备战2024年新高考数学专题训练专题27 数列大题综合（新高考通用）

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 专题27 数列大题综合 （新高考通用）

一、解答题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析

【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；
（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到，且，从而得到，写成符合要求的解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，解得：或.
因为，所以.
（2）法一：由（1）得，，
，
时；
时；
时；
时（舍），
当时，，不合题意；
满足条件的有三组.
法二：由（1）得，，
故，
所以，且，
所以，所以，，.
存在满足条件的有三组.
2．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列满足，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）先由（1）中的结论可得的通项公式，从而得到的通项公式，再由裂项相消法即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为当时，，所以，
所以，且，也满足，即首项为，公比为4的等比数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知数列满足，是以1为首项，2为公比的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由等比数列通项公式可得，可构造，利用常数列求解，也可根据，利用累加法求解；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意得，
法一：因为，即，
所以是常数列，
所以，故.
法二：当时，，，，，
等式两边分别相加，得
，
所以.
当时，也符合上式，故.
（2）因为
，
所以
.
4．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为Tn，若，求m.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由前项和与通项的关系，当时，得，两式作差得,再验证首项是否满足上式；
（2）将代入得，裂项相消法可得，再解方程得.
【详解】（1）因为①，
则当时，则，
当时，得②，
则①②得，则，又满足上式，
所以数列{}的通项公式为
（2）
所以
化简得：
，解得.
5．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，

.
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，n∈N*．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若对任意n∈N*恒成立，求a1．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据与的关系，利用相减法结合，可得，即可证明；
（2）由，令，可得等比数列的公比，则前n项和，，根据不等式对任意恒成立，结合数列的单调性，则可列不等式求得的值.
【详解】（1）证明：因为，，所以①，
当时，②，则①-②得：，因为，
所以，整理得：，即，所以数列是等比数列；
（2）解：由于，则当时，，整理得，
所以等比数列的公比，
则，，
若，因为，则，所以对任意恒成立，
又数列单调递增，所以，即，
则，所以，即.
7．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列满足.
(1)判断数列是否是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）由已知可得，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出；
（2）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1），故数列不是等比数列.
∵，
∴
同理

，
迭代得，即
所以.
（2），
所以.
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由通项与前项和的关系结合等差的定义证明即可；
（2）由等差数列通项公式得出，再由题设定义得出数列的通项公式．
【详解】（1）当时，
当n≥2时，，所以，
所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，得，
当n≥2时，，
当时，，不符合上式，
故．
9．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知数列满足，且.
(1)若是等比数列，且，求的值，并写出数列的通项公式；
(2)若是等差数列，公差，且，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）根据等比数列的定义，对分奇数偶数两种情况讨论即可求解；
（2）由累乘法求出，由裂项相消法可求得，再利用求出即可证明.
【详解】（1）依题意，因为，所以，公比，
所以，所以，
所以的奇数项和偶数项分别是公比为2的等比数列，得，
故，亦即.
（2）由，得，
由叠乘得，所以，
得，
因为，所以

，
因为，所以即，
得，
故.
10．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知数列满足，，数列为等比数列且公比，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，若________，记数列满足，求数列的前项和．
在①，②，，成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公比，进而判断数列为等差数列，再求出通项作答.
（2）选①②③，分别求出数列的通项，结合（1），利用分组求和法求解作答.
【详解】（1）因为，，，，
令得，又数列为等比数列，即有，而，解得，则，
因此，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）若选①，由（1）知数列是公比为2的等比数列，
由得，，解得，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以．
选②，由（1）及，，成等差数列得，即，，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以．
若选③，由（1）及得，解得，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，
所以．
11．（2023·福建厦门·统考二模）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，．
(1)求和；
(2)若，，求的前项和．
【答案】(1)或.
(2)

【分析】（1）根据条件列方程组求解；
（2）可求得，使用分组求和.
【详解】（1）由已知条件可得:
①，②，③，
由①②消去得:，
由①③得:，
所以，得或，
所以或.
（2）当时，，则，
所以，
所以
，
的前项和为




12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2．
(1)求，；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；；
(2).

