数学必修 第一册2.2.2 不等式的解集课时练习

人教B版（2019）必修第一册《2.2.2 不等式的解集》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）设集合，，则集合和集合的关系是

A.  B.  C.  D.

2.（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是

A. 的定义域为
B. 的值域为
C. ，
D. 任意一个非零有理数，对任意恒成立

3.（5分）是的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.（5分）已知等比数列的公比为且，记、则“且”是“为递增数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.（5分）若，是任意实数，且，则

A.  B.
C.  D.

6.（5分）给定下列四个命题：命题①，；命题②：；命题③：；命题④：其中真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若，则的值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）函数，的图象大致是

A.  B.
C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列命题是真命题的是

A. 所有的素数都是奇数
B. 有一个实数，使
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 命题“，”的否定是“，”

10.（5分）下列函数中，最小值为的有

A.  B.
C.  D.

11.（5分）若，满足，则

A.  B.  C.  D.

12.（5分）设全集为，下列命题正确的是

A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则  D. 若，则

13.（5分）已知，，，，则

A.  B.
C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）不等式组与不等式(x-2)(x-5)≤0同解，则a的取值范围是____________________.

15.（5分）某单位工会组织名会员观看《光荣与梦想》、《觉醒年代》、《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：

则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有 ______人，三部电视剧中，看过至少一部的有 ______人．

16.（5分）函数的导函数是奇函数，则实数______．

17.（5分）若对恒成立，且存在，使得成立，则的取值范围为________.

18.（5分）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要共个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下： 
已知数列满足：为正整数， 
问：当时，试确定使得需要 ______ 步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为 ______ .

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）集合，集合 
当时，求； 
若，求实数的取值范围．

20.（12分）已知，，，是第三象限角，求，，的值.

21.（12分）立德中学高一年级共有名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有人，参加体育社团组织的学生有人并非每个学生必须参加某个社团求在高一年级的报名学生中，同时参加这个社团的最多有多少人？最少有多少人？

22.（12分）已知， 
求的值； 
求的值.

23.（12分）记的内角，，的对边分别为，，，且边上的高

若，求

已知中角和是锐角，求的最小值.

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：，， 
， 
故选： 
由集合与集合间的关系判断即可． 
此题主要考查了集合与集合间的关系应用，属于基础题．
 

2.【答案】D;

【解析】解：函数， 
所以，的定义域为，值域为，故、错误； 
当为有理数时，，； 
当为无理数时，，， 
所以，，故错误； 
由于非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则也是无理数， 
根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对任意恒成立，故正确． 
故选： 
由的解析式可求得的定义域和值域，即可判断选项，；根据函数的解析式，可得不管是有理数还是无理数，均有，即可判断选项；根据函数的解析式，结合有理数和无理数的性质，即可判断选项 
本题给出特殊函数表达式，求函数的定义域、值域和周期性，同时考查了有理数、无理数的性质和分类讨论思想，属于中档题．
 

3.【答案】D;

【解析】略
 

4.【答案】B;

【解析】解：由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立， 
当，不论取何值，总存在，不满足要求 
当，<q<1, 
，则，不满足要求 
，总存在，不满足要求 
当，，则，不满足 
，若，，显然，即，不满足 
， 则在上恒成立，满足. 
所以为递增数列有且 
综上， “且”是“为递增数列”的必要不充分条件. 
故选： 
分析：由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、，，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
 

5.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查比较大小，涉及不等式的性质，对数函数、指数函数与幂函数的性质，属于基础题． 
由题意可知，对于选项、、举出反例判断即可，根据指数函数的性质可判断 
 
解：若，，则，故错误； 
若、为负数，则无意义，故错误； 
若，则，故错误； 
因为在上单调递减，， 
所以，故正确． 
故选
 

6.【答案】C;

【解析】解：对于命题①：，，， 
故，错误； 
对于命题②：在递减，故正确； 
对于命题③：，，，， 
故正确； 
对于命题④：，，， 
，，故正确； 
其中真命题的个数是个， 
故选： 
根据不等式的基本性质分别判断即可． 
此题主要考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是基础题．
 

7.【答案】D;

【解析】解：由于，整理得， 
所以， 
故， 
整理得 
故选： 
直接利用倍角公式和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 
此题主要考查的知识要点：倍角公式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

8.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的性质，判断函数的奇偶性，再构造函数，求导并判断其在上是减函数，进而判断的值，即可得出结论. 
 
