人教B版（2019）数学必修第一册《第三章 函数》单元测试2
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人教B版（2019）必修第一册《第三章 函数》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）下列函数是偶函数又在上递减的是
A. B. C. D.
2.（5分）已知函数恒有零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3.（5分）函数的大致图象是
A.
B.
C.
D.
4.（5分）函数的定义域为
A. B.
C. ， D. ，
5.（5分）函数的图象是下列图象中的
A. B.
C. D.
6.（5分）已知偶函数在上单调递增，则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
7.（5分）已知函数，若，则
A. B. C. D.
8.（5分）若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在以下四组函数中，表示函数不相等的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.（5分）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是
A. B.
C. D.
11.（5分）已知实数，为函数的两个零点，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
12.（5分）已知函数，若关于的方程有个不同的根，则的值可能为
A. B. C. D.
13.（5分）如图，某湖泊的蓝藻的面积单位：与时间单位：月的关系满足，则下列说法正确的是
A. 蓝藻面积每个月的增长率为
B. 蓝藻每个月增加的面积都相等
C. 第个月时，蓝藻面积就会超过
D. 若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知 ，给出下列四个结论：
若 ，则 有两个零点；
，使得 有一个零点；
，使得 有三个零点；
，使得 有三个零点；
以上正确结论的序号是 __________.
15.（5分）组已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，若方程在上的两根为，，则______．
16.（5分）若函数的定义域是，则函数的定义域为______．
17.（5分）已知下列三个方程，，至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为______．
18.（5分）已知函数是定义在区间上的减函数，若，则的取值范围是 ______ ．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）设函数的定义域为，如果存在区间，使得在区间上是单调函数且值域为，那么称在区间上具有性质．
Ⅰ分别判断函数和在区间上是否具有性质；不需要解答过程
Ⅱ若函数在区间上具有性质，
求实数的取值范围；
求的最大值．
20.（12分）已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有．
求的值；
求证：在上为增函数；
若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
21.（12分）已知函数是奇函数，
求，的值；
求在上的单调性，并加以证明．
22.（12分）试求下列函数的值域：
；
23.（12分）设函数．
（1）画出的图象；
（2）当时，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：中，为偶函数又在上递增，故排除；
中，为偶函数又在上递增，故排除；
中，的图象关于轴对称，故为偶函数，且在上单调递减，符合题意；
中，为奇函数，在，上单调递减，故排除．
故选C．
利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
该题考查函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．
2.【答案】B;
【解析】解：函数的定义域为，求导得：，
令，，则，即在上单调递增，，
因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
于是得当时，，函数的值域是
而函数恒有零点，当且仅当，解得，
所以实数的取值范围是
故选：
求出函数的定义域，求出其导函数，进而求解出函数的值域，即可得到结论．
此题主要考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：由于，设，
则函数，当且仅当时取等号；
由双勾函数的性质得，当或时，；
故排除，；
当时，得，，即．
故排除；
故选：．
根据，把看作一个整体，则函数，根据双勾函数的性质可得的取值范围，再根据特殊值的检验排除错误答案，即可得出结论．
该题考查对函数的图象与性质的探究能力，属于中档题．
4.【答案】A;
【解析】解：由题意得，解得，
故选：．
根据对数函数以及二次根式的性质得到关于的不等式组，解出即可．
该题考查对数函数以及二次根式的性质，考查函数的定义域，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】解：函数，因为的对称中心是．
所以将函数的图象向右平移单位，向上平移单位，即可得到函数的图象．
故选：．
化简函数的解析式，利用函数的对称性写出结果即可．
该题考查函数的图象的判断，函数的图象变换，是基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：由偶函数在上单调递增，可得在单调递减，
不等式即为，
可得，
即，
解得，
故选：
由题意可得在单调递减，结合，可得，由绝对值不等式的解法可得所求取值范围．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：因为，所以，因为，
所以，即．
故选：．
先求函数，再求解．
该题考查求函数，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】
这道题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
根据函数的定义域为，将条件转化为在上恒成立，即可得到结果．
解：由题意，函数的定义域为实数集，
所以在上恒成立，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是，
故选：．
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查同一函数的判断，属于基础题.
利用同一函数的定义逐个判断即可.