【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解；
（2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与互为质数可求出，从而求得的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和.
【详解】（1）不超过9，且与其互质的数即为中排除掉3，6，9剩下的正整数，
则；
不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数，
则．
（2）表示任意相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个，
故分别取可得中与互质的正整数个数为，
所以，
所以．
设数列的前项和为．
，
∴，
两式相减得：

则．
13．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）设等差数列的前n项和为，.数列{bn}满足：对每个成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，n∈N*，证明：，n∈N*.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.

【分析】（1）设数列的公差为，根据已知求出，即得数列通项.求出根据已知即得数列通项；
（2）先求出再利用数学归纳法证明.
【详解】（1）解：设数列的公差为，
由题意得，解得，

.
数列满足：对每个成等比数列.

整理得，
解得.
（2）证明：，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，=0<2，不等式成立；
②假设n=k，（k∈N*）时不等式成立，即，
则当n=k+1时，


即n=k+1时，不等式也成立.
由①②得，n∈N*.
14．（2023·河北唐山·统考一模）已知数列的前项和为，满足．
(1)求；
(2)令，证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用，结合条件可得，再利用等差数列的求和公式计算即可.
（2）结合（1）可知，利用放缩，再结合裂项相消求和即可证明.
【详解】（1）因为，
所以由，
可得，
所以，，
即，
即.
（2），当时，．
当时，，
故．
综上，，．
15．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）各项均为正数的数列，其前n项和记为，且满足对，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析.

【分析】(1)结合递推式，可得，进而得，
得到数列是等差数列，进而可得通项公式；
(2)由，从第三项开始放缩，得，进而得证.
【详解】（1）由已知：对于， ， ，
则
∴ ，且数列各项均为正数
∴，
，因为，得，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故.
（2），，
故

，
所以.
16．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知数列的前n项和为，，且（）．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，由与的关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求得结果；
（2）根据题意，由裂项相消法即可求得，从而证明.
【详解】（1）由，得．
当时，，
所以，所以，
由于，所以，
因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，

，
，
因为，所以．
17．（2023·山东济宁·统考一模）已知数列的前项和为，且满足：.
(1)求证：数列为常数列；
(2)设，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据证明即可；
（2）先求出数列的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，
当时，，
当时，，
两式相减得，
即，所以，
所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列；
（2）由（1）得，
所以，
则
，
则，
两式相减得
，
所以.
18．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列
(2)设数列满足，求最小的实数，使得对一切正整数均成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意，将递推公式代入即可证明；
（2）根据题意和（1）的结论，利用分组求和法求得，然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以数列是一个首项为，公比为的等比数列.
（2）由知，当为偶数时，，
当为奇数时，
故

，
当时，，
则，
所以的最小值为．
19．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】(1) 设数列的公比为，由，可得，再由，可得，即可得数列的通项公式；
(2)由题意可得，，从而可得，又由，即可得.
【详解】（1）解：设数列的公比为，
则，
因为是各项均为正数的等比数列，
所以，
由，
得，
解得，
所以.
（2）证明：由（1）知，.
.

因为，
所以，
即.
20．（2023·湖北·统考模拟预测）设数列的前n项和为．已知，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)应用,结合等差数列定义证明即可;
(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消
【详解】（1）①，
当时，②，
①－②得：,
即，
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，．
当时，；当时，；
又满足上式，所以．
所以，记数列的前n项和为．
方法一：（两次错位相减）
，①
，②
①－②得，③
则，④
③－④得
，
所以．
方法二：（裂项）
因为，
所以
．
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足，，.
(1)证明：是等比数列
(2)求数列的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）由递推公式可得出，进而推得，即可证明；
（2）由（1）可知，，.分别求出奇数项的和以及偶数项的和，相加即可得到结果.
【详解】（1）证明：由已知可得，，
.
又时，，
所以，数列是等比数列，首项，公比.
（2）解：由（1）可知，.
则.
所以，
.
所以.
22．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）各项不为0的数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据递推公式得到，进而证明数列为等差数列；
（2）结合（1）可得，代入对任意恒成立，利用数列的单调性即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为各项不为0的数列满足，
两边同时取倒数，可得，所以，
，，解得.
数列为等差数列，且公差为3，首项为.
（2）由（1）可得，，
对任意恒成立，对任意恒成立，
令，
当时，；
当时，；
当时，单调递增，,
所以，