解：，所以函数是偶函数，图象关于轴对称， 
令，，， 
所以函数在是减函数，所以，所以，所以选项符合题意， 
故选 
 

 

9.【答案】CD;

【解析】解：对于选项是素数，不是奇数，选项错误； 
对于选项，故错误； 
对于选项命题“，”的否定是“，”，故正确； 
对于选项命题“，”的否定是“，“，故正确． 
故选： 
选项可以举出反例； 
选项由可以判断错误； 
选项由全称命题和特称命题的否定可以判断正确． 
此题主要考查了全称命题和特称命题的真假判断及否定，属于基础题．
 

10.【答案】AC;

【解析】解；对于：， 
当且仅当时，即取等号，此时取得最小值，故A成立； 
对于：由可得， 
令，在上单调递减， 
当时取得最小值，故B不成立； 
对于：令，则，则， 
当且仅当时，即取等号，此时取得最小值，成立； 
对于，由于，所以设， 
当时，， 
当且仅当时，即取等号，此时取得最小值； 
当时，， 
当且仅当时，即取等号，此时取得最大值． 
综上述或，故D不成立． 
故选：． 
由已知结合基本不等式及函数的单调性分别检验各选项即可判断． 
此题主要考查了基本不等式的应用条件在求解最值中的应用，属于基础题．
 

11.【答案】BC;

【解析】解：由可得，， 
令，则， 
，故错，对， 
， 
故对，错， 
故选： 
原等式可化为，，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出与的取值范围即可． 
此题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．
 

12.【答案】ACD;

【解析】解：对于选项，若，则，即，故正确； 
对于选项，考虑，，满足，但，，故错误； 
对于选项，若，则，即，故正确； 
对于选项，若，则有，故正确． 
故选： 
由集合的交、并、补集运算说明正确；举反例可得错误． 
此题主要考查交、并、补集的混合运算，考查集合的运算法则，是基础题．
 

13.【答案】BC;

【解析】 
 

此题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，是中档题. 
先根据，判断角的范围，再根据求；根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求

解：①因为，所以，

又，故有，，

解出，故错误；

②，

由①知：，所以，

所以，故正确；

③由①知：，而，所以，

又，所以，

解得，

所以，

又因为，，

所以，有，故正确；

④由，

由③知，，

两式联立得：，故错误．

故选
 

14.【答案】（-∞，2];

【解析】略
 

15.【答案】38  68;略;

【解析】解：根据题意，将数据利用韦恩图表示，如图所示： 
 
由图可知看过《跨过鸭绿江》的共有人； 
三部电视剧中，看过至少一部的有人． 
故答案为：； 
根据条件画出对应的图，进而即可求解． 
此题主要考查图的实际应用，考查直观想象的核心素养，属于基础题．
 

16.【答案】3;

【解析】解：根据题意，函数，  
其导数，  
又由其导函数是奇函数，则，  
解可得，  
故答案为： 
根据题意，求出函数的导数，由奇函数的性质可得，分析可得答案，即可得答案． 
该题考查导数的计算以及奇函数的性质，关键是求出函数的导数，属于基础题．
 

17.【答案】;

【解析】

 
此题主要考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题. 
利用方程思想得到，利用单调性明确函数的最大值即可. 
【详解】 
， 
以代入得， 
消去得， 
若，则单调递增，， 
则 
故答案为：

18.【答案】;

【解析】解：当时，，，，，，，， 
需要步雹程． 
若，则，，或， 
①当时，，或， 
若，则；若，则， 
②当时，，，或， 
综上所述，或或或， 
集合 
故答案为：； 
根据“冰雹猜想”的规律，由一直计算下去，直到使得即可． 
由根据“冰雹猜想”的规律倒推，分情况讨论，分别求出的值即可． 
此题主要考查了归纳推理，考查了学生的逻辑推理能力，是中档题．
 

19.【答案】解：（1）A={x|-2≤x≤4}， 
当m=5时，B={x|3≤x≤9}， 
所以，A∪B={x|-2≤x≤9}； 
（2）因为 A∩B=B所以，B⊆A， 
当B=∅时，则m-2＞2m-1， 
所以，m＜-1， 
当B≠∅时， 
则有，所以，， 
所以，实数m的取值范围为．;

【解析】 
时，可求得集合，从而可求得； 
由得，分和分别求解运算． 
此题主要考查了集合间的运算，利用集合间的关系求参数范围的问题，属于基础题．
 

20.【答案】;

【解析】 
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及三角函数的两角和、两角差公式，即可求解． 
此题主要考查两角和、两角差的三角函数，考查转化能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人； 
当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人， 
所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．;

【解析】 
由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这个社团的学生最少． 
此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

22.【答案】;

【解析】 
先求，再代入两角差正弦公式即可；先求出，，，代入两角差的正切公式即可． 
此题主要考查同角函数关系，两角差公式，二倍角公式，属于基础题．
 

23.【答案】;

【解析】此题主要考查了正弦定理的应用，涉及两角和与差的正弦公式等，属于中档题.