高中数学3.3 函数的应用(一)课后复习题

人教B版（2019）必修第一册《3.3 函数的应用（一）》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知函数，若存在实数当时，满足则的取值范围为

A.  B.
C.  D.

2.（5分）为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
 

A.  B.  C.  D.

3.（5分）函数的零点个数是

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知函数且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

6.（5分）已知函数，若，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

7.（5分）设函数的定义域为，对于给定的正数，定义函数，设，若，则函数的递增区间是

A.  B.
C.  D.

8.（5分）已知函数，则

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知函数，则

A. 的值域为
B. 当时，
C. 当时，存在非零实数，满足
D. 函数可能有三个零点

10.（5分）若函数，，则下列说法正确的是

A. 为周期函数，无最小正周期
B. 为单调函数
C. ，，满足成立
D. ，满足

11.（5分）设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是

A.  B.  C.  D.

12.（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是

A. 当时，
B. 函数有五个零点
C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D. 对，，恒成立

13.（5分）已知若互不相等的实数，，满足，且，则下列说法正确的有

A.
B. 的取值范围为
C.
D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知，若，则实数的取值范围是______.

15.（5分）设函数． 
①若，使得成立，则实数的取值范围是______； 
②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______．

16.（5分），若无最大值，则实数的取值范围是______．

17.（5分）已知函数的值域为，则的取值范围为______．

18.（5分）已知函数，那么的值为 ______ .

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知函数

求，，的值．

作出函数的简图．

观察图像写出函数的值域．

20.（12分）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资所得不超过元时不必纳税，超过元的部分应根据个人所得税税率表纳税．从年月起，国家对税收进行改革，个税起征点从元升到元，即超过元需纳税，改革后个人所得税税率表如下：

Ⅰ李先生上班正遇到税收改革，每月预发工资为元，则他纳税后实际可得薪水多少元？ 
Ⅱ若努力工作，李先生缴纳的税收可达到元，则此时他实际可得薪水多少元？ 
Ⅲ根据上图税率表，试简要分析明星逃税的主要原因．

21.（12分）已知函数． 
Ⅰ当时，求不等式的解集；  
Ⅱ设函数的最小值为，求的最小值．

22.（12分）已知函数，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一值为． 
求整数的值；  
若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．

23.（12分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为元千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为单位：元． 
Ⅰ求的函数关系式； 
Ⅱ当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：作出的大致图像，如图所示， 
由图像和正弦函数的性质可知，，，， 
， 
令，则， 
当时，，单调递减；当时，，单调递增， 
又当时，，且， 
， 
， 
的取值范围为 
故选： 
作出的大致图像，由图像和正弦函数的性质可知，，，，所以，令，利用导数得到函数的单调性和极值，求出在时的值域，从而得到的取值范围． 
此题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．

 

2.【答案】C;

【解析】解：函数图象过点，分别代入函数和为常数，， 
求得，， 
， 
当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至； 
当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，取，解得小时分钟， 
学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作． 
故选：． 
由题意求得函数解析式，求解空气中每立方米的含药量逐渐下降至的时间得答案． 
该题考查函数解析式的求解及常用方法，考查分段函数的应用，正确理解题意是关键，是中档题．
 

3.【答案】C;

【解析】解：当时，递增，  
且，  
，  
可得在只有一个零点；  
又时，，  
由，可得或． 
综上函数的零点个数为． 
故选：． 
分别讨论各段的零点个数，注意分析函数的单调性和函数零点存在定理的运用，以及解方程即可得到所求个数． 
该题考查函数的零点个数解法，分别考虑各段的零点个数，注意运用方程思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D;

【解析】解：作出函数的图象如下， 
 
由图可知，当时，直线与的图象仅有一个交点， 
即关于的方程有且仅有一个实数根， 
所以 
故选： 
画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果． 
此题主要考查函数与方程的综合运用，考查数形结合，属于中档题．
 

5.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属中档题. 
由，即，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 
 
解：由，即， 
分别作出函数和的图象如图： 
 
由图象可知，表示过定点的直线， 
当过时，此时两个函数有两个交点， 
此时满足条件的的取值范围是； 
当过时，， 
解得，此时两个函数有两个交点， 
当与相切时，两个函数只有一个交点， 
此时， 
即， 
当时，，只有解， 
当，由得，此时直线和相切， 
要使函数有两个零点， 
则或， 
故选
 