实数的取值范围为.
23．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为.若对于任意正整数n，均有恒成立，求m的最小值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）当时，求出，当时，利用求出，检验后得到答案；
（2）利用错位相减法得到，不等式转化为，令，作差法得到的单调性，从而得到的最大值，得到m的最小值.
【详解】（1）取，由，得；
当时，由，得，
两式相减得，整理得；
当n＝1时，也适合上式.
综上，；
（2）由（1）知，得
，，
两式相减得，
整理得.
由题意对于任意正整数n，均有恒成立，则，即恒成立.
设，由，
则当时，，即；
当时，，即.
于是的最大值为，所以，即m的最小值是.
24．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知为数列的前项和，，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用与的关系，整理数列的递推公式，根据构造法，可得通项，可得答案；
（2）写出数列的通项，利用裂项相消，可得，分奇偶两种情况，可得答案.
【详解】（1）由，得．
∴，则．∴，
∴数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴．∵，
∴．
（2）∵，
∴
∴

当为奇数时，．
当为偶数时，，是递增数列，∴．
综上得：．
25．（2023·湖南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)设数列满足，．求数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据与的关系，可得，根据等差数列的定义及通项公式求解即可；
（2）根据递推关系，利用累加法求通项公式即可.
【详解】（1）由，可得，
两式相减可得：，
化简可得，由正项数列知 ，
所以，
又，解得，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，由可得.
（2）由（1）知，
所以，
所以，，，，
由累加法可得，
，
所以.
26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，，．
(1)当时，求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）推导出，计算得出，即可得出当时，数列的通项公式；
（2）由（1）可求得，计算可得，利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】（1）当时，，所以，，即，
所以，，所以，，即，
因为，所以，当时，.
（2）解：由（1）可知，当时，，则，即，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，.
故，设数列的前项和为，
所以，，①
则，②
①②可得
，
因此，.
27．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知数列和满足，，，．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）计算，确定，，得到数列是首项为12，公比为8的等比数列，得到通项公式.
（2）确定数列是首项为，公比为8的等比数列，再利用分组求和法计算得到答案.
【详解】（1）由题设可得，，所以．
又因为，，
故，，
，，
所以，，
得，所以数列是首项为12，公比为8的等比数列，
故．
（2），又因为，，
故，
，
得，
所以数列是首项为，公比为8的等比数列，
故，
因为

所以．
28．（2023·广东茂名·统考一模）已知为数列的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，为数列的前n项和.求，并证明：.
【答案】(1)
(2)，证明见解析

【分析】（1）根据题设，利用的关系可推得，判断数列为等差数列，即可求得答案；
（2）由（1）求得的表达式，利用裂项求和求得，结合的的单调性，可证明结论.
【详解】（1）当时,，,则,
当时，，则,
两式相减得：
即
即
∵，∴,
∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.
（2）由（1）得，，
，
∵，∴，∴
又∵，∴随着n的增大而减少，从而随着n的增大面增大，
∴，
综上所述，.
29．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知数列，时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据的关系求通项公式；
(2)利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，①
所以当时，，②
①②可得，
所以，
当时，满足上式，
所以.
（2）因为，
且为各项非零，所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
30．（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式.
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将题设条件转化为，从而得到，进而求出公比，由此得解；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）当时,
即,又是等比数列,;
数列的通项公式为:.
（2）由（1）知,,
,

即.