吉林大学附属中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷

这是一份吉林大学附属中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林大学附中2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＝3 D．x＝0
2．（4分）函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（　　）
A．m≠5且n＝﹣2 B．n＝﹣2 C．m≠且n＝﹣2 D．m≠
3．（4分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
5．（4分）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
6．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上的图象上，连接AB，且AB∥x轴，BC＝2AC，连接AD，BD（　　）

A．3 B． C． D．
7．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，BM＝1，AM＝2（　　）

A． B．2 C． D．
8．（4分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
9．（4分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，那么DF的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）计算＝　 　．
12．（5分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 　 　．
13．（5分）关于x的一次函数y＝（3a﹣7）x+a﹣2的图象与y轴的交点在x的下方，且y随x的增大而减小　 　．
14．（5分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，那么点D的坐标是 　 　．
15．（5分）如图，已知△ABC中，若BC＝6，四边形DEFG是△ABC的内接的正方形，则正方形DEFG的边长是　 　．

16．（5分）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D），小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、6cm　 　cm．

三、解答题（每题10分，共30分）
17．（10分）解方程：
（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
18．（10分）已知点A（1，a），点B的横坐标为m（m＞1）均在正比例函数y＝2x的图象上的图象经过点A，过点B作BD⊥x轴于D的图象于点C，连接AC．
（1）当m＝2时，求直线AC的解析式；
（2）当AB＝2OA时，求BC的长；
（3）是否存在一个m，使得S△BOD＝3S△OCD，若存在，求出m的值，不存在

19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为20cm2？
（2）当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
（3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？


参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＝3 D．x＝0
【分析】直接利用分式有意义的则分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：分式有意义，
则x+4≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（　　）
A．m≠5且n＝﹣2 B．n＝﹣2 C．m≠且n＝﹣2 D．m≠
【分析】根据一次函数的定义得到n+3＝1，据此求得n的值．
【解答】解：∵函数y＝（2m﹣1）xn+6+（m﹣5）是关于x的一次函数，
∴n+3＝2且2m﹣1≠5，
解得 n＝﹣2且m≠．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
3．（4分）下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将每个选项的二次根式化简，同类二次根式即可直接合并，直接判断即可．
【解答】解：A.，能与，故符合题意；
B.，不能与，故不符合题意；
C.，不能与，故不符合题意；
D.，不能与，故不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查同类二次根式，解题关键是先将二次根式化成最简二次根式再进行判断．
4．（4分）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2+4x＝8，
配方得：x2+4x+2＝7，即（x+2）4＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（4分）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，
∴Δ＝b6﹣4ac＝（﹣3）5﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x7﹣3x+4＝5没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
6．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上的图象上，连接AB，且AB∥x轴，BC＝2AC，连接AD，BD（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】设点A的坐标是（m，n），根据题意得到mn＝﹣3，再根据AB∥x轴，BC＝2AC表示出点B的坐标，最后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：设点A的坐标是（m，n），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴mn＝4，
∵AB∥x轴，BC＝2AC的图象上，
∴点B的坐标为（﹣4m，n），
∵点D是x轴正半轴上一点，
∴△ABD的面积为：，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点A的坐标，根据反比例函数得到mn＝﹣3是解题的关键．
7．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，BM＝1，AM＝2（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】由条件AB＝2BC和平行四边形的性质可证明△MAB为直角三角形，根据勾股定理即可求出AB的长，进而得到CD的长．
【解答】解：∵M为CD中点，
∴CM＝DM＝CD＝，
∴∠DAM＝∠DMA，∠CBM＝∠CMB，
∵∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DMA，∠D＝2∠CMB
∴∠DMA+∠CMB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠DMA+∠CMB）＝90°，
即△MAB为直角三角形，
∵BM＝7，AM＝2，
∴CD＝AB＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等且平行．
8．（4分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】根据平行四边形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、AB＝DC，故此选项符合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．（4分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝4cmBD＝5cm，
∴BC＝＝7cm，
∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm7，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝cm，
故选：D．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种计算方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，那么DF的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，
∴＝＝，
∵AF＝21，
∴＝，
解得：DF＝12，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
二、填空题（每题5分，共30分）
11．（5分）计算＝　　．
【分析】利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
【解答】解
＝×﹣×
＝3﹣6
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（5分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 　﹣1　．
【分析】把x＝3代入方程得出9﹣3k﹣12＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝2得：9﹣3k﹣12＝2，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
13．（5分）关于x的一次函数y＝（3a﹣7）x+a﹣2的图象与y轴的交点在x的下方，且y随x的增大而减小　a＜2　．
【分析】y随x的增大而减小，说明x的系数小于0；图象与y轴的交点在x的下方，说明常数项小于0，据此作答．
【解答】解：由题意得：3a﹣7＜3，a﹣2＜0，
解得a＜，a＜2，
∴a＜8．
【点评】本题需注意应根据所给条件分别判断x的系数和常数项的符号，进而判断未知字母的值．
14．（5分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，那么点D的坐标是 　（2，4）　．
【分析】根据题意，画出图形，即可得出结论．
【解答】解：由题意，画出平行四边形ABCD

