山东省滨州市渤海综合高中2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
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这是一份山东省滨州市渤海综合高中2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析),共16页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
渤海综合高中高一期末考试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 的虚部为( )A. 1 B. -1 C. D. - 【答案】A【解析】【分析】直接利用,化简,再得到其虚部.【详解】因为,的虚部为1.故选:.2. 已知向量,,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】因为,所以=(5,7),故选A.考点:本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题. 3. 袋中有大小相同,质地均匀的2个红球和3个黄球,从中无放回的先后取两个球,取到红球的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意给小球编号,列举出所有基本情况及满足要求的基本情况,由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意,给2个红球编号为1、2,给3个黄球编号为3、4、5,则无放回的先后取出两个球的所有基本情况有:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共20种;取到红球的基本情况有:,,,,,,,,,,,,,,共14种.故所求概率.故选:C.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解,考查了运算求解能力,属于基础题.4. 下列说法中正确的是( )A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱柱的各条棱都相等C. 所有几何体的表面都能展成平面图形 D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱【答案】D【解析】【分析】从棱柱的定义出发判断ABD的正误,找出反例否定C,即可推出结果.详解】棱柱的侧面都是四边形,A不正确;棱柱的各条侧棱相等,所以B不正确;球不能展开为平面图形,C不正确;正方体和长方体都是特殊的四棱柱,D正确;故选:D.5. 已知是虚数单位,若,则的共轭复数的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简,求出其共轭复数,得到结果.【详解】∵,∴,即的共轭复数的虚部为故选:C.6. 已知球的体积为,则它的半径为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据球的体积公式直接计算求解即可.【详解】解:设球的半径为,则,解得.故选:A7. 在中,已知则等于( )A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得,,所以.故选:C.8. 若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正方体的体对角线长为其外接球的直径,再根据球的体积公式即可求出.【详解】因为正方体的体对角线长为其外接球的直径,所以球的直径为,即半径,故其体积为.故选:C.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的选项.9. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题中不正确的为( )A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 【答案】ACD【解析】【分析】根据空间中直线与平面,平面与平面的关系即可根据选项逐一求解.【详解】对于A, 可能平行或者异面,故A错误,对于B,若 ,则 ,故B正确,对于C,或,故C错误,对于D,一个平面内的一条直线要垂直于另一个平面内的两条相交直线,才可以得到两个平面垂直,故D错误,故选:ACD10. 下列命题中正确的有( )A. 一组数据1,2,3,3,4,5的众数大于中位数B. 数据6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的分位数为5C. 若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是乙D. 为调查学生每天平均阅读时间,某中学从在校学生中,利用分层抽样的方法抽取初中生20人,高中生10人.经调查,这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟,这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟,那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数与众数的定义判断A;求出分位数可判断B;求出乙组数据的方差可判断C;根据平均数的求法可判断D.【详解】解:对于A,1,2,3,3,4,5的中位数为3,众数也为3,故A错误;对于B,将数据由小到大排列为:1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,因为,所以数据6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的分位数为5,故B正确;对于C,乙的平均数为,方差为,所以这两组数据中较稳定的是乙,故C正确;对于D,被抽中的30名学生每天平均阅读时间为分钟,故D正确.故选:BCD.11. 在中,若,则( )A. 60° B. 150° C. 120° D. 30°【答案】AC【解析】【分析】由大边对大角可知,从而得,由正弦定理可得,根据特殊三角函数值即可得答案.【详解】解:因为,所以(大边对大角),由正弦定理可知,∴,又因为,∴或.故选:.12. 如图,正方体的棱长为a,线段上有两个动点E,F,且.则下列结论正确的是( )A. 当E与重合时,异面直线与所成的角为B. 三棱锥的体积为定值C. 在平面内的射影长为D. 当E向运动时,二面角的平面角保持不变【答案】BCD【解析】【分析】A:当E与重合,BD中点为O并连接,可得,即为异面直线与所成角的平面角,应用余弦定理求余弦值,即可确定大小;B:由及A到面、B到直线的距离为定值即可判断;C:在平面内的射影在上,即可求射影长;D:由二面角为二面角即可判断.【详解】A:当E与重合时,因为,此时F为的中点,记BD中点为O,连接,由正方体性质可知,,所以四边形为平行四边形,所以,又,,,所以,错误;B:,易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,正确;C:易知,在平面内的射影在上,所以射影长为,正确;D:二面角,即为二面角,显然其平面角不变,正确.