人教B版（2019）数学必修第一册《3.1 函数的概念与性质》同步练习
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人教B版（2019）必修第一册《3.1 函数的概念与性质》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知函数是奇函数，则的值等于
A. B. C. 或 D. 或
2.（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是
A. B. C. D.
3.（5分）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.（5分）已知函数，则的值为
A. B. C. D.
5.（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的不等式恒成立，那么实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6.（5分）函数的定义域为
A. B.
C. D.
7.（5分）函数是定义域为的奇函数，当时，，则的零点个数为
A. B. C. D.
8.（5分）已知，那么等于
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数，则下列命题中正确的是
A. 函数是奇函数，且在上是减函数
B. 函数是奇函数，且在上是增函数
C. 函数是偶函数，且在上是减函数
D. 函数是偶函数，且在上是增函数
10.（5分）函数的图象如图所示，则以下描述正确的是
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 此函数在定义域内是增函数
D. 对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
11.（5分）与函数不相同的函数是
A. B.
C. D.
12.（5分）在下列四组函数中，与表示同一函数的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
13.（5分）关于函数，，下述结论正确的是
A. 若是奇函数，则
B. 若是偶函数，则也为偶函数
C. 若满足，则是区间上的增函数
D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知定义在上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是______．
15.（5分）函数的值域是_______.
16.（5分）设函数f（x）=．
①若a=0，则f（x）的最大值为______；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是______．
17.（5分）已知，则 ______ ．
18.（5分）规定记号“”表示一种运算，即，，，若，则函数的值域是______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数是奇函数，求实数 的值；
画出函数的图象；
利用函数的图象回答， 为何值时，方程无解？有一解？有两解？
20.（12分）已知函数为定义域在上的增函数，且满足，
求，的值．
如果，求的取值范围．
21.（12分）已知函数，
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并予以证明；
求使成立的的取值范围．
22.（12分）已知函数，设在上的最大值为，
Ⅰ求的表达式；
Ⅱ是否存在实数，，使得的定义域为，值域为？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由．
23.（12分）利用函数的平均变化率证明函数在区间上是减函数．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法．可根据为奇函数即可得出，从而可解出，从而可求出的值．
解：是奇函数；
；
整理得：；
；
；
时，；
时，．
故选C．
2.【答案】C;
【解析】解：对于，函数为奇函数，故选项错误；
对于，函数为非奇非偶函数，故选项错误；
对于，函数为偶函数，在区间上单调递减，故选项正确；
对于，函数为偶函数，在区间上单调递增，故选项错误．
故选：
利用基本初等函数的性质，逐一分析判断即可．
此题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解答该题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数定义域与值域、函数的解析式相关内容，考查分析能力和观察识图能力.
根据函数图象，结合定义域，零点及的符号即可判断.
解：由及图象可知，，，则
当时，，所以，
当时，
所以，
故选
4.【答案】C;
【解析】
该题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
由函数，将和代入，并结合函数的奇偶性即可求出结果．
解：函数，
．
故选：．
5.【答案】A;
【解析】解：是定义在上的奇函数，且当 时，
当，有，，
，即，
，
在上是单调递增函数，
且满足，
不等式在恒成立，
在恒成立，
解得在恒成立，
解得：，则实数的取值范围是：，
故选：．
由当时，，函数是奇函数，可得当时，，从而在上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案．
该题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
6.【答案】A;
【解析】解：由题意得：
，解得：，
故函数的定义域是，
故选：．
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
该题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．
7.【答案】D;
【解析】解：当时，令，解得．
即在上的零点为，
又是奇函数，，
在上的零点为．
有三个零点，，．
故选：．
解方程求出在上的零点，再根据奇函数的性质得出其他零点．
该题考查了奇函数的性质，函数零点的计算，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解法一：换元法
解：令，，则
则
那么：
解法二：
根据复合函数的定义域：
令，则有
解得，
那么：
故选D．
方法一：求出的解析式，把带入计算即可．
方法二：利用复合函数的定义域的性质，解出的值，进行计算
该题考查了函数值的解析式的求法，带值的计算，属于基础题．
9.【答案】BCD;
【解析】解：根据题意，，则为奇函数且在上为增函数，
依次分析选项：
对于，对于，其定义域为，，则为奇函数，
设，在上，为增函数，也是增函数，则在上是增函数，A错误，
对于，对于，其定义域为，，则为奇函数，
设，在上，为增函数，且，在上也是增函数，则函数在上是增函数，
B正确；
对于，对于，其定义域为，，则为偶函数，
设，在区间上，为减函数，而是增函数，则函数在上是减函数，
C正确；
对于，对于，其定义域为，有，为偶函数，
设，在上，为增函数且，在也是增函数，则在上是增函数，正确，
故选：．
根据题意，由的解析式分析的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
此题主要考查复合函数的单调性的判断，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题．
10.【答案】BD;
【解析】解：由图可知，函数的定义域为，故A错误；
函数的值域为，故B正确；
函数在定义域内不是单调函数，有两个单调增区间为，，故C错误；
对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故D正确．
故选：．
直接由函数图象逐一核对四个选项得答案．
该题考查函数的定义域与值域的求法，考查函数的概念，是基础题．
11.【答案】ACD;
【解析】【解析】函数的定义域为，函数的定义域为，函数，对应关系不一样，函数的定义域为
12.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查函数相同的判断条件，属于较易题.
