备战2024年新高考数学专题训练专题17 等式与不等式综合问题（单选+填空）（新高考通用）

专题17 等式与不等式综合问题（单选+填空）（新高考通用）

一、单选题

1．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知且，则的最小值是（     ）

A．9 B．10 C． D．

【答案】D

【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.

【详解】因为，

所以，

当且仅当即时，等号成立.

结合可知，当时，最小值.

故选：D.

2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数满足成等差数列，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.

【详解】因为成等差数列，

所以，

所以，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故选：B.

3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.

【详解】正实数满足，

则，

当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，

要使不等式恒成立，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.

【详解】，且在上单调递减，

由得：，即，，

（当且仅当时取等号），

则的最小值为.

故选：B.

5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.

【详解】取，则不成立，故A错误；

由，当时，，所以，

即，故B错误；

取时，，而，

所以，故C错误；

由ABC错误，排除法知，故D正确.

故选：D

6．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数满足，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.

【详解】当时，，

当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；

当时，.

当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.

所以，的最小值为.

故选：A.

7．（2023·山东潍坊·校考一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.

【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，

当时，，此时；

，故；

，；

当时，，此时，，故；

，；

故ABC均错误；

D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，

设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确

故选：D

8．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若，且，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为16 D．没有最小值

【答案】A

【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可

【详解】由，得.

因为，所以

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

由得,

设函数，

则由，得在上至少一个零点，

此时，故存在，使得不等式中的等号成立，

故的最小值为.

故选：A

【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证

9．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C． D．

【答案】C

【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.

【详解】由已知，令，，

所以，，代入得：，

因为，，

所以

.

当且仅当时，即时等号成立.

的最小值为.

故选：C.

10．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.

【详解】由基本不等式，，故只需要即可，

即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.

当时，由于，原式可变形为，记，

根据对勾函数性质在上递减，在上递增，

于是在上递增，此时；

当时，由于，原式可变形为，记，

根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，

当，当，注意到，故当时，，故.

综上，.

故选：D

11．（2023·浙江·统考一模）若，则的最小值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.

【详解】由已知整理得

，

由柯西不等式得

，

当时取等号，

所以，即，

解得，所以的最小值为.

故选：C．

二、填空题

12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为的零点，可得方程，运算整理结合基本不等式求值.

【详解】时，关于的不等式恒成立，

，由，则；由，则，即为的零点，

∴，.

∴，当且仅当时，等号成立.

故答案为：.

13．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知，，是正实数，且，则最小值为__________.

【答案】

【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.

【详解】解：，由于，，是正实数，且，

所以

，当且仅当，即，所以时等号成立，

则的最小值为，所以，

当且仅当，即时等号成立，

则最小值为.

故答案为：.

14．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为_____．

【答案】

【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到与满足的关系式，将原式中的替换，再利用基本不等式求最小值即可.

【详解】曲线在点A处的切线可写作

设该切线在曲线上的切点为，

则有，消去t得

则

当且仅当，即时取得该最小值.

故答案为：.

15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】根据不等式特征可通过构造函数，利用函数单调性解不等式可得，再根据基本不等式即可求得的最小值是.

【详解】由题意可得将不等式变形成；

又因为都是正数，所以；

可构造函数，易知函数为增函数，

由可得，

即，根据函数单调性可得，

则，

当且仅当，即取等号，

因此的最小值是.

故答案为：

16．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值是______.

【答案】9

【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由已知条件得，

∵，∴，

又∵，，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：9.

17．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______.

【答案】##

【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值.

【详解】因为，

所以，

因为，所以，当且仅当，时等号成立，

所以当，时，取最大值，

所以当取最大值时，，，，

所以，

所以当时，取最小值.

故答案为：.

18．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是______．

【答案】2

【分析】设，，解出，，代入化简得

，利用基本不等式即可求出最值.

【详解】因为均为正实数，故设，，则

联立解得，，

，

当且仅当，即，即，即时取等号，

故答案为：2.

19．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若存在两项，使得，则的最小值为_____________.

【答案】

【分析】先根据可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可.

【详解】由，得，

两式相减得，

而，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

即.

又，即，得，

所以，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为.

故答案为：.

20．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为___________，

【答案】

【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并结合即可求得，便可得出.

【详解】由可得，

由可得，，

所以

，

当且仅当时，等号成立；

即的最小值为；

，

所以，即；

当且仅当时，等号成立；

即的最大值为；

所以.

故答案为：

21．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知正数a，b满足，则___________.

【答案】

【分析】利用基本不等式知，令，利用导数研究函数的单调性可知，进而可得，结合已知可得，由取等条件即可求解.

【详解】因为a，b都为正数，所以，

当且仅当，即时，等号成立.

构造函数，，

求导，令，得

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

可知在处取得最大值，故，即

所以，当且仅当时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以，又，

所以，且，，

即，所以

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性证明不等式，解题的关键是构造函数，，从而证得，再结合基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题.

22．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.

【答案】

【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.

【详解】函数且的图象过定点，

则，所以，

由，得，

则

令，则，

则

，

当且仅当，即，即时，取等号，

所以的最小值是.

故答案为：.

23．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】根据已知条件变形，再应用基本不等式求最小值即可.

【详解】

则

，当且仅当时，等号成立．

，

∴最小为，此时．

故答案为: .

24．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________．

【答案】2

【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.

【详解】由得，则

，

当且仅当时，此时，，或者，时等号成立，

所以的最大值为2．

故答案为：2.

25．（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.

【答案】4

【分析】把化为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到答案.

【详解】，

当且仅当即时，取等号，

故的最小值是4，

故答案为：.

26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．

【答案】2

【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.

【详解】因为，所以，又，所以

则，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

27．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）已知两个正数满足，则的最大值为__________.

【答案】2

【分析】先通分得到等式，再通过配方法得到等式，最后通过基本不等式得到的取值范围即可得到答案.

【详解】由得.所以，即，当且仅当时取等号.

又，所以，所以，则的最大值为2.

故答案为：2.

28．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．

【答案】

【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】设，

可得，解得，

所以，

，

当且仅当时，即等号成立，

则的小值为.

故答案为：9.

29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】设，令，要使恒成立，即恒成立. 求出最小值，令得到，再求出的取值范围即可.

【详解】设，令，

要使恒成立，即恒成立.

，

由可得，在上有一个解，

即，，

又，

，

因此当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

则，，

将代入，得，

设，，

令，解得.

因此当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

，即的取值范围是，

故的取值范围是.

故答案为：

30．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为，所以，

故，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，则的最小值为.

故答案为：.