四川省泸县第一中学2022-2023学年高二理科数学下学期期中试题（Word版附解析）

泸县第一中学2023年春期高二期中考试

数学（理工类）

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【详解】,故选A.

2. 抛物线的准线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将抛物线的方程化为标准方程，进而可求得该抛物线的准线方程.

【详解】抛物线的标准方程为，因此，该抛物线的标准方程为.

故选：A.

3. 若为实数，则“”是“”的（    ）.

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先由解得或，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】解：若，则，即“”是“”的充分条件；

但是当时，可得或，即由不能推出，

所以“”不是“”的必要条件.

综上，“”是“”的充分不必要条件.

故选.

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的概念，属于基础题.

4. 某平台为一次活动设计了“a”、“b”、“c”三种红包，活动规定：每人可以获得4个红包，若集齐至少三个相同的红包（如：“”），或者集齐两组两个相同的红包（如：“”），即可获奖.已知小赵收集了4个红包，则他能够获奖的不同情形数为

A 9 B. 10 C. 12 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】由题意将中奖情况列举出为型、型、4个一样，每种情况结合组合思想即可求出每种情况的数量，将最后结果相加即可.

【详解】解：由题意知，型有种；型有种；4个一样有种，

则种，

故选:C.

【点睛】本题考查了计数原理中分类的思想，考查了组合数的计算，考查了排列组合的思想.

5. 曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于(　　)

A.    B.    C. 1 D.  

【答案】D

【解析】

【详解】函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为

S＝2＝2(x－x3)＝2×＝.

故选D

6. 若函数在处取得极值，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.

【详解】因为，所以，

又函数在处取得极值，

所以，即．

此时，

当或时，，当时，，

故是的极大值点，故符合题意．

故选：D．

7. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.

【详解】设在基底下的坐标为，

则，

所以，解得，，，

故在基底下的坐标为．

故选：A.

8. 甲､乙､丙､丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙、丁获奖，验证是否符合题意,即可判断出答案.

【详解】若甲获奖，则四人中有且只有甲说了假话，符合题意；

若乙获奖，则四人中丙丁说了假话，不符合题意；

若丙获奖，则四人中乙丙说了假话，不符合题意；

若丁获奖，则四人中甲乙丙说了假话，不符合题意；

故选:A

9. 甲乙两人从1,2,3, 15这15个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用条件概率的公式求解或者转化为古典概率求解.

【详解】设事件A=“甲取到的数是5的倍数”，B=“甲所取的数大于乙所取的数”，

则，，

,故选C.

【点睛】本题主要考查条件概率的求解，熟记条件概率的求解公式是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.

10. 已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得函数的导数，然后利用二次函数的性质列不等式组，然后利用线性规划的知识，求得的取值范围.

【详解】，导函数为二次函数，开口向上，故，即，，画出不等式组表示的可行域如下图所示，由图可知，分别在处取得最小值和最大值，即最小值为，最大值为，故的取值范围是，故选D.

【点睛】本小题主要考查导数与极值点，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划求取值范围，综合性较强，属于难题.

11. 四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（    ）

A.  B. 4 C.  D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，则，四棱锥的体积为，设，利用导数研究函数的单调性可求得答案．

【详解】设正方形ABCD的外接圆的半径为，球心到平面ABCD的距离为，

则，且正方形ABCD的面积为，

四棱锥的体积为，

设，，则，

于是时，，单调递增；时，，单调递减，

从而，于是．

故选：C.

12. 设函数，，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题设恒成立等价于；构造函数，利用导数判断的单调性，求出的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出的取值范围．

【详解】解：由题设恒成立等价于①．

设函数，则．

①设，此时，当时，当时，

故在单调递减，在上单调递增，

故．而当时取得最大值，并且，故① 式不恒成立．

②设，注意到，，故① 式不恒成立．

③设，，此时当时，当时，

故在单调递减，在上单调递增，

故；而当时，故若使①式恒成立，则，得，即．

故选：C

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是__________

【答案】

【解析】

【分析】先求出双曲线的焦点,再设双曲线的标准方程,代入求解即可.

【详解】易得椭圆的焦点为,故设双曲线的方程为.

故 ,解得.故双曲线的方程.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程的求解,属于基础题.

14. 若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为_______．(用数字作答)

【答案】9

【解析】

【分析】根据得，进而利用二项展开的通项公式可得解.

【详解】根据已知条件可得：，

所以的展开式的通项为，

令，所以所求系数为.

故答案为：9.

15. 在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近、可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）．

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式求曲线在点处的切线方程；曲线的切点附近，可用切线近似代替函数曲线，即在附近，有，再将代入，即可求出结果．

【详解】函数的导数为，所以，

函数在点处的切线，

所以附近可以用 代替，即，

又非常接近，.

故答案为：.

16. 如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】要满足平面，只需要找一个平面，使该平面经过，且与平面平行即可，取的中点的中点，连结，证明出面面，得到点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形，求出周长即可.