根据两个函数的定义域与对应法则均相同才能判定为同一函数，逐一分析即可.
解：对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数；
对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，则与是同一函数；
对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数；
对于，函数，的定义域与对应法则均相同，是同一函数，故选
13.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了函数的单调性及单调区间，函数的奇偶性，属于中档题.
根据函数的单调性及奇偶性逐项判断即可.
解：根据奇函数的定义可知，若函数是奇函数，且其在处有定义，才满足，故选项错误；
B.若是偶函数，则函数关于轴对称，显然也关于轴对称，即也为偶函数，故选项正确；
C.如二次函数，满足，函数在上为减函数，在上为增函数，故选项错误；
D.若，均为上的增函数，根据增函数的定义可知，也是上的增函数，故选项正确.
故选
14.【答案】m≥1或m≤;
【解析】解：当时，为增函数，
是偶函数，
不等式等价为，
即，
平方得，
即，
得，
得或，
即实数的取值范围是或，
故答案为：或
判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
这道题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．
15.【答案】
;
【解析】
此题主要考查利用求函数的值域，属于基础题目.
利用对勾函数的性质判断出函数在上的单调性，求出函数的值域即可.
解：，
，
令，，
则在上单调递增，
故函数的值域是
故答案为
16.【答案】2；（-∞，-1）;略;
【解析】
该题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．
①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=-1时，f（x）的最大值为2；
②根据y=与y=-2x有三个交点，结合f（x）无最大值，可得答案．
解：①若a=0，则f（x）=，
则f′（x）=，
当x＜-1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＞-1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=-1时，f（x）的最大值为2；
②对于y=，可知,
令=0得x=±1，
当x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）时，，函数单调递增；
当x∈（-1，1）时，，函数单调递减；
且易知y=与y=-2x有三个交点，坐标为（0，0），（1，-2），（-1，2），
若f（x）无最大值，则a<-1，
故答案为：2，（-∞，-1）.
17.【答案】2;
【解析】解：由分段函数的解析式可得，
故答案为：
由分段函数的解析式，时代第二段表达式可得，然后代入第一段表达式即得
本题为分段函数的求值问题，分清变量的取值范围应该代入哪个解析式是解决问题的关键，属基础题．
18.【答案】（-∞，];
【解析】解：，，
，
当时，，
的值域为：
故答案为：
根据得到的值，然后求出，再根据二次函数的图象与性质得到的值域．
该题考查了二次函数的图象与性质，考查了转化思想和整体思想，属基础题．
19.【答案】解：（1）∵函数是R上的奇函数，∴f（0）=，∴m=-1．
（2）y=（）x向下平移一个单位得到y=（）x-1，
再把x轴下方的沿x轴翻折到x轴上方，得到y=|（）x-1|再朝上平移1个单位即可，函数的图象如下：
（3）根据图象可得：k＜1时，无解；
1＜k＜2，有两解；
k=1或k≥2时，1解．;
【解析】
由，得．
向下平移一个单位得到，再把轴下方的沿轴翻折到轴上方，得到再朝上平移个单位即可；
结合图象即可．
该题考查了函数的图象，数形结合思想，属于中档题．
20.【答案】解：，令，则，即，
令，则．
令，则．
不等式，即
即
由于函数在定义域上为增函数，
解得不等式组得：
所以的取值范围：;
【解析】这道题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题．
令，可求出，令，结合条件，可求出；
将换成，结合条件得到，再由单调性，即可求出的取值范围，注意定义域．
21.【答案】解：（1）由f（x）-g（x）=lo（1+x）-lo（1-x），
要使函数有意义，需，解得：-1＜x＜1
∴函数f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）；
（2）函数f（x）-g（x）是奇函数，
证明如下：令h（x）=f（x）-g（x），
∵对任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1），
h（-x）=lo（1+x）-lo（1-x）=-h（x），
∴h（x）=lo（1+x）-lo（1-x）是奇函数
∴函数f（x）-g（x）是奇函数；
（3）f（x）-g（x）＞1，即lo＞1，
故，解得：＜x＜1，
故x的取值范围是（，1）．;
【解析】
根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
根据函数的奇偶性的定义证明即可；
根据对数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．
此题主要考查了求对数函数的定义域，奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）图象的对称轴为， （1分）
所以当，即a≥0时，； （3分）
当，即a＜0时，． （5分）
所以 （6分）
（Ⅱ）假设存在符合题意的实数m，n，则
由（Ⅰ）可知，当a∈R时，g（a）∈[2，+∞）． （8分）
所以若a∈[m，n]，有g（a）∈[5m，5n]，则0＜m＜n． （9分）
所以g（a）=+a+2，且为单调递增函数． （11分）
所以 （12分）
所以 （13分）;
【解析】
Ⅰ函数图象的对称轴为，然后通过对称轴的位置，求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式．
Ⅱ假设存在符合题意的实数，，利用第一问，函数的单调性，列出方程组，即可求出结果．
该题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，单调性的性质，考查分析问题解决问题的能力．
23.【答案】证明：设，∈[0，5]，且≠，则：=，
∴，
∵，∈[0，5]，
∴+2＞0，+2＞0，
∴，
∴函数在区间[0，5]上是减函数．;
【解析】
可设，，并且，从而得出，这样即可求出，容易得出，这样即可得出在上是减函数．
考查减函数的定义，利用函数的平均变化率证明一个函数的单调性的方法和过程．
