高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性一课一练

人教B版（2019）必修第一册《3.1.3 函数的奇偶性》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知函数是偶函数，且，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）设的定义域为，图象关于轴对称，且在上为增函数，则，，的大小顺序是

A.  B.
C.  D.

3.（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的是

A.  B.  C.  D.

4.（5分）设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”给出下列四个函数： 
①； 
②； 
③； 
④， 
则其中“函数”共有    ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）函数在上的图象大致为

A.  B.
C.  D.

7.（5分）设函数，则是

A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数

8.（5分）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法正确的是

A. 函数是偶函数
B. 是函数的一个周期
C. 对任意的，都有
D. 函数的图象关于直线对称

10.（5分）下列函数中，在其定义域内是偶函数有

A.  B.  C.  D.

11.（5分）关于函数，下列结论正确的是

A. 其图象关于轴对称
B. 的最小值是
C. 在上是单调减函数
D. 的增区间是，

12.（5分）下列函数，是偶函数的是 
 

A.  B.
C.  D.

13.（5分）下列函数中，既是偶函数又是区间上增函数的有

A.  B.  C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式为 ______.

15.（5分）函数为上的奇函数，若对任意的，且，都有已知，则不等式的解集为______．

16.（5分）已知奇函数在定义域上递减，且，则实数的取值范围是______．

17.（5分）定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使得不等式成立的取值范围是______．

18.（5分）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为 ______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）函数是定义在上的奇函数，且． 
求，的值； 
判断并用定义证明在的单调性．

20.（12分）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且满足 
求和的解析式； 
若函数的最小值为，求的值．

21.（12分）已知是定义在上的奇函数，且，若，， 时，有． 
求证：在上为增函数； 
求不等式的解集； 
若对所有恒成立，求实数的取值范围．

22.（12分）已知函数为奇函数，函数． 
Ⅰ求函数的定义域；  
Ⅱ当时，关于的不等式有解，求的取值范围．

23.（12分）已知函数且函数是奇函数． 
求的值； 
是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的实数的值或范围；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：根据题意，函数是偶函数，且， 
则， 
故； 
故选： 
根据题意，利用函数的奇偶性可得的值，进而计算可得答案． 
此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

2.【答案】B;

【解析】解：图象关于轴对称，故为偶函数，  
，，  
在上是增函数，，  
，  
，  
故选：． 
先根据函数的性质，得到，，再利用在上是增函数，得到结论． 
该题考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现转化的数学思想．
 

3.【答案】D;

【解析】解：函数为偶函数，不满足题意；  
函数为偶函数，不满足题意；  
函数为非奇非偶函数，不满足题意；  
函数奇函数，又在区间上是增函数，满足题意；  
故选：． 
分析给定四个函数的单调性及奇偶性，可得答案． 
此题主要考查的知识点是函数单调性与奇偶性的综合应用，难度不大，属于基础题．
 

4.【答案】C;

【解析】 
 
这道题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为是解决本题的关键． 
解：若，，使得成立， 
即等价为，，使得成立． 
①函数的定义域为，是奇函数， 
，即，当时，等式成立，①为“函数”． 
②，，则等式不成立，②不是“函数”． 
③函数的定义域为，由得，即， 
，即，当时，，当时，等式成立，③为“函数”． 
④函数的定义域为，由得，即，即当时，等式成立，④为“函数”． 
综上满足条件的函数是①，③，④，共个． 
故选C． 
 

 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，属于基础题． 
逐一分析给定四个函数的奇偶性，及函数在上的单调性，可得答案． 
 
解：函数为偶函数，不满足题意； 
B.函数为奇函数，且在上单调递增，满足题意； 
C.函数为偶函数，不满足题意； 
D.函数为非奇非偶函数，不满足题意. 
故选
 

6.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及零点个数，特殊值的符号进行排除是解决本题的关键． 
判断函数的奇偶性，函数零点个数以及函数值的符号是否对应进行排除即可． 
 
解：， 
则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除， 
由得，即，即，此时，，即函数在有三个零点，排除， 
，排除， 
故选：． 
 

 

7.【答案】D;

【解析】解：由题意，，函数是偶函数，  
在上，，函数单调递减，  
故选D． 
确定函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．  
此题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
 

8.【答案】C;