【详解】取的中点的中点，连结．正方体

的棱长为2．为中点，所以，

所以且．

因为为分别为的中点，

所以，且，所以四边形为平行四边形，

所以．

因为面面，

所以面．

同理可证：面．

又面面，

所以面面．

所以点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形．

因为正方体的棱长为2，所以，

所以三角形的周长为．

故答案为：.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 若函数在处取得极值．

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间及极值．

【答案】（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为．

【解析】

【详解】试题分析：（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．

试题解析：（1），由，得．

（2），．

由，得或．

当时；②当时或．

当变化时，的变化情况如下表：

因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．

函数的极小值为，极大值为．

考点：利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性

18. 甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为

（1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；

（2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望.

【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2) 的数学期望为.

【解析】

【分析】（1）利用事件的独立性可求概率

（2）易得，求出对应的概率后可得分布列，利用公式可求期望.

【详解】解：(1)设“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则

.

(2)

，

，

，

答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为；

(2) 的数学期望为.

19. 如图，四边形ABCD为圆柱的轴截面，EF是该圆柱的一条母线，，G是AD的中点．

（1）证明：平面EBG；

（2）若，求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）有题目条件可证明平面，所以，又因为，即可证明平面.

（2）以为坐标原点，为轴正方向，为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的公式代入即可得出答案.

【小问1详解】

由已知平面，平面，所以，

因为是圆的直径，所以，

因为，所以平面，平面，故，

因为，所以，易知：△△，

所以，从而，又，

所以平面.

【小问2详解】

以为坐标原点，为轴正方向，为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，从而，

设位平面的法向量，

则，所以，

由（1）知：平面的法向量为

因为，所以二面角的正弦值为.

20. 如图所示，、分别是椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆另一交点为，过作直线的垂线，与圆交于、两点，求四边形面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）设，利用余弦定理、向量数量积的坐标表示求椭圆参数，写出椭圆方程即可；

（2）当的斜率不存在易得面积为，当的斜率存在，设为，、，联立椭圆方程并应用韦达定理求、，进而求、，又与垂直即面积，即可求面积的最大值．

【详解】（1）由题意，设，则由余弦定理可得：①，

又②，

由①②得：，，于是，

∴椭圆的标准方程是：；

（2）当直线的斜率不存在时，，，则四边形的面积是，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，、，

将与联立并消去，整理得，恒成立，

∴，，则，

由于直线与直线垂直，且经过点，

∴直线的方程为，且点到直线的距离为，

∴，则四边形的面积：，

由于，故，

于是（当时取得最大值），

综上，四边形面积最大值为．

21. 已知函数.

（1）若函数在处取极小值，求实数m的值；

（2）设，若对任意，不等式≥恒成立，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先求解出，然后根据求解出的值，然后再分析取不同值时是否能满足在处取极小值，由此确定出的值；

（2）由题意可得不等式恒成立，然后构造函数，利用导数分析的单调性并确定出最小值，根据求解出的取值范围.

【详解】（1），

由题意得，即，

当时，，

此时在上递减，在上递增，所以符合要求；

当时，，

此时在上递增，在上递减，所以不符合要求.

综上，

（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点

由得不等式恒成立，

令，求导得，

当，，所以在上单调递增，

因为，所以不符合题意；

当时，令，则在上递增，

又，且在上连续，

所以存在唯一，使得，

当时，，故递减；

当时，，故递增.

且，，

所以，

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以

方法2：指数化､换元处理

由得，指数化得不等式恒成立，

令，则，不等式恒成立，

令，则，

当时，，所以不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以.

【点睛】思路点睛：导数问题中运用“隐零点”思想的一般求解步骤：

（1）先分析导函数的单调性，采用零点的存在性定理确定出的零点；

（2）分析在定义域上的取值正负，从而确定出的单调性，由此确定出的最值；

（3）由（2）中计算出的最值可通过继续化简，由此求得更简单的最值形式.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，曲线与交于，两点，若，求曲线的普通方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）将，，代入曲线即可得出；

（2）将直线代入圆的方程，由可求.

【详解】解：（1）将，，代入曲线的极坐标方程，

得曲线的直角坐标方程为，

即．

（2）将（为参数），

代入，可得．

设点，对应的参数分别为，，则，．

因为，

所以（其中），，，

所以，，

故曲线的普通方程为，即．

【点睛】本题考查直线参数方程的几何意义，解题的关键是利用韦达定理得出，由此求出斜率.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知定义在上的函数的最小值为a.

（1）求的值；

（2）若实数，求的最小值及取得最小值时对应的的值．

【答案】（1）（2）的最小值为此时

【解析】

【分析】（1）由题意可知结合绝对值三角不等式，求得的最小值，即可求得的值．

（2）本题考查的是求最小值的问题，根据题意知利用柯西不等式，求得的最小值及取得最小值时对应的的值．

【详解】（1），，

从而，．

（2）由（1）知：，又，

，当且仅当，即时取等，

故的最小值为，此时．