解：的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误；
的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误；
与是同一函数，故正确
与的对应法则不同，不是同一函数，故错误
故选
10.【答案】BD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，函数为正比例函数，单调递增，若定义域为，则值域为，故不存在“和谐区间”；
对于，，在上为增函数，假设在上存在“和谐区间”，使得当定义域为时，值域为，
则解得，故函数存在“和谐区间”；
对于，，为二次函数，其图象的对称轴为直线，
当时，函数为减函数，若定义域为，值域为，则解得，不满足题意；
同理当时，应满足解得，不满足题意，
所以不存在“和谐区间”；
对于，为定义域内的增函数，则应满足
令，，作出，的图象，如图所示，
由图可知，两函数的图象有两个交点，则存在“和谐区间”．
故选：
根据题意，依次分析选项中函数是否存在“和谐区间”，综合可得答案．
此题主要考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性的判断，属于中档题．
11.【答案】AB;
【解析】解：实数，为函数的两个零点，
故实数，为与图象交点的横坐标，
作出函数与的图象如图所示，
不妨设，则有，
所以，，
故，
又因为，所以，
所以，
又因为，，所以，
故选项A，B正确．
故选：．
将问题转化为实数，为与图象交点的横坐标，然后作出两个函数的图象，利用，结合对数与指数的互化，得到，结合，的取值范围进行分析，即可得到答案．
此题主要考查了函数的零点与方程根的关系，此类问题一般会把方程的根转化为两个函数图象交点的横坐标来处理，属于中档题．
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查函数的零点与方程根的关系的知识，属于基础题.
画出函数的图象，把问题转化为函数与交点个数问题.
解：解：函数的图象如下图所示：
关于的方程有个不同的根，即函数与有个交点，
由图可知，函数与可能有，，个交点，
故可选
13.【答案】ACD;
【解析】解：由图可知，函数图象经过，即，则，；
不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的倍，则每个月的增长率为，对、错；
当时，，对；
若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则，，则，对；
故选：
由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．
此题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．
14.【答案】(1)(2)(4)．;
【解析】
令 ，可转化成两个函数 与 的交点问题，
对于 ，当 时， ，两个交点， 正确；
对于 ，存在 ， 与 相切， 正确；
对于 ，若 ， 与 最多有 个交点， 错误；
对于 ，当 时，过点 存在函数 的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有 个交点，故 正确；
故答案为：
15.【答案】-8;
【解析】解：由定义在上的偶函数满足：，
得，
解得，
即，
即的周期为，
由当时，单调递减且为周期为的偶函数，
可得在为增函数，在为减函数，且图象关于直线对称，
又方程在上的两根为，，
则，
即，
故答案为：．
由函数的奇偶性、单调性及对称性可得：在为增函数，在为减函数且图象关于直线对称，又方程在上的两根为，，则，即，得解．
此题主要考查了函数的奇偶性、单调性及对称性，属综合性较强的题型．
16.【答案】[1，4];
【解析】解：由函数的定义域是，
即，
那么函数的定义域满足，
两边平方，可得，
即函数的定义域为．
故答案为．
由函数的定义域是，即，那么函数的定义域满足，求解的范围可得定义域．
该题考查函数的定义域的求法，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】或a≥-1;
【解析】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有解得
故三个方程，，至少有一个方程有实根时，实数的取值范围为或
故答案为或
本题研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没有实根时实数的取值集合，其补集即是所求的实数的取值范围
该题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，求解本题关键是理解题意“至少有一个方程有实根”，此题若从正面求解需要分的情况较多，不易解答，而对立面易求解，故采取了求三个方程都没有实数根时参数的取值范围，再求其补集得出答案，此解法应用了反证法的思想，其规律称为正难则反，解题是题设中出现了“至多”，“至少”这样的字样时，要注意使用本题这样的解法技巧．