故选:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 某校选修轮滑课程的学生中,一年级有人,二年级有人,三年级有人.现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本,已知在一年级的学生中抽取了人,则这个样本中共有___________人.【答案】【解析】【分析】设这个样本中共有个人,根据分层抽样列等式可求得的值.【详解】设这个样本中共有个人,则,解得.故答案:.14. 中,分别为的对边,,则_____【答案】【解析】【分析】由已知及余弦定理可求的值,再由正弦定理计算可得.【详解】解:由余弦定理可得:,可得:,由正弦定理可得:,故答案为:.15. 已知单位向量的夹角为.与垂直,则___________.【答案】【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,即可求得的值.【详解】单位向量的夹角为,,与垂直,则实数,故答案为:16. 如图,在正方体中,,依次是和的中点,则异面直线与所成角的余弦值为__.【答案】【解析】【分析】连、、,利用平行四边形可得,可得是异面直线与所成角(或所成角的补角),然后用余弦定理可得结果.【详解】在正方体中,连、、,,依次是和的中点,所以且,所以四边形为平行四边形,所以且,又且,所以且,所以四边形为平行四边形,,是异面直线与所成角(或所成角的补角),设正方体的棱长为2,则,.异面直线与所成角的余弦值为.故答案为:.【点睛】本题考查了求异面直线所成的角,考查了余弦定理,属于基础题.四、解答题:本题共6小题,共70分.17. 已如i为虚数单位,复数.(1)当实数m取何值时,z是纯虚数;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据纯虚数的定义即可求出;(2)根据复数的运算以及复数模的计算公式即可求出.【详解】(1)若复数是纯虚数,则,解得,所以.(2)当时,,则,.18. 若,求下列的值.(1)(2)(3)(4)(5)(6),其中为的夹角【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)【解析】【分析】(1)根据向量加法的坐标运算即可求解,(2)根据向量减法的坐标运算即可求解,(3)根据数量积的坐标运算即可求解,(4)(5)根据模长的坐标运算即可求解,(6)由夹角公式即可代入求解.【小问1详解】由,得【小问2详解】由,得【小问3详解】由,得【小问4详解】由得,【小问5详解】由得【小问6详解】19. 本着健康、低碳的生活,租共享电动自行车出行的人越来越多,某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内),超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算).现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的(各租一车一次),设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为,三人租车时间都不会超过40分钟.(1)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率:(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据已知条件,运用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件的加法公式进行求解;(2)题意可得,三人的租车费用组合为3,4,4,运用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件的加法公式进行求解.【小问1详解】由题意可得,甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为,三人都为不超过20分钟还车的概率,三人都20分钟以上且不超过30分钟还车的概率,三人都30分钟以上且不超过40分钟还车的概率甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为.【小问2详解】由题意可得,甲、乙、丙三人的租车费用和为11元,则三人的租车费用组合为3,4,4,甲租车费用为3元,其余租车费用为4元的概率乙租车费用为3元,其余租车费用为4元的概率丙租车费用为3元,其余租车费用为4元的概率即甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为.20. 已知△中,,.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)的值;(2)△的面积.条件①:;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【答案】答案不唯一,具体见解析.【解析】【分析】若选择①,(1)由余弦定理可得或.(2)先求得的值,再利用三角形面积公式计算; 若选择②,(1)由余弦定理求得.(2)先求得的值,再利用三角形面积公式计算.【详解】解:若选择①,(1)由,得,由,,得,解得或.(2),,则当时,,△面积,当时,,△的面积若选择②,(1)由,得,由,,得,解得.(2),,则所以△的面积.21. 三棱锥中,平面平面,为等边三角形,且,、分别为、的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理可得,再由线面平行的判定定理可得平面;(2)由于,为的中点,可得,再由平面平面,可证得平面,然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面;(3)由于平面,所以求,可得三棱锥的体积【详解】(1)证明:∵、分别为、的中点,∴, 又∵平面,平面,∴平面; (2)证明:∵,为的中点,∴, 又∵平面平面,平面平面,且平面,∴平面,又平面,∴平面平面; (3)解:在等腰直角三角形中,,∴,,∴等边三角形的面积, 又∵平面,∴三棱锥的体积, ∴. 22. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形, (1)求证:平面;(2)求证:直线平面;(3)求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明;(2)根据线面垂直的判定定理证明;(3)根据线面夹角的定理找到线面角,再根据直角三角形中求正切值.【小问1详解】证明:因为四边形是菱形,所以.因为平面,平面,所以平面.【小问2详解】证明:因为四边形是菱形,所以.又因为平面,平面,所以.又因为,平面,所以BD⊥平面.【小问3详解】如图,过B作,连接,因平面,平面,所以.又因为平面,所以平面.所以是直线与平面所成的角.因为所以在中,,,所以.所以直线与平面所成角的正切值是.
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