分别作轴与准线的垂线，利用直角三角形的边角关系以及直线斜率与倾斜角的关系，即可得直线与直线的斜率之和.
【详解】如图，过作的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，连接，
则，
，
因为，所以，即.
故答案为：.
30．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知椭圆C:的离心率为，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若，则的面积为______．
【答案】##
【分析】设右焦点为,连接, 由中位线知，再由及弦的长可以求出值，再由长及原点到的距离求出的面积.
【详解】
设右焦点为,连接,
为的中点,为中点,
,同理，
,，
,
,
椭圆方程可化为,
设直线, ，
由得，
,
，
，
，
，
，
原点到直线的距离为，
所以，
故答案为:
【点睛】椭圆中两个周长为定值的三角形：
若过椭圆焦点的直线与椭圆交于两点，另一焦点为，
①周长为定值；
②周长为定值；
这两个三角形的边长为焦半径时可以与椭圆的定义联系在一起使用，而三角形的周长也可以与三角形内切圆半径结合使用.
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