6.【答案】A;

【解析】解：当时，，  
，  
解得：，  
，  
当时，，  
，  
解得：，  
，  
综上所述，实数的取值范围是：． 
故选：． 
对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可． 
这道题主要考查了分段函数的应用，考查了解一元二次不等式，是基础题．
 

7.【答案】B;

【解析】解：当时，，在同一坐标系画出图象如图： 
由图可知，函数在上单调递增． 
故选：． 
根据新定义可求得的解析式，并画出图象即可求得其单调区间． 
本题是新定义函数问题，求出函数解析式是关键，属于中档题．

 

8.【答案】A;

【解析】解：，， 
 
故选：． 
根据分段函数的表达式代入求解即可． 
这道题主要考查函数的计算，利用分段函数的表达式进行求解解决本题的关键．比较基础．
 

9.【答案】BCD;

【解析】解：函数， 
当时，， 
令， 
解得或， 
当时，的最小值， 
此时整个函数的值域不可能是， 
故选项A错误； 
当时，若，此时函数单调递减， 
若时，也是单调递减，且当时，， 
故函数在上单调递减， 
又， 
所以， 
故选项B正确； 
不妨取，作出函数的图象， 
 
易发现，将的图象与轴对称后与二次函数的图象有交点， 
故当时，存在非零实数，满足， 
故选项C正确； 
不妨取，则， 
故左侧图象的最低点的纵坐标为， 
所以存在直线与左侧图象有个交点，与右侧图象有个交点， 
所以函数可能有三个零点， 
故选项D正确． 
故选：． 
利用二次函数的最值进行分析即可判断选项A，利用分段函数的单调性即可判断选项B，利用特殊图象判断选项C，利用特殊图象判断选项D． 
此题主要考查了分段函数的应用，涉及了函数单调性的应用、函数图象的应用、函数零点的应用，对于分段函数问题一般会用分类讨论或是数形结合的方法进行研究，属于中档题．
 

10.【答案】AC;

【解析】解：由题意得，，，且无最小正周期，故正确； 
，不单调，故错误； 
若，全为无理数，为无理数即可； 
若，只有一个为无理数，如是无理数，为即可； 
若，全为有理数，为即可，故正确； 
取，则，不存在这样，故错误． 
故选： 
根据新定义函数依次判断各个选项即可． 
此题主要考查分段函数的应用，考查新定义函数，考查数学抽象的核心素养，属于中档题．
 

11.【答案】ABC;

【解析】解：根据函数表达式作出函数图象： 
 
由图知：， 
即，， 
设，则； 
，则，，； 
选项：，正确； 
选项：，正确； 
选项：又，即选项恒成立，正确； 
选项：取，有 ，错误； 
故选： 
作出函数的图象，由，且可得  ，，；然后代入每一个选项验证可得答案； 
此题主要考查对数函数，指数运算，指数对数互换，对数图象的性质，属于中档题．
 

12.【答案】AD;

【解析】解：根据题意，函数定义在上的奇函数，当时，， 
依次分析选项： 
对于，当时，则，所以，整理得，正确； 
对于，当时，，此时有个零点，为定义在上的奇函数，则，， 
有个零点，错误； 
对于，当时，，其导数， 
在区间上，，函数为增函数， 
在区间上，，函数为减函数， 
则在区间上有极大值，而，，则在区间上，有， 
又由为奇函数，则在区间上，由， 
综合可得：的值域为， 
若关于的方程有解，则实数的取值范围是，错误； 
对于，当时，，得到时，，，时，， 
所以函数在上单调递减，在上单调递增， 
所以时取得最小值，，且时，， 
所以， 
即， 
当时，， 
所以在上单调递增，在上单调递减， 
时，取最大值，且时，， 
所以， 
所以， 
所以的值域为 
故，，都有，正确； 
故选： 
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 
此题主要考查分段函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、值域的分析，属于中档题．
 

13.【答案】ABC;

【解析】解：作出的图象，如图所示． 
 
观察图象知，，而， 
的取值范围为， 
故选： 
由已知作出分段函数解析式，数形结合求得，而，则答案可求． 
此题主要考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
 

14.【答案】;

【解析】 
此题主要考查的知识点是分段函数的应用，其中分析出函数为奇函数，进而将转化为，是解答的关键． 
由已知的函数的解析式，先分析出函数为奇函数，进而将转化为，分类讨论可得满足条件的实数的取值范围． 
 