18.【答案】（-，）;
【解析】解：由题意得：
，解得：，
故答案为：．
根据函数的单调性，得出不等式组，解出即可．
该题考查了函数的单调性，函数的定义域问题，是一道基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cosx在区间[-1，1]上不具有性质P，g（x）=在区间[-1，1]上具有性质P．
（Ⅱ）（i）方法1：因为函数在区间[m，n]上具有性质P，
则h（x）=x在[0，+∞）有两个不相等的实数根m，n（m≥0），
即在[0，+∞）有两个不相等的实数根．
设，即-t-a=0在[0，+∞）有两个不相等的实数根．
所以，即．解得
所以，实数a的取值范围．
方法2：因为函数在[0，+∞）单调递增，
函数在区间[m，n]上具有性质P，
则h（x）=x在[0，+∞）有两个不相等的实数根m，n（m≥0），
即在[0，+∞）有两个不相等的实数根．
设，即a=-t在[0，+∞）有两个不相等的实数根．
所以，实数a的取值范围．
（ii）因为，
又，所以当a=0时，n-m取最大值1．;
【解析】
Ⅰ直接根据题中给出的信息判断即可；
Ⅱ根据题意，在有两个不相等的实数根，，利用换元法设，转化为在有两个不相等的实数根，
方法：利用二次方程根的分布列出不等关系，求解即可；
方法：利用换元法，转化为求解函数的值域问题，求解即可．
利用的表达式结合的范围，即可得到答案．
该题考查了函数性质的综合应用问题，涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题，对学生知识的综合应用能力有较高的要求．
20.【答案】解：（1）由f（m+n）=f（m）+f（n）-1，令m=n=0，则f（0）=2f（0）-1，则f（0）=1；
（2）由f（m+n）=f（m）+f（n）-1可知，任取，∈R，不妨设＞，
则f（）-f（）=f（-）-1，
∵＞，∴-＞0，∴f（-）＞1，∴f（）-f（）＞0，∴f（）＞f（）．
故此，函数f（x）为R上增函数；
（3）由f（m+n）=f（m）+f（n）-1可知，
f（ax-2）+f（x-）=f[（ax-2）+（x-）]+1＜3．
故此f[-+（a+1）x-2]＜2，∵f（2）=3=2f（1）-1，∴f（1）=2．
∴f[-+（a+1）x-2]＜f（1）．
又∵f（x）在R上是单调增函数，
∴-+（a+1）x-2＜1，∴-（a+1）x+3＞0，令g（x）=-（a+1）x+3．
∴由已知，须有g（x）min＞0，x∈[-1，+∞）．
①当时，即a≤-3，g（x）在[-1，+∞）单调递增，
∴g（x）min=g（-1）=a+5＞0，
∴a＞-5，∴-5＜a≤-3．
②当时，即a＞-3时，g（x）在[-1，+∞）先递减后递增，
∴=．
∴，即．
综上，∴．;
【解析】
利用赋值法可求解；
结合单调性的定义以及赋值法，可判断出与的大小关系，从而确定单调性；
原式是一个不等式恒成立问题，因此可转化为函数的最值问题求解，结合分类讨论，判断出函数在上的单调性，求出最值即可．
该题考查抽象函数条件下的函数的单调性的证明，不等式恒成立时的字母范围的求解方法．属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵函数f（x）为R上奇函数
∴f（0）=0，即a=0，
此时f（x）=且f（-x）=-f（x）恒成立，
即+=0，
解得b=0；
（2）由（1）得f（x）=，在（-1，0）上为增函数
理由如下：
任取（-1，0）上两个实数，，且＜，
则-＜0，1-•＞0，
则f（）-f（）
=-
=＜0，
即f（）＜f（）
故f（x）在（-1，0）上为增函数．;
【解析】
由已知函数为上奇函数，根据函数图象过原点，则恒成立，可求，值；
任取上两个实数，，且，判断的符号，即可得到函数在上的单调性．
此题主要考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中根据奇函数的图象和性质，求出，的值，是解答本题的关键．
22.【答案】解：因为，且，
所以故所求函数的值域为
令，且则，
，
即函数的值域为;
【解析】此题主要考查了函数的值域，属于基础题.
利用分离常数法求函数的值域即可；
换元，根据二次函数的性质求值域即可.
23.【答案】解：（1）当时，，
当，，
当时，，
则
的图象如图所示
（2）当时，，
当时，，，
当时，要使恒成立，
则函数的图象都在直线的下方或在直线上，
的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当且时，不等式在上成立，
即的最小值为5．
;
【解析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
