上海市闵行中学2024届高三上学期开学考试数学试题

这是一份上海市闵行中学2024届高三上学期开学考试数学试题，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届闵行中学高三开学考数学试卷一、填空题1．已知集合，则__________．2．复数在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________．3．函数的定义域为__________．4．已知，则__________．5．的二项展开式中的常数项为__________．（用数字作答）6．点都在同一个指数函数的图像上，则__________．7．一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值__________．8．为抛物线上一点，其中为抛物线焦点，直线方程为为垂足，则__________．9．已知数列的前项和为，且满足，则__________．10．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__________．11．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为__________．12．设是以1为周期的函数，，若函数的值域为，则函数的值域为__________．二、单选题13．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件14．已知双曲线与有共同渐近线，则它们一定有相等的（    ）A．实轴长    B．虚轴长    C．焦距    D．离心率15．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数的个数为（    ）A．0    B．1    C．2    D．316．已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ）A．1个    B．2个    C．3个    D．无数个三、解答题17．已知等差数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值．18．在正三棱柱中，，求：（1）异面直线与所成角的大小；（2）四棱锥的体积．19．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值．20．已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点．（1）当直线的倾斜角为时，求直线的斜率；（2）当的面积为时，求点的横坐标；（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数．（1）求函数在处切线方程；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；（3）当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由．2024届闵行中学高三开学考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】【解析】．2．【答案】【解析】因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得．3．【答案】【解析】或，所以定义域为：．4．【答案】【解析】由诱导公式知，故填．5．【答案】160【解析】由二项式展开式的通项公式为，令，则常数项为．6．【答案】9【解析】设指数函数为，其中且，将代入函数解析式得，解得．7．【答案】【解析】由己知可得设正方体的棱长为，球的半径为，由题意可知，故可得，则，故，8．【答案】5【解析】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，根据抛物线定义可知，又因为直线方程为，所以9．【答案】【解析】因为，所以，所以是以2为公差的等差数列，所以．10．【答案】【解析】依题意是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，在区间递减，；在区间递增，．所以的解集．11．【答案】【解析】设物品原价格为1，因为，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为：．12．【答案】【解析】设，则，所以，，故函数在上的值域为，同理，在上的值域为，在上的值域为在上的值域为．因此，函数的值域为．二、单选题13．【答案】A【解析】因为“”“”，但“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故选A．14．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，的渐近线方程为，由题意可得，又，所以，又由推不出，所以推不出，故选：D15．【答案】C【解析】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；②假设存在不相等，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令，则，存在．故选：C．16．【答案】C【解析】因为对任意实数均有，所以对任意实数均有，又因为，所以只能是对任意实数均有成立，由三角函数的图象与性质可知，必有或，若，此时方程可化为，根据三角函数的周期性，此时，解得，又，所以；若，此时方程可化为，根据三角函数的周期性，此时，解得，又，所以；若，又，易知；综上满足条件的有序实数对为共有3个，故选：C三、解答题17．【答案】（1）；    （2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以．（2）因为，所以，因为，所以，即，又，所以．18．【答案】（1）．    （2）【解析】（1）∵正三棱柱，是异面直线与所成角，在中，，，，∴异面直线与所成角大小为．（2）∵正三棱柱中，，，，∴四棱锥的体积．19．【答案】（1）75人；（2）7．【解析】（1）依题意得解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：得，整理得故有当且仅当时等号成立，所以，故正整数的最大值为720．【答案】（1）；（2）或；（3）1【解析】（1）因为直线的倾斜角为，且，所以直线的方程为：，由，得，所以直线的斜率是；（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得，设，则，所以，所以，解得，即，所以直线的方程为或，由，得；由，得；（3）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，设，则，所以，因为，所以，所以．21．【答案】（1）；（2）；（3）1个，理由见解析【解析】（1）由于函数，故，故，且，所以函数在处切线方程为，即；（2）对任意的恒成立，即，即对任意的恒成立，令，则，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，故时，函数取得极大值也即最大值，则，所以，则的取值范围为，即；（3）由可得，对于任意的，由，当时，单调递增，，故在上有唯一实根；当时，令，则，而，当时，递减，当时，递增，故，所以，故在上没有实根；综合上述，对于任意的，函数有且只有一个零点．