解：， 
当时，， 
 
当时，， 
， 
所以恒成立. 
若，则 
当时，，即； 
当时，，即，即，即 
综上，实数的取值范围是 
故答案为： 

 

15.【答案】（1，+∞）; （-∞，0]∪{1};

【解析】解：函数． 
①当时，，其图象关于直线对称， 
若，使得成立， 
如图， 
 
则， 
实数的取值范围是； 
②由①中图形可知，当时，是单调增函数，当时，不单调， 
当时，单调递增，当时，不单调． 
若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是． 
故答案为：①；②． 
①分，和作出函数的图象，由图可得，使得成立的的取值范围； 
②结合①中函数的图象，直观得到使函数为上的单调函数的实数的取值范围． 
该题考查分段函数的应用，考查数形结合思想与分类讨论的数学思想，是中档题．
 

16.【答案】（-∞，-1）;

【解析】解：函数， 
， 
令，则， 
当时，可得在递增， 
可得在处取得最大值，与题意不符，舍去； 
则，或， 
即为或，即为或． 
综上可得． 
故答案为： 
求出函数的导数，可得极值点，讨论，，，结合单调性和无最大值，可得的不等式组，解不等式可得的范围． 
此题主要考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，以及运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】（0，];

【解析】解：当时，不满足条件． 
当时， 
若，则， 
当时，， 
要使函数的值域为， 
则， 
得，即实数的取值范围是， 
故答案为： 
讨论的取值范围，分别求出两个函数的 取值范围，结合函数的值域是，建立不等式关系进行求解即可． 
这道题主要考查分段函数的应用，求出函数的各自的取值范围，结合函数的值域建立不等式关系是解决本题的关键．
 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 
由函数，将代入计算可得答案． 
 
 
解：函数， 
， 
故答案为： 

 

19.【答案】解：函数的定义域为 
因为时，， 
所以 
因为时，， 
所以 
因为时，， 
所以 
在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示： 
 
由第问中画出的图像可知，函数的值域为;

【解析】此题主要考查分段函数的定义域与值域及分段函数图像的做法，熟练掌握分段函数的定义与性质是解答该题的关键. 
由题意，根据分段函数的定义域即可求解； 
根据分段函数的性质及特殊点即可作出函数的图像； 
由函数图像即可得到函数的值域。 

 

20.【答案】解：（Ⅰ）根据税率表，7500-5000=2500＜3000，则需缴纳的税为2500×3%=75元， 
则始发薪水为7500-75=7425元； 
（Ⅱ）可设李先生预法工资为x元，则剩下的x-5000元需缴纳的税收， 
则3000×3%+（x-8000）×10%=190，解得x=9000，则实际可得9000-190=8810元 
（Ⅲ）由表可知随着收入的增加税率明显提高，即税收变大， 
从而导致明星逃税（依法纳税是每个公民应尽的义务，严厉打击逃税行为）;

【解析】 
Ⅰ根据税率表，，则需缴纳的税为元，  
Ⅱ可设李先生预法工资为元，则剩下的元需缴纳的税收，则，求解即可  
Ⅲ由表可知随着收入的增加税率明显提高，即税收变大； 
该题考查的知识点是分段函数的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x-1|+|x-3|=，  
由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．  
（2）函数f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，  
可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．;
 

【解析】 
化简函数的解析式，画出函数的的图象，数形结合求得不等式的解集．  
由条件利用绝对值的意义求得的最小值．  
此题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：关于的不等式的整数解有且仅有一值为， 
即为，即， 
可得，即为 
即有，可得整数； 
函数的图象恒在函数的上方， 
即有， 
即为恒成立， 
由 
可得时，取得最小值， 
可得的范围是．;

【解析】此题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和绝对值的含义，以及一次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 
由题意可得，即，可得，解不等式即可得到所求整数的值； 
由题意可得，即为恒成立，由绝对值的含义和一次函数的单调性，即可得到最小值，进而得到的范围．
 

23.【答案】解：． 
由得

当时，；

当时， 

当且仅当时，即时等号成立．

因为，所以当时，．

当施用肥料为千克时，种植该果树获得的最大利润是元故当施肥量为千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为元．;

【解析】该题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题 
用销售额减去成本投入得出利润的解析式； 
分段判断的单调性，利用基本不等式求出在时最大值即可． 
．