由图可知：D（2，4）．
故答案为：D（6，4）．
【点评】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
15．（5分）如图，已知△ABC中，若BC＝6，四边形DEFG是△ABC的内接的正方形，则正方形DEFG的边长是　　．

【分析】如图，作辅助线；证明DE＝DG＝MN（设为λ），得到AM＝AN﹣λ；证明△ADG∽△ABC，列出比例式，求出λ即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG＝MN（设为λ），则AM＝AN﹣λ；
∵BC＝6，△ABC的面积为12，
∴×6AN＝12，
∴AN＝4，AM＝4﹣λ；
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
解得：λ＝．
故答案为．

【点评】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答．
16．（5分）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D），小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、6cm　4.5　cm．

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴CD＝4.5，
答：实像CD的高度为8.5cm，
故答案为：4.7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．
三、解答题（每题10分，共30分）
17．（10分）解方程：
（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
【解答】解：（1）（x+2）2﹣x﹣7＝0，
则（x+2）3﹣（x+2）＝0，
∴（x+5）（x+2﹣1）＝7，
∴x+2＝0或x+7＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝﹣1；
（2）3x2+4x﹣2＝0，
a＝2，b＝3，
则Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×6×（﹣1）＝24，
∴x＝，
∴x8＝，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18．（10分）已知点A（1，a），点B的横坐标为m（m＞1）均在正比例函数y＝2x的图象上的图象经过点A，过点B作BD⊥x轴于D的图象于点C，连接AC．
（1）当m＝2时，求直线AC的解析式；
（2）当AB＝2OA时，求BC的长；
（3）是否存在一个m，使得S△BOD＝3S△OCD，若存在，求出m的值，不存在

【分析】根据图象上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（1）先求得B的坐标，进而求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）根据题意求得点B的横坐标为3，代入y＝2x求得纵坐标，把x＝3代入y＝，即可求得C的坐标，进而即可求得BC的长；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义求得S△OCD＝1，则S△BOD＝3S△OCD＝3，然后根据三角形面积公式得到•m•2m＝m2＝3，解方程求得m的轴．
【解答】解：∵点A（1，a），
∴a＝2×5＝2，
∴点A的坐标为（1，2），2m），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝1×8＝2，
∴则反比例函数的解析式为y＝，
（1）点B的横坐标为m（m＞8）正比例函数y＝2x的图象上，当m＝2时，
则点B的坐标为（8，4），
∴点C的横坐标为2，
代入y＝，求得纵坐标为1，
∴点C的坐标为（2，6），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
把A（1，2），5）代入得，
解得：a＝﹣1，b＝3，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（1，2），
∴点B的横坐标为7，
∴点B的坐标为（3，6），），
∴BC＝6﹣＝；
（3）∵S△OCD＝k＝，
∴S△BOD＝OD•BD＝2＝4，
解得m＝（负值已舍去）．
即存在m，使得S△BOD＝3S△COD．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为20cm2？
（2）当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
（3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？

【分析】（1）设出时间t，表示出每条线段的长度，利用面积公式列出方程即可．
（2）表示出△BPQ的面积，用△ABC面积减去△BPQ的面积等于108cm2，解方程即可．
（3）根据两边对应成比例，夹角相等，列出比例式即可，注意分类讨论对应边．
【解答】解：（1）解：设运动时间为ts（0≤t＜6），则PB＝（12﹣3t）cm．
由题意，得，
解得t1＝1，t3＝5．
故当移动1s或5s时，△BPQ的面积为20cm2．
（2）由题意，
，
解得t＝4．
故当移动3s时，四边形APQC的面积为108cm2；
（3）可分以下两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，即，解得t＝3．
②当△BPQ∽△BCA时，，即，解得．
综上所述，当移动3s或时．
【点评】本题考查了动点问题，相关知识点有：相似三角形的判定、分类讨论思想等，表示出线段的长度是解题关键．