【解析】解：对任意，都有，且为偶函数， 
， 
故选：． 
根据偶函数性质以及周期函数性质可将的函数值化为的函数值，再代入已知解析式． 
该题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．
 

9.【答案】BCD;

【解析】解：根据题意，依次分析选项： 
对于，，，又由函数是偶函数，则， 
即函数为奇函数，错误 
对于，由于是偶函数，且，得，即， 
则是周期为的周期函数，故正确； 
对于，， 
， 
而是周期为的周期函数，则， 
则，故正确； 
对于，， 
所以函数的图象关于直线对称，正确； 
故选： 
根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 
此题主要考查函数的奇偶性与周期性的判断以及应用，注意函数奇偶性、周期性的定义，属于基础题．
 

10.【答案】CD;

【解析】 
此题主要考查函数的奇偶性，属于基础题. 
根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可. 
 
解：，，则是奇函数，故错误； 
，，所以不是偶函数，故错误； 
，由得，此时，则 
是偶函数，故正确； 
，，则是偶函数，故正确. 
故选
 

11.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查函数的奇偶性单调性，属于基础题. 
根据函数的奇偶性可以判断，当时，，在单调递减，在单调递增，再结合函数的奇偶性可以判断 
 
解：函数定义域为， 
，故为偶函数，图象关于轴对称，对； 
当时，，在单调递减，在单调递增， 
因为是偶函数，故在单调递增，在单调递减， 
可得，当且仅当时等号成立，对； 
故错，对. 
故选
 

12.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题，难度不大. 
利用奇函数和偶函数定义判断即可．  
 
解：四个答案中函数的定义域均关于原点对称， 
A.因为，所以为偶函数， 
B.因为，所以为偶函数， 
C.令  ，，，，所以不是偶函数， 
D.令，则，，，所以 不是偶函数， 
故选
 

13.【答案】BC;

【解析】解：根据题意，依次分析选项： 
对于，，是偶函数，但在上是减函数，不符合题意； 
对于，为偶函数，且在上是增函数，符合题意； 
对于，为偶函数，且在上是增函数，符合题意； 
对于，，是奇函数，不符合题意； 
故选： 
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 
此题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
 

14.【答案】;

【解析】解：当时，， 
当时，，则， 
又为奇函数， 
， 
 
由奇函数的定义可得，由已知区间上的解析式，计算时，的解析式，可得所求的解析式； 
此题主要考查了奇函数的性质，属于基础题．
 

15.【答案】（2，4）;

【解析】解：根据题意，若对任意的，且，都有， 
则在上为增函数， 
又由，则在上，，则上，， 
又由为奇函数，则在上，，则上，， 
或， 
分析可得：， 
即不等式的解集为； 
故答案为： 
根据题意，分析可得上为增函数，结合可得在上，，则上，，结合函数的奇偶性可得在上，，则上，，又由或，分析可得答案． 
该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
 

16.【答案】（1，）;

【解析】解：因为奇函数在定义域上递减， 
所以， 
由可得， 
所以， 
即 
解可得， 
故答案为： 
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 
这道题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
 

17.【答案】;

【解析】 
根据题意，由偶函数的性质分析可得在上为减函数，结合可得在区间上，，在区间和上，，又由或，分析可得答案． 
该题考查关于抽象函数的不等式问题，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题． 
 
解：根据题意，定义在上的偶函数在上是增函数， 
则在上为减函数， 
又由，则有， 
在区间上，，在区间和上，， 
则或 
解可得：或， 
即的取值范围为； 
故答案为：．
 

18.【答案】（）;

【解析】解：因为， 
所以，即为偶函数， 
当时，单调递减且函数在处连续，根据偶函数对称性可知，当时，函数单调递增， 
由得， 
所以， 
解得， 
故答案为： 
先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性及对数函数的性质可求． 
此题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
 

19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1， 
则f（-1）=-f（1）=-1， 
则有，解可得a=5，b=0； 
（2）由（1）的结论，f（x）=， 
设＜＜， 
f（）-f（）=-=， 
又由＜＜，则（1-4）＜0，（-）＜0， 
则f（）-f（）＞0， 
则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．;

【解析】 
根据题意，由函数的奇偶性分析可得，则可得，解可得、的值； 
由的结论，，利用作差法分析可得答案． 
该题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出、的值，属于基础题．
 

20.【答案】解：（1）根据题意，f（x）+g（x）=+x，①，则f（-x）+g（-x）=-x， 
又由f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则-f（x）+g（x）=-x，② 
联立①②得； 
（2）根据题意，由（1）的结论，， 
令+=t，则+=-2，且t≥2， 
则，t≥2． 
当即a≥-4时，，解可得：a=-3． 
当即a＜-4时，，解可得：，不符合题意，舍去． 
故a=-3．;

【解析】 
由函数奇偶性可得，与，联立解可得答案； 
由的结论可得，利用换元法，令，分析可得，结合二次函数的性质分析可得答案． 
此题主要考查函数的最值以及函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．
 

21.【答案】解：（1）证明：任取，∈[-1，1]且＜，则， 
∴f（）＞f（），∴f（x）为增函数． 
（2），等价于，求得0≤x＜， 
即不等式的解集为． 
（3）由于f（x）为增函数， 
∴f（x）的最大值为对恒成立 对的恒成立， 
设，则． 
又==1+taα+2tanα+2=（tanα+1）2+2， 
∵α∈[-，]，∴tanα∈[-，1]，故当tanα=1时， 
． 
∴+t≥6，求得t≤-3 t≥2，即为所求的实数t的取值范围．;

【解析】 
由条件利用增函数的定义证得结论． 
根据函数的奇偶性和单调性，把要解的不等式等价转化为一个不等式组，求得此不等式的解集即可． 
根据函数的单调性求得的最大值，可得 对的恒成立，再求得的最大值，从而求得的范围． 
这道题主要考查函数的单调性的证明以及应用，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由为奇函数得， 
即， 
所以，解得， 
经检验符合题意，故， 
所以的定义域是； 
Ⅱ不等式等价于， 
即在有解， 
故只需， 
函数在单调递增， 
所以， 
所以的取值范围是．;

【解析】Ⅰ根据函数成立的条件即可求函数的定义域； 
Ⅱ根据对数的运算法则和对数函数的性质解不等式即可． 
这道题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：（1）函数（a∈R）的定义域是R， 
因为函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0． 
即a+1=0，解得a=-1，f（x）=（-）， 
f（-x）+f（x）=（-）+（-）=0，即f（-x）=-f（x）， 
可得f（x）为奇函数，故a=-1； 
（2）因为f（x）是定义在R上的奇函数， 
因为f（3m-mcosθ）+f（cosθ-6）＞f（0）=0， 
所以f（3m-mcosθ）＞-f（cosθ-6）， 
得f（3m-mcosθ）＞f（6-cosθ）， 
因为f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（x）为奇函数， 
所以f（x）在R上也为增函数， 
所以3m-mcosθ＞6-cosθ， 
解法1：即（m-1）cosθ＜3m-6， 
因为，所以cosθ∈[0，1]． 
当m-1＞0，即m＞1时，cosθ＜对所有的均成立， 
需满足1＜，则m-1＜3m-6，解得m＞； 
当m-1＜0，即m＜1时，cosθ＞对所有的均成立， 
需满足0＞，则3m-6＞0， 
解得m＞2，不满足前提条件，舍去； 
当m-1=0，即m=1时，不等式（m-1）cosθ＜3m-6可化为0＜-3不成立，故舍去． 
综上，存在这一的实数m，使f（3m-mcosθ）+f（cosθ-6）＞f（0）对所有的均成立， 
适合条件的实数m的取值范围是（，+∞）． 
解法2：即m（3-cosθ）＞6-cosθ， 
因为，所以cosθ∈[0，1]．， 
即3-cosθ＞0，所以m＞=1+， 
所以当cosθ=1时，1+取得最大值， 
所以要使f（3m-mcosθ）+f（cosθ-6）＞f（0）对所有的均成立， 
实数m的取值范围是（，+∞）．;

【解析】 
由奇函数的定义可得，可得的值，检验可得所求；  
由的奇偶性和单调性，消去，可得，方法一、运用分类讨论思想，结合余弦函数的性质，解不等式可得所求范围；  
方法二、运用参数分离，结合余弦函数的性质，可得所求范围． 
该题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和参数分离、以及分类讨论